褚智偉

[摘 要] 數(shù)學(xué)知識的抽象性和邏輯性決定了數(shù)學(xué)課堂的枯燥和無味，但是，在數(shù)學(xué)課堂中合理地利用數(shù)學(xué)游戲可以改善學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對數(shù)學(xué)知識形成積極的求知欲，同時，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識又可發(fā)掘游戲中的奧妙，獲得數(shù)學(xué)游戲的成功，從而實(shí)現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂的共生理想.

[關(guān)鍵詞] 共生；數(shù)學(xué)知識；數(shù)學(xué)游戲

共生理論

“共生”一詞，最初出現(xiàn)在生物學(xué)當(dāng)中. 我國研究者吳飛馳在《關(guān)于共生理念的思考》中指出：“共生是人類之間、自然之間以及人與自然之間形成的一種相互依存、和諧、統(tǒng)一的命運(yùn)關(guān)系.” 因此，共生關(guān)系的核心在于既相互依存、互惠互利，又尊重個性、和而不同，這同樣是我們教育領(lǐng)域極力追尋的一種理想狀態(tài). 那么作為教育的主陣地——課堂也可確立一種共生的理想.

數(shù)學(xué)課堂因?yàn)閿?shù)學(xué)知識本身的抽象性和邏輯性，給人一種嚴(yán)肅而乏味的感覺，它不像藝術(shù)或者文科課程那樣具有直觀性及美感. 因此，大多數(shù)學(xué)生覺得數(shù)學(xué)課是枯燥的，對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提不起興趣，應(yīng)付完考試后可能對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識也就遺忘了. 數(shù)學(xué)游戲是以游戲?yàn)槭侄危瑪?shù)學(xué)知識為載體的一項(xiàng)數(shù)學(xué)活動. 數(shù)學(xué)游戲作為數(shù)學(xué)文化的一部分，極具趣味性、挑戰(zhàn)性和思想性. 如果我們能合理地將數(shù)學(xué)游戲融入數(shù)學(xué)課堂，那么它既可以彌補(bǔ)數(shù)學(xué)課堂的枯燥無味，激發(fā)學(xué)生的游戲精神，又可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)游戲中感受數(shù)學(xué)知識的重要，那么，我們就可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂中的一種理想共生.

當(dāng)然，我們在這里并不是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課堂就變成數(shù)學(xué)游戲課堂，數(shù)學(xué)游戲的融入應(yīng)該是結(jié)合教學(xué)實(shí)際情況安排時間來指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的，它更多的可以理解為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種輔助手段，但又是有著積極影響的. 因此，通過數(shù)學(xué)游戲可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，豐富數(shù)學(xué)知識，加深對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，培養(yǎng)觀察、動手和思考能力，讓學(xué)生樹立積極靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)的態(tài)度.

如何讓數(shù)學(xué)游戲和數(shù)學(xué)知識合理共生就值得我們?nèi)ニ伎?，因此游戲的選擇以及合理的安排就顯得格外重要，以下就結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐來說明.

數(shù)學(xué)游戲融入數(shù)學(xué)課堂案例

1. 消失的面積

2009年劉謙的“拼圖魔術(shù)”讓人感到有些“不可思議”，大概的表演過程如下：劉謙拿出一個正方形的積木，它被分割成若干個部分，小時候，他先把它弄亂，然后很快重新拼成正方形，自我感覺非常聰明，但是店員告訴他忘拿了一小塊，經(jīng)過他的一系列操作后，拼成原來的形狀；更為神奇的是，店員告訴他還忘拿了一小塊，這塊比剛才的那小塊還大，經(jīng)過他的又一系列操作后又變回原來的形狀，從此后他再也不敢碰它.

很多人認(rèn)為這個魔術(shù)利用的是菲波那切數(shù)列，這是個誤區(qū)，實(shí)際上跟那個數(shù)列沒有關(guān)系. 為了更好地說明這個魔術(shù)的原理，我們做了幾個圖，把拼圖的模型還原，看看到底是怎么回事，圖1是原圖，就是積木剛拿出來時的原始尺寸，是7×6見方的，與他用的那個模板尺寸相同.

注意，當(dāng)他打亂積木，并且重新擺好的時候，成了圖2的樣子，9號塊已經(jīng)沒有了，仔細(xì)看錄像，可以發(fā)現(xiàn)是壓在了2號塊的下面，所以2號塊可能是下面空心的. 現(xiàn)在，拼圖的尺寸已經(jīng)不足7*6了，但是肉眼很難覺察出來. 然后他拿出來一塊“a”拼在圖里，成了圖3的樣子，注意尺寸還是不足7×6. 又拿出一塊“b”并且旋轉(zhuǎn)90度，拼入圖中，成了現(xiàn)在的樣子. 此時，因?yàn)閍塊+b塊的尺寸之和與9號塊的面積相等，所以現(xiàn)在的圖形恰好達(dá)到了原始尺寸：7×6. 此時用模板一卡，正好是嚴(yán)絲合縫的.

