孫紅娟

[摘 要] 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一門藝術(shù)，課堂中教師要抓住“留白”契機，在導(dǎo)入處留白、重難點處留白、認識沖突時留白、自我小結(jié)時留白，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，通過自主思考和合作學(xué)習(xí)等方式生解決問題，使思維過程在課堂上得到充分的展現(xiàn). 教學(xué)實踐中掌握一定的留白技巧和方法，可以增強教學(xué)的藝術(shù)性，使課堂更精彩.

[關(guān)鍵詞] 課堂留白；自主發(fā)現(xiàn)；合作探究；放飛思維

留白，是國畫的一種手法，即在整幅畫中留下空白，計白當(dāng)黑，可創(chuàng)造出虛實相生、形神兼?zhèn)涞乃囆g(shù)境界，留下空白，以無勝有，讓人浮想，叫人回味.課堂教學(xué)也是一門藝術(shù)，是否也需要“留白”？

江蘇省教育科學(xué)研究院李善良教授曾說過，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是理清每節(jié)課的主線：①知識的主線；②知識生成的主線；③學(xué)生思維的主線，而學(xué)生思維的主線是第一位的.筆者前段時間參加了江蘇省優(yōu)質(zhì)課比賽，在準備過程中，筆者根據(jù)李教授的觀點一直在思考學(xué)生已經(jīng)會什么知識，學(xué)生能通過預(yù)習(xí)自己解決哪些知識，學(xué)生會認為哪處是難點. 而現(xiàn)代課堂要放飛學(xué)生思維，教師在課堂上就不能“滿堂灌”，在適當(dāng)處“留白”，給學(xué)生探索、思考、動手、閱讀的機會. 根據(jù)這樣一種教學(xué)理念，針對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，筆者設(shè)計了以下教學(xué)思路.

導(dǎo)入處留白——激起思維

課堂實錄片段一

1. 引入

①（播放flash動畫——彈簧振子做簡諧運動）

教師問：彈簧振子做簡諧運動時，位移s與時間t所描繪的圖象，它與我們學(xué)過的什么函數(shù)圖象類似？（給學(xué)生一定時間觀察，讓學(xué)生聯(lián)想具備“周而復(fù)始”這種性質(zhì)的函數(shù)，感受其“周而復(fù)始”的周期性.）

眾生：正弦函數(shù)y=sinx的圖象.

教師：實際上，物體做簡諧運動時，位移s與時間t的關(guān)系式都可以寫成s=Asin（ωt+φ）的形式，其中A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0.

2. 三個量的物理意義

教師：在s=Asin（ωt+φ）（其中A>0，ω>0）中，A是物體離開平衡位置的最大距離，稱振動的振幅；往復(fù)振動一次所需的時間T=成為這個振動的周期；單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)f==稱為振動的頻率；ωt+φ稱為相位，t=0時的相位φ稱為初相.

對這幾個量的物理意義，同學(xué)們記住了嗎？（給學(xué)生留出一分鐘的記憶時間.）

【檢測1】 若函數(shù)y=3sin2x-表示一個振動量，則這個振動的振幅為______，周期為______，？搖頻率為______，相位為______，初相為______. （生齊答）

【設(shè)計意圖】 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)特別強調(diào)新知識產(chǎn)生的背景，從學(xué)生的現(xiàn)有知識出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展是水到渠成的.直觀性的生活實例引入，能拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的距離，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動學(xué)生主體參與的積極性.

對于這個函數(shù)模型學(xué)生比較陌生，對于幾個量的物理意義，學(xué)生第一次接觸，此時“留白”讓學(xué)生記憶這些量的物理意義，可減少卡殼現(xiàn)象，增加學(xué)生信心，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

教學(xué)重點處留白——放飛思維

教學(xué)重點是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識與基本技能，是基本概念、規(guī)律及方法，可以稱為學(xué)科教學(xué)的核心知識.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象的影響是本節(jié)課的重點，在解決這個問題的過程中貫穿了由簡單到復(fù)雜、特殊到一般的化歸數(shù)學(xué)思想. 同時還力圖向?qū)W生展示觀察、類比、歸納、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法. 筆者通過以下幾個環(huán)節(jié)力求突出這一重點.

課堂實錄片段二

1. “化繁為簡”，制定方案

教師問：這個解析中含有三個參數(shù)，如何研究φ，A，ω對函數(shù)圖象的影響呢？

學(xué)生1：三個參數(shù)分開研究.

