●李玉榮

(金陵中學(xué)河西分校 江蘇南京 210019)

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一道經(jīng)典幾何題的深度挖掘*

●李玉榮

(金陵中學(xué)河西分校 江蘇南京 210019)

經(jīng)典幾何題是重要的數(shù)學(xué)文化遺產(chǎn).在數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)中，如果能重視對經(jīng)典幾何題的適度挖掘，即進(jìn)行一題多解、一題多變等訓(xùn)練，那么常可獲得具有探索性的問題及有價值的解法，進(jìn)而能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性和深刻性，提高學(xué)生的推理能力、探究能力和創(chuàng)新意識．

經(jīng)典幾何題；變式；輔助線；一題多解

題目 在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=AC，BD=BC，∠CBD=90°，求證：∠ADB=30°．

這是一道經(jīng)典的幾何題，難度不小，解題的關(guān)鍵是證明∠ACD=30°，輔助線的添加是解題的突破口.各種數(shù)學(xué)教輔、教參提供的經(jīng)典解法如下：

證法1 如圖1，作AE⊥CD于點E，BF⊥CD于點F，則

從而∠ACD=30°.由CD=AC可得∠ADC=75°，故∠ADB=30°．

點評 此解法利用梯形常作的“雙高”輔助線，凸顯了“通法”的解題思路，但若就此作罷，無疑于“入寶山而空返”，深度挖掘，則發(fā)現(xiàn)該題值得擁有和回味．

圖1 圖2

1 挖掘另證

證法2 如圖2，將△ABC沿BC翻折得△EBC，延長EB交DC于點F，則

∠EBC=∠ABC=135°，

從而

∠ABE=90°=∠EFC，

于是

進(jìn)而 ∠FEC=30°， ∠ECF=60°，

∠BCE=15°， ∠ACD=30°.

由CD=AC可知

又BD=BC，∠CBD=90°，則

∠BDC=45°，

故

∠ADB=∠ADC-∠BDC=30°．

證法3 如圖3，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得△EBD，延長EB交DC于點F，則

從而

∠FED=30°，

于是

∠ACD=∠CAB=∠FED=30°，

故

∠ADC=75°， ∠ADB=30°．

評注 注意到題中的△BDC為等腰直角三角形，證法2和證法3分別利用翻折、旋轉(zhuǎn)變換使分散的條件相對集中，從而順利解決問題，較好地踐行了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對幾何教學(xué)的新要求，凸顯了圖形變換的解題價值．

圖3 圖4

證法4 如圖4，延長DA,CB交于點E，設(shè)BE=x，BD=BC=y，則

因為AB∥CD，所以

即

從而

作CF⊥AD于點F，則

亦即

于是

化簡得

故

∠ADB=30°．

評注 此解法雖然繁瑣，但“將梯形轉(zhuǎn)化為三角形、作等腰三角形底邊上的高”等常見輔助線的價值得以顯現(xiàn)．

2 挖掘變式

這道經(jīng)典幾何題涉及5組幾何元素的關(guān)系：AB∥CD，CD=AC，BD=BC，∠CBD=90°，∠ADB=30°．因此，除原題外，還可以編制出以下4道幾何題，其解法更是精彩紛呈．

變式1 在四邊形ABCD中，CD=AC，BD=BC，∠CBD=90°，∠ADB=30°，求證：AB∥CD．

證法1 如圖5，作AE⊥CD于點E，BF⊥CD于點F.因為∠DAC=∠ADC=75°，所以∠ACD=30°，從而

故

AB∥CD．

評注 此解法沿用了原題的經(jīng)典解法，順理成章．

圖5 圖6

證法2 如圖6，作AG⊥BC于點G，CE⊥AD于點E，AF⊥BD于點F，則

因為∠DAC=∠ADC=75°，所以

∠ACD=30°，

從而

于是

AE=AG=AF，

故AB平分∠GBF.又因為∠GBF=90°，所以

∠GBA=45°=∠BCD，

故

AB∥CD．

變式2 在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=AC，BD=BC，∠ADB=30°，求證：∠CBD=90°．

證法1 如圖6，作CE⊥AD于點E，AF⊥BD于點F，則

作AG⊥BC于點G，因為∠ABG=∠BCD=∠BDC=∠ABF，所以

AG=AF=AE，

從而AC平分∠ECG，得

∠GCA=∠ACE=∠DCE，

于是

∠BDC=∠BCD=3∠DCE.