為了幫助揭秘，先從一個簡單的拼圖魔術(shù)著手，單擊圖5中的移動按鈕，則左圖中的每一小塊在經(jīng)歷簡單的平移操作后便成為右圖，可是中間多出了一小塊空白的正方形. 玄妙在哪兒呢？當(dāng)鼠標(biāo)在繪圖區(qū)的空白區(qū)域右擊，勾選“顯示網(wǎng)格”后，觀察圖6，會發(fā)現(xiàn)其中的秘密——是眼睛欺騙了我們，移動前的正方形變化后不再是正方形，而是一個長方形.

這個魔術(shù)其實(shí)就是等積變換的應(yīng)用，并不需要高深的數(shù)學(xué)知識，之所以將它融入課堂，就是想告訴學(xué)生眼見不一定為實(shí)，所以，筆者近幾年來都會在第一次數(shù)學(xué)課中演示這個魔術(shù)給學(xué)生看，目的很簡單，就是通過這個關(guān)于數(shù)學(xué)的魔術(shù)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用，對數(shù)學(xué)有一個更全新的認(rèn)識，從而改進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度.

2. 數(shù)學(xué)游戲漢諾塔

“漢諾塔”是來自印度古老的傳說，大致內(nèi)容為：在世界中心貝拿勒斯的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針，印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時候，在其中一根針從上到下穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔，也叫河內(nèi)塔. 梵天命令僧侶們把圓盤從下到上按大小順序重新擺放在另一根針上，并且規(guī)定：在三根針之間只能移動一個圓盤，每次移動時小圓盤上不能放大圓盤. 從此，不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照法則移動這些金片，一次只能移動一片，不管在哪根針上，小片必須在上面. 僧侶們預(yù)言，當(dāng)所有的金片都從梵天穿好的那根針上移動到另外一根針上時，世界就將在一片霹靂中毀滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡.這個預(yù)言會實(shí)現(xiàn)嗎？

這個游戲的玩法就是：用最少的步驟將一根柱子上的圓環(huán)全部移到另一根柱子上，并且要求一次只能移動一個圓環(huán)并且小圓環(huán)必須始終在大圓環(huán)上面，并且可以知道需要移動的最優(yōu)次數(shù)是多少.

要完成這個游戲，從數(shù)學(xué)知識本身而言要學(xué)習(xí)數(shù)列及數(shù)學(xué)歸納法，就思維層次而言要具備一定的思考能力及歸納推理能力. 所以我們就需要在完成上述教學(xué)任務(wù)后開展此數(shù)學(xué)游戲活動，當(dāng)然這個數(shù)學(xué)游戲的基礎(chǔ)是學(xué)生的動手操作，關(guān)鍵是利用倒推法給出合理玩法及算法. 要找到這個游戲的核心思路和關(guān)鍵步驟的前提并不是以64個圓環(huán)開始研究的，而是嘗試從較少個圓環(huán)開始的，用倒推法，推導(dǎo)出移動3個環(huán)和4個環(huán)，可以發(fā)現(xiàn)玩好漢諾塔的關(guān)鍵是要想清楚第一環(huán)究竟要移到目標(biāo)柱，還是先移到輔助柱. 得出單數(shù)個環(huán)，就要將第1環(huán)移到目標(biāo)柱去，雙數(shù)個環(huán)，就要將第1環(huán)移到輔助柱去. 這就是玩好漢諾塔的秘訣，關(guān)于算法我們可以分析到首先被移到目標(biāo)柱的必定是最大的環(huán)，否則違反“在移動過程中始終保持小盤在大盤之上”的規(guī)定. 既然要將最大的環(huán)移到目標(biāo)柱，此時最大環(huán)之上必定沒有任何盤子，也就是它獨(dú)自在一根柱子上，要做到這點(diǎn)最優(yōu)做法當(dāng)然是把較小的n-1個環(huán)由起始柱移到輔助柱，剩下的最大的環(huán)獨(dú)自在起始柱，將n-1個環(huán)由起始柱移到輔助柱的最小次數(shù)為f（n-1）. 此時再將最大環(huán)由起始柱移到目標(biāo)柱，此時，移動總數(shù)為f（n-1）+1，接著把剩下的n-1個環(huán)由輔助柱移到目標(biāo)柱，花費(fèi)的最少次數(shù)也是f（n-1），則f（n）=2×f（n-1）+1. 利用數(shù)學(xué)歸納法及等比數(shù)列公式可以得出通項(xiàng)公式：f（n）=2n-1，我們發(fā)現(xiàn)，利用這個公式，印度傳說中的n=64，需要移動多少次呢？f（n）=264-1，假如每秒鐘一次，需要5845億年，而地球存在至今不過45億年. 看來僧侶們的預(yù)言不太容易實(shí)現(xiàn).