教師：想法很好，我們可以分而治之，逐個擊破.比如我們先研究參數(shù)φ，那么A和ω的值怎么處理呢？

學(xué)生2：可以令A(yù)=1，ω=1.

教師：很好，我們可以再“退”.

（留白，讓學(xué)生體會，回答，對于另外兩個量研究順序可以讓學(xué)生來定.）

【設(shè)計意圖】

在教學(xué)中教師不在于全盤授予，而在于相機誘導(dǎo). 對一個問題的提出，教師要給學(xué)生留有自主探究的思維空間.首先，面對多變量問題，學(xué)會通過控制變量的個數(shù)將復(fù)雜問題簡單化. 偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚說：“要善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失重要的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅！”這里的“分而治之、逐個擊破”就是“退”的方法. 從而讓學(xué)生體會從簡單到復(fù)雜的研究問題的一般方法. 其次，讓學(xué)生去規(guī)劃研究思路，重在引導(dǎo)學(xué)生思考解決問題的方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的迫切欲望，點燃學(xué)生思考的烈焰，以此培養(yǎng)學(xué)生宏觀分析問題、細化問題的能力.

2. 層層遞進，探究結(jié)論

對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的研究，授課時通過五點作圖和幾何畫板幫助學(xué)生更好地觀察規(guī)律，最后形成對圖象變化的具體認識，然后再推廣到一般情形. 這樣安排既化解了難點，又讓學(xué)生有清晰的討論線索，從中能使學(xué)生學(xué)習(xí)如何將復(fù)雜的問題分解為簡單的問題并“各個擊破”，然后“歸納整合”，培養(yǎng)學(xué)生思考問題有條理的習(xí)慣，有利于培養(yǎng)他們的邏輯思維能力.

課堂實錄片段三

探究1：函數(shù)y=sin（x+φ）（φ≠0）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象的關(guān)系

教師：我們首先研究由函數(shù)y=sinx的圖象通過什么變換可以得到函數(shù)y=sin（x+φ）（φ≠0）的圖象.

眾生：左加右減（學(xué)生熟知）

教師：為什么φ>0時，圖象向左平移？φ<0時，圖象向右平移？

（很多學(xué)生陷入沉思，然后學(xué)生之間會小聲議論，此時老師并不急切地要結(jié)果，而是引導(dǎo)學(xué)生從特殊函數(shù)入手去研究，給學(xué)生留有思考和探究的時間，學(xué)生會進入“自求得之”的“忘師”境界，樂意去學(xué)，去思考.）

教師：我們先從特殊函數(shù)入手，y=sinx和y=sin（x-），請同學(xué)們在剛發(fā)的探究案上快速完成列表，作出一個周期內(nèi)的圖象，并觀察兩個圖象有何關(guān)系？

（留白，給學(xué)生留5分鐘時間列表，作圖，并觀察圖象關(guān)系. 此時老師應(yīng)該多關(guān)注學(xué)困生的列表作圖情況.）

（通過作圖和動畫展示，并引導(dǎo)學(xué)生通過列表中的點的坐標(biāo)來解釋變換，相同的橫坐標(biāo)時看縱坐標(biāo)的變化，借助“特殊到一般”的思想方法發(fā)現(xiàn)規(guī)律.）

板書：

y=sinxy=sin（x+φ）.

教師：如何規(guī)范表述這種變換呢？（學(xué)生齊讀課本35頁中的“變換規(guī)律”，強化語言的規(guī)范表述.）

教師補充板書：“所有的點”（強調(diào)“所有的點”都發(fā)生了變化）.

教師：你學(xué)會規(guī)范表述了嗎？（試一試.）

【檢測2】

（1）將函數(shù)y=sin（x-1）的圖象_______，可以得到y(tǒng)=sinx的圖象.

（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象________，可以得到y(tǒng)=f（x-1）的圖象.

（留點時間讓學(xué)生自己敘述，然后生4、5嘗試規(guī)范回答.）

【設(shè)計意圖】

1. 通過復(fù)習(xí)五點法作圖，讓學(xué)生體會“整體”的思想；從而引導(dǎo)學(xué)生說明“為什么φ>0時，圖象向左平移？φ<0時，圖象向右平移”，在探討這個問題中，很多學(xué)生停留在舊知識層面上，如“數(shù)軸左負右正”，極易混淆. 此時幾處短時間的留白，老師巧妙地設(shè)置了臺階，從具體函數(shù)y=sinx和y=sinx-入手研究，讓學(xué)生列表，作圖，觀察規(guī)律，從形上說出圖象變換是圖象上每點的位置變化，從列表中觀察出點的坐標(biāo)變化進而從點的坐標(biāo)來理解所有點的變化，可以讓學(xué)生真正地參與到學(xué)習(xí)過程中來.