又因為∠DCE+∠EDC=90°，即

∠DCE+(30°+3∠DCE)=90°，

解得

∠DCE=15°，

所以

∠BDC=∠BCD=45°，

圖7

故

∠CBD=90°．

證法2 如圖7，延長CA至點E，使得AE=AB，則

∠ACD=∠CAB=∠BEA+∠ABE=2∠BEA.

因為AB∥CD，所以

∠ADC+∠BAD=180°，

又∠ADC=∠CAD，∠CAD+∠EAD=180°，從而

∠BAD=∠EAD，

得

△BAD≌△EAD(SAS)，

于是ED=BD，∠ADE=∠ADB=30°，∠EDB=60°，故△EDB為等邊三角形.由BE=BD=BC，知

∠BCA=∠BEA，

∠ABD=∠BDC=∠BCD=3∠BEA，

即

60°-∠BEA=3∠BEA，

解得

∠BEA=15°，

從而

∠BDC=∠BCD=45°，

故

∠CBD=90°．

變式3 在梯形ABCD中，AB∥CD，BD=BC，∠CBD=90°，∠ADB=30°，求證：CD=AC．

證法1 如圖8，將△ADB沿BD翻折得△EDB，聯(lián)結(jié)AE,CE，則△ADE為等邊三角形.由

AE=DE， ∠EDB=∠ADB=30°，

∠EBD=∠ABD=∠BDC=45°，

知

∠EBC=45°，

從而

△EBD≌△EBC(SAS)，

于是

∠ECB=∠EDB=30°，

∠EDC=∠ECD=15°， ∠DEC=150°，

進(jìn)而 ∠AEC= 360°-∠AED-∠DEC=

150°=∠DEC.

由

△AEC≌△DEC(SAS)，

得

CD=AC．

評注 也可將△BDA逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCE，同證法1可證明，這里不再贅述．

圖8 圖9

證法2 如圖9，延長DA,CB交于點E，作CF⊥AD于F.設(shè)BE=x，則

因為AB∥CD，所以

即

解得

進(jìn)而

AF=DF.

又CF⊥AD，于是

CD=AC．

變式4 在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=AC，∠CBD=90°，∠ADB=30°，求證：BD=BC．

證法1 如圖10，延長DA,CB交于點E，延長AD至點F使得DF=AE，聯(lián)結(jié)CF.易證△AEC≌△DFC(SAS)，從而CE=CF.又∠E=90°-∠ADB=60°，于是△FEC為等邊三角形，即EF=CE.設(shè)BE=x，BC=y，則

AE=FE-DE=x+y-2x=y-x.

因為AB∥CD，所以

即

化簡可得

故

BD=BC．

圖10 圖11

證法2 如圖11，延長DA,CB交于點E，作CF⊥AD于點F， 則

設(shè)BE=x，BC=y，則

從而

因為AB∥CD，所以

即

化簡可得

故

BD=BC．

變式1～4都有較大的難度，條件的變化引發(fā)了輔助線的變化，如何添加輔助線是解決每個問題的關(guān)鍵，需要解題者智慧的頓悟與迸發(fā)．“思考就有收獲，挖掘定有提升”，數(shù)學(xué)的趣味性就在于它需要我們推理創(chuàng)造能力的充分發(fā)揮．一題多解和變式探究是增加數(shù)學(xué)趣味性的有效手段之一，解題教學(xué)需要我們聆記并踐行著名數(shù)學(xué)教育家波利亞的至理名言：“一個好的教師必須理解這些，并使他的學(xué)生深刻理解到——沒有任何一個題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做，在經(jīng)過充分地研究和洞察之后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)，而且無論如何，我們總可以深化我們對答案的理解．”

?2016-08-04；

2016-09-13

李玉榮(1963-)，男，江蘇句容人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)11-08-04