王文文

[摘 要] 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基本脈絡(luò)，函數(shù)與方程思想是函數(shù)與方程知識與方法的升華，可以與高中數(shù)學(xué)中的多個知識章節(jié)結(jié)合，作為其解題的指導(dǎo)思想. 在目前的高考和調(diào)研考試中同函數(shù)與方程思想相結(jié)合比較熱點的問題有不等式問題、數(shù)列問題和解析幾何中直線與曲線位置關(guān)系的問題等.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)；方程思想；運用

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法相伴而生，具有伴生性；它藏匿于各個數(shù)學(xué)問題中，具有內(nèi)隱性；相對于顯性的數(shù)學(xué)知識點，數(shù)學(xué)思想具有一定深度和難度. 數(shù)學(xué)思想的伴生性和內(nèi)隱性決定了數(shù)學(xué)思想不能以直接的方式而只能以滲透的方式來傳遞給學(xué)生. 數(shù)學(xué)思想的深度和難度以及學(xué)生現(xiàn)階段具有的知識水平，決定了中學(xué)階段并不能窮盡數(shù)學(xué)思想，而只能接觸一些與現(xiàn)階段知識相契合的數(shù)學(xué)思想. 通常在高中階段遇到的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合和分類討論思想.這其中又以函數(shù)與方程思想運用得最多，因為高中數(shù)學(xué)是以函數(shù)為基本脈絡(luò)的. 文章嘗試從函數(shù)與方程思想在不同知識層面的運用來淺析函數(shù)與方程思想.

函數(shù)與方程思想的理論分析

所謂函數(shù)與方程思想其實包含著兩類思想，即函數(shù)思想和方程思想，這兩類思想之間存在著一定的相關(guān)性，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，例如對于函數(shù)y=f（x），通過移項可將其轉(zhuǎn)化成一個二元方程y-f（x）=0，若令y=0，則函數(shù)轉(zhuǎn)化成一個一元方程f（x）=0. 因此，在教學(xué)過程中通常將函數(shù)思想與方程思想并列說明.

具體說來，函數(shù)思想是指解題過程中，以函數(shù)為橋梁運用它的概念與性質(zhì)來解讀、轉(zhuǎn)化和解決問題，其本質(zhì)是運用和變化的觀點來看待問題，以變量（未知）和變量（未知）的關(guān)系為基礎(chǔ)，構(gòu)建相關(guān)函數(shù)的模型，來分析和研究數(shù)學(xué)問題中的各個變量之間的關(guān)系，從而達到解決問題的功能. 方程思想是指解決問題中分析問題的各個數(shù)量之間的等量關(guān)系，以等量關(guān)系為前提，建立方程或方程組、不等式或不等式組，并利用方程（不等式）的性質(zhì)和方程（不等式）的求解達到解決問題目的，其本質(zhì)是運用和變化的觀點來看待問題，以定量（已知）和變量（未知）的關(guān)系為基礎(chǔ)，構(gòu)建相關(guān)方程或不等式的模型，來分析和研究問題定量與變量之間的關(guān)系，以達到解決問題的目的.

作為高中知識脈絡(luò)的主線，函數(shù)幾乎可以出現(xiàn)在任意知識章節(jié)中，結(jié)合常見考題可以發(fā)現(xiàn)同函數(shù)與方程思想結(jié)合的問題類型通常有如下幾類：首先，不等式與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，例如不等式ax2+bx+c>0中的多項式可看成函數(shù)y=ax2+bx+c，而函數(shù)y=f（x）可令y>0，則函數(shù)又可轉(zhuǎn)化成為不等式，函數(shù)與不等式之間可轉(zhuǎn)化的特性，決定了解決不等式問題時?？山柚瘮?shù)的手段來處理. 其次，數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的本質(zhì)是一個離散型函數(shù)，其通項公式與前n項求和公式均可看成是以正整數(shù)為自變量的函數(shù)，因此用函數(shù)的觀點來處理數(shù)列問題是一種常見的手段. 第三，有關(guān)解三角形和三角函數(shù)求值的問題，解三角形中的正余弦定理帶有明顯的方程思想，而三角函數(shù)本身作為一種特殊的函數(shù)本身就具有函數(shù)的特點. 第四，解析幾何中也是方程思想運用得比較多的地方，比如在處理直線與曲線位置關(guān)系時，常將兩者的方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化成一元二次方程來處理，再比如在解析幾何中求解幾何最值時，通常的處理方式是將待求的幾何量表示成某個變量的函數(shù)表達式，利用函數(shù)性質(zhì)求解最值.