2. 通過齊讀課本和練習(xí)，讓學(xué)生規(guī)范語言表達能力，并讓學(xué)生理解三角函數(shù)的平移變換實際上是一般函數(shù)平移變換的特例，做到知識的同化與順應(yīng).

3. 而對于另外兩個參數(shù)的探究，更多時間的留白可放手給學(xué)生獨立研究、分組探究、展示交流、相互印證的方式來完成. 安排如下：

探究2：探究函數(shù)y=Asinx（A>0）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象的關(guān)系，探究函數(shù)y=sinωx（ω>0）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象的關(guān)系.

1. 學(xué)生探究，教師巡視.

教師：請在同一直角坐標(biāo)系中分別作出學(xué)案上另兩組函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象.

①y=sinx，y=3sinx，？搖y=sinx；

②y=sinx，y=sin2x，y=sinx.

教師：結(jié)合以下三個探究步驟觀察比較另兩組圖象間的關(guān)系，并總結(jié)變換規(guī)則.

①“五點”作圖；②觀察比較；③總結(jié)規(guī)律

2. 學(xué)生展示各組圖象的探究成果，教師點評.

從“形”的角度得到結(jié)論；從“數(shù)”的角度解釋結(jié)論；兩者結(jié)合總結(jié)一般結(jié)論（強化語言的規(guī)范表述）；

得到一般函數(shù)y=f（x）與y=Af（x）圖象的關(guān)系與一般函數(shù)y=f（x）與y=f（ωx）圖象的關(guān)系.

【設(shè)計意圖】 根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論“學(xué)習(xí)不是由教師直接傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自己主動建構(gòu)知識的過程，這種建構(gòu)無法由他人來替代”，本階段第一個規(guī)律憑借提問和追問，巧設(shè)臺階，讓學(xué)生把握正確的探究方向. 第二個和第三個規(guī)律留足學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)與探究展示的空間，通過數(shù)形結(jié)合，借助圖象觀察，發(fā)現(xiàn)、總結(jié)一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的“問題意識”，在探索中學(xué)會將“知識問題化”，大膽、合理地提出猜測，通過證明、完善，最終達到將“問題知識化”的目的. 在探究過程的節(jié)點處，又讓學(xué)生開口表述，可以讓學(xué)生在頭腦中整理思路，加深了對數(shù)學(xué)知識的理解，同時也訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)語言的組織表達能力. 課堂中我們要舍得留白，耐得住等待，等待學(xué)生學(xué)會探究知識的方法，這樣做有利于充分暴露學(xué)生的思維，鼓勵學(xué)生對出現(xiàn)的不同結(jié)論進行探討，找出問題的正確解答，對于教師，也要抓住學(xué)生的想法及時引導(dǎo)，有效駕馭課堂.

認識沖突時的“留白”——升華思維

學(xué)生的困惑是知識的生長點，也是教學(xué)的出發(fā)點、立足點，只有最大限度地消除學(xué)生知識上的困惑的教學(xué)才是真正有效的教學(xué). 對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的研究，在從一個參數(shù)上升為兩個參數(shù)時，是學(xué)習(xí)中的難點. 為了突破難點，筆者把發(fā)現(xiàn)留給學(xué)生，把時間留給學(xué)生，把講臺留給學(xué)生，讓學(xué)生通過獨立思考、自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式，在思考交流中解決問題.

課堂實錄片段四

【問題1】 通過剛剛的探究，我們已經(jīng)由y=sinx的圖象，通過圖象變換可以得到y(tǒng)=sin2x的圖象，那么想得到函數(shù)y=sin2x-的圖象，又該做怎樣的變換？請同學(xué)們描述具體變換？（留出一分鐘的思考時間，然后生作答.）

學(xué)生1：（基于思維定式，錯誤套用法則）將函數(shù)y=sin2x的圖象，向右平移個單位，就可以得到函數(shù)y=sin2x-的圖象. （大多數(shù)學(xué)生點頭.）

學(xué)生2：我不贊同他的觀點，我認為應(yīng)該將函數(shù)y=sin2x的圖象，向右平移個單位，就可以得到函數(shù)y=sin2x-的圖象. （很多學(xué)生露出驚訝的神色.）

（老師根據(jù)學(xué)生說的兩種步驟分別板書.）

教師：根據(jù)兩位學(xué)生所敘述的兩種不同的步驟，我們用幾何畫板作圖，同學(xué)們看看，變換之后的圖象還一樣嗎？

（學(xué)生觀察后）生齊答：不一樣.