當(dāng)然上述的理論分析僅僅是從知識的邏輯體系上來分析函數(shù)與方程思想，這只能是對函數(shù)與方程思想的抽象認(rèn)識，要深刻理解函數(shù)與方程思想，需要更為具象的實例作為支撐.

函數(shù)與方程思想的實例運用

掃描近年來的高考題和各市調(diào)研試題可以大致將函數(shù)與方程思想運用的熱點問題歸結(jié)為如下幾類：其一，函數(shù)與方程思想在不等式中的運用；其二，函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的運用；其三，函數(shù)與方程思想在解析幾何中的運用.

1. 函數(shù)與方程思想在不等式中的運用

（2015年新課標(biāo)Ⅱ全國卷） 設(shè)f ′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x>0時，xf ′（x）-f（x）<0，使得f（x）>0成立的x的取值范圍是多少？

解析：根據(jù)題設(shè)xf ′（x）-f（x）<0，可以構(gòu)造函數(shù)h（x）=，所以當(dāng)x>0時，h（x）=<0，可得h（x）=在（0，+∞）上單調(diào)遞減；h（-x）=，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以h（-x）==h（x），函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，所以h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，f（-1）=0？圯h（-1）=h（1）=0. 由構(gòu)造函數(shù)h（x）=可知，f（x）=x·h（x），所以f（x）>0？圳x·h（x）>0，也即h（x）與x同號. 所以當(dāng)x>0時，h（x）>0，即0

反思：利用題設(shè)所給條件構(gòu)造一個與已知函數(shù)相關(guān)的新函數(shù)，利用新函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決不等式問題，這是典型的函數(shù)思想. 在解決不等式問題時，有時直接令題設(shè)中的多項式為某一變量的函數(shù)，有時根據(jù)要求構(gòu)造與已知表達式相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象解決問題，是一種常見的思路.

2. 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的運用

（2015年保定一模）設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1=1，an>0，其前n項和為Sn，若數(shù)列{}也為等差數(shù)列，則的最大值為多少？

解析：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以Sn=n=n·，=.

又?jǐn)?shù)列{}也為等差數(shù)列，因此，2=+？圯2=1+，所以d=2，可得an=2n-1，Sn=n2，因此==+，不妨令f（n）=+，將待求表達式看成關(guān)于自變量n的函數(shù)，函數(shù)f（n）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（n）≤f（1）=11，因此的最大值為121.

反思：將待求數(shù)列的表達式看成是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解待求表達式的最值，是典型函數(shù)與方程思想. 數(shù)列在本質(zhì)上可以看作定義域為正整數(shù)集或其子集的離散型函數(shù)，與數(shù)列基本量相關(guān)的表達式實質(zhì)就是相應(yīng)函數(shù)的解析式，因此，解決數(shù)列問題應(yīng)當(dāng)注意利用函數(shù)思想解決問題.

3. 函數(shù)與方程思想在解析幾何中的運用

（2014年福建） 設(shè)P，Q分別為圓x2+（y-6）2=2和橢圓+y2=1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是多少？

解析：根據(jù)圓方程和橢圓方程可知圓與橢圓沒有公共點，所以可將橢圓上的點視為圓外的點，根據(jù)幾何意義可知圓外任意一點到圓的最大距離是此點與圓心的距離與半徑之和. 所以不妨設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，y），所以點Q與圓心的距離d1=. 又因為點Q在橢圓上，所以坐標(biāo)滿足方程+y2=1，即x2=10-10y2，即d1=，化簡后可得d=，不妨令h（y）= -9y2-12y+46，y∈[-1，1]，所以當(dāng)y=-時，h（y）取最大值50，即d1最大值為5，所以PQmax=6.

反思：將兩點之間的距離表示成一個關(guān)于y的多項式，利用y的取值范圍確定多項式的取值范圍，顯然這是典型的函數(shù)求值域的思想. 在解析幾何中，求解幾何最值是高考的高頻熱點，而處理這類問題的指導(dǎo)思想就是函數(shù)思想：將待求量表示成一個或幾個變量的表達式，利用函數(shù)求最值的方式來處理幾何最值.