教師：看來大家在這個地方遇到了一點問題，遇到問題不可怕！大家敢于表述自己的觀點是非常值得表揚的.那么同學(xué)們一起討論交流：問題出在哪？如何做出解釋？

（此時留出五分鐘時間，讓學(xué)生討論交流.）

學(xué)生3：還和前面方法一樣，我們組從點的坐標(biāo)角度來分析：

y=sin2x y=sin2x-

點M（x0，y0） 點Nx0+，y0

故向右平移個單位是正確的.有不同的想法嗎？

學(xué)生4：我們組同意他們的觀點，但是我們組認為只要將x前的系數(shù)提取出來，就可以很快看出來了，y=sin2x-=sin2x-，然后看x本身發(fā)生的變化就可以了. 還有其他想法嗎？

（多數(shù)學(xué)生露出質(zhì)疑不解的神色.）

學(xué)生5：我再補充下上個同學(xué)的觀點，如果將函數(shù)y=sin2x記為y=f（x）=sin2x的圖象，那么y=sin2x-=sin2x-=fx-，這樣由y=f（x）的圖象通過向右平移個單位可以得到函數(shù)y=fx-的圖象. 同學(xué)們，這樣好理解了嗎？

（學(xué)生露出笑容，立刻爆發(fā)出熱烈掌聲.）

教師：很好. 三位同學(xué)表述得非常清晰，分別從坐標(biāo)的變化和一般函數(shù)的角度解釋了這樣變換：左右平移只對x本身發(fā)生了變化. 那么我們將開始的這位同學(xué)的作答訂正一下，將函數(shù)y=sin2x的圖象，若向右平移個單位，應(yīng)該可以得到函數(shù)y=sin2x-=sin2x-的圖象.

【設(shè)計意圖】

心理學(xué)家布魯納指出：“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動.” 而本課中兩個參數(shù)復(fù)合對函數(shù)圖象的影響，“相位變換與周期變換”次序改變，其中平移的量、周期變換的量的確定，不少學(xué)生理解上有困難，很容易混淆，構(gòu)成教學(xué)的難點. 對于這部分知識，很多學(xué)生機械地套用法則，而不理解算理，新知識沒有成為學(xué)生“自己的可用知識”，只能仿效，致使發(fā)生錯誤. 這些錯誤更易引起學(xué)生的警惕與清醒，對學(xué)生的心理智力產(chǎn)生刺激，更能激起學(xué)生強烈的探索欲望. 《論語》言：“不憤不啟，不悱不發(fā)！”這里正是通過學(xué)生的回答和圖象上的直觀否定使學(xué)生感覺“有惑而無解”，而任何眉飛色舞、精辟絕倫的講解、列舉，都取代不了學(xué)生自己對所學(xué)內(nèi)容的深切感悟. 這應(yīng)該是學(xué)生激烈討論的時候，讓學(xué)生通過比較、討論，思維上經(jīng)歷了“直覺—矛盾—思考—驗證”，真正地理解了圖形的變換歸根結(jié)底是點的變換，從點的坐標(biāo)和函數(shù)的角度理解數(shù)學(xué)知識. 所以解疑的過程需適當(dāng)“留白”，在分組合作探究中給學(xué)生留出“想的時間”、“說的機會”以及“展示思維過程”的舞臺，促進了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心. 這一“留白”充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生體會到正是因為有了錯誤才會有經(jīng)驗，因為有了經(jīng)驗才會有成功. 讓學(xué)生在體驗成功的快樂氛圍中激發(fā)其探究熱情，升華學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和探究能力.

探究3：

教師：我們已經(jīng)由y=sinx的圖象，通過周期變換可以得到y(tǒng)=sin2x的圖象，又通過相位變換得到了函數(shù)y=sin2x-的圖象，同學(xué)們思考：由函數(shù)y=sinx的圖象，還可以通過哪些變換得到y(tǒng)=sin2x-？

學(xué)生：y=sinx y=sinx- y=sin2x-

學(xué)生：y=sinx y=sinx- y=sin2x-=sin2x-

（類似于前面一個問題的探究，自主回答（發(fā)現(xiàn)問題）——合作探究（辨析問題）——糾錯訂正（解決問題）.）

在自我小結(jié)中“留白”——完善思維

課堂實錄片段五

課堂小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？又體現(xiàn)了哪些思想方法和探究策略？

（留時間讓學(xué)生回味、反思，并引導(dǎo)學(xué)生從三個方面小結(jié).）

1. 知識方面：作圖方法（圖象變換法）；

2. 思想方法：數(shù)形結(jié)合、局部到整體；

3. 探究策略：特殊到一般.

教師：你還有哪些收獲能和大家分享嗎？

（兩個學(xué)生將做題時的易錯點與注意點和大家分享，同學(xué)們紛紛鼓掌.）

【設(shè)計意圖】 俗話說“編筐編簍，重在收口”. 課堂小結(jié)是一節(jié)課的“終曲”，是對一節(jié)課反思的很好機會. 此時教師要舍得花一些時間在課尾設(shè)置留白，讓學(xué)生回顧與升華所學(xué)知識，分享一節(jié)課的心得體會，可以激發(fā)學(xué)生進一步探究的興趣，給課堂再次留下精彩的瞬間.

幾點思考

1. 留白前——做到“穿針引線”

現(xiàn)代教育理論和教學(xué)實踐都證明，老師如果在教學(xué)時把知識像剝橘子一樣，一塊一塊掰開，喂給學(xué)生，實際上就剝奪了學(xué)生思考的權(quán)力，所以在課堂上要給學(xué)生設(shè)計一些內(nèi)容懸念和有思考價值的問題，或者有意地留下學(xué)生感興趣的空白，讓學(xué)生自主發(fā)揮，反而會激起學(xué)生強烈的認知沖突和參與課堂教學(xué)過程的熱情，“欲達彼岸”的心理需求與“樂此不疲”的求知欲望，才能推動學(xué)生主動參與問題的探究. 如果沒有教師的“穿針引線”，學(xué)生的探究之旅能走多遠？課堂留白又意義何在？

2. 留白中——做到“留而不流”

課堂留白不是教學(xué)過程的“斷流”，是筆斷意連式的意味深長. 如果一節(jié)課中無原則地到處留白，留白過多，留白時間過長，看似發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動性，課堂上也熱鬧，但熱鬧的背后是學(xué)生不知所措的一片茫然，寶貴的課堂時間就在這無謂的空守中白白浪費掉了，會造成教學(xué)節(jié)奏松散，反而阻礙學(xué)生思維，會讓我們的教學(xué)效果因為“斷流”而大打折扣. 課堂上提出問題后，教師注意觀察學(xué)生的表情變化，當(dāng)看到成功的喜悅洋溢在學(xué)生臉上時，意味著“留白”有了豐盛的收獲. 這其實不需要太久，只需那么一兩分鐘，學(xué)生就可以得到一些緩沖和放松，為更好地迎接下一輪的沖刺做好準備.

課堂留白不能“放任自流”，教學(xué)過程中往往為了追求探討的形式，探究的問題沒有價值，完全地放手讓學(xué)生去做，認為這樣才不會阻礙學(xué)生的思維，其實這恰是對留白的一種錯誤認識. 這樣的探究難免有活動無體驗，有經(jīng)歷無感悟，看似熱熱鬧鬧，學(xué)生卻絲毫沒有得到思維挑戰(zhàn)和認知沖突的歷練. 教師進行教學(xué)設(shè)計時要了解學(xué)生，把握教材，一定要根據(jù)實際情況和學(xué)習(xí)目標(biāo)對所要探討的問題做好足夠的預(yù)設(shè)，要有任務(wù)的留白，只有學(xué)生清楚自己該探究什么，才會使探究更有意義，才會使“留白”更有價值.

3. 留白后——收獲“未曾預(yù)約”的精彩

留白的意義就在于讓學(xué)生真正成為課堂的主人. 在交流展示中，不要變成“教師秀”，把黑板和講臺還給學(xué)生，讓學(xué)生想一想，悟一悟，讓學(xué)生講出來.由于每個學(xué)生在觀察思考時抓住問題的特點不同，運用知識不同，因而，同一個問題可能得到幾種不同的參與途徑，更易激發(fā)起學(xué)生不同的觀點和別具一格的想法，這正是教師所追求的理想課堂. 經(jīng)常這樣做，可以逐步打造“善思、善練、善說、善寫”相互滲透的智慧課堂，學(xué)生身上就能噴發(fā)出探究的火花，思維才能得到真正的提升.

總之，留白也是一門課堂教學(xué)藝術(shù)，在課堂教學(xué)中學(xué)會“留白”，善于“留白”，必將收到意想不到的精彩.