關(guān)于漢諾塔這一具有操作性的數(shù)學(xué)游戲，需要一定時間的操作，將外部的動作內(nèi)化，通過學(xué)生的思考和探究，得出解決這一問題的策略，它既訓(xùn)練了學(xué)生思維的深刻性和靈活性，同時又可以在課后成為與魔方、九連環(huán)等一樣具有競技性的數(shù)學(xué)比賽，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的有趣.

3. 天平稱重問題

問題：某工廠生產(chǎn)了一批乒乓球，在質(zhì)量檢驗(yàn)時，不小心把一只次品乒乓球與11只正品混在一起去了，由于次品乒乓球除了在質(zhì)量上與正品不同外，其余屬性（如大小、外觀等）完全一樣，因此無法從外表上把它區(qū)分出來，現(xiàn)在只有一架沒有砝碼的天平，要求只能稱三次，就把次品乒乓球找出來，并要弄清楚次品比正品重還是輕.

關(guān)于天平稱次品問題是一個較為經(jīng)典的數(shù)學(xué)游戲，看上去具有操作性這一特點(diǎn)，但實(shí)質(zhì)它與漢諾塔這類問題是截然不同的，需要合理的分類討論，我們的解決過程是將這12只乒乓球編成1，2，3，…，12，這12個號碼. 借助于類似于數(shù)形圖的方式，給出分析的過程.

第一次稱，先將12只乒乓球任意分成三組，每組4只，然后把任意兩組置于天平兩端（如1，2，3，4和5，6，7，8），天平就有平衡和不平衡兩種情況.

一、天平平衡，則次品就在9，10，11， 12這組中，這時可以把9，10，11，12中的任兩只（如9和11）放在天平的一端，另一只（如10）和一只正品放在天平的另一端進(jìn)行第二次稱，它也有平衡和不平衡兩種情況.

（一）天平平衡，則12就是次品，把12和一只正品在天平上第三次稱時，就能決定12比正品重還是輕.

（二）天平不平衡，次品就在9，10，11中，假如天平左重右輕，將9與10對換，并把對換后的10再與另一個正品對換，這時有三種可能：1. 天平變平衡，則10就是次品，且比正品輕；2. 天平不變（仍是左重右輕），則11就是次品，且比正品重；3. 天平變成左輕右重，則9就是次品，且比正品重.

二、天平不平衡. 次品就在第一組（1，2，3，4）或第二組（5，6，7，8）中，設(shè)天平左重右輕，把天平重端的任意三只（如1，2，3）與天平輕端的任意一只（如5）放在天平的左端，天平重端剩下的一只（如4）與三只正品放在天平的右端，進(jìn)行第二次稱，這時也有三種可能：

（一）天平平衡，則次品就在6，7，8中，且比正品輕，把6，7，8中的任意兩只（如6，8）放在天平上進(jìn)行第三次稱，如天平平衡，則7就是次品；如天平不平衡，輕的一端那一只就是次品.

（二）天平不平衡，仍然是左重右輕，則次品就在1，2，3中，且比正品重，按上面的方法在第三次稱重中就能找到那只比正品重的次品乒乓球.

（三）天平不平衡，但變成左輕右重，則4或5就是次品，這時把4或5與一只正品放在天平上第三次稱，就能找出比正品重（或輕）的次品.

天平稱重問題是最考驗(yàn)學(xué)生思維清晰度的一個數(shù)學(xué)游戲，這個其實(shí)就是我們數(shù)學(xué)解題中常用的分類討論方法，對學(xué)生的邏輯思維有很好的訓(xùn)練作用.

4. 量筒量水問題

問題：利用兩只容量分別為13升與17升的水桶，得出15升的水.自來水龍頭可以隨時隨地地提供自來水，不受限制，并假定在倒進(jìn)倒出時，操作十分謹(jǐn)慎，從未發(fā)生過耗損.

在初等數(shù)學(xué)課上筆者就讓學(xué)生思考這一問題，很多學(xué)生經(jīng)過長時間的思考后列出了圖表，

在學(xué)生進(jìn)入?？齐A段學(xué)習(xí)了不定方程后，筆者又把這道題目拿出來，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用方程來解決該題，相當(dāng)于去求不定方程13x+17y=15的整數(shù)解.

由于13和17互質(zhì)，可以先求出上面這個不定方程的通解.

x=17k-8，y=-13k+7，（k是整數(shù)）

由此得出兩組絕對值比較小的整數(shù)解，

k=0時，x=-8，y=7，

k=1時，x=9，y=-6.

這兩組解分別決定了兩種倒出倒進(jìn)的方法.

學(xué)生親身感受到了對于同一數(shù)學(xué)問題在不同層次的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上的差異，而且更加確定了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“走得越高才能看得越遠(yuǎn)”，對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了更積極的態(tài)度.

結(jié)語

一個學(xué)生從開始上學(xué)到工作，所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，如果不是從事與數(shù)學(xué)有關(guān)的工作，很有可能會遺忘，但是不論其從事什么工作，銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)思想、所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動及求知能力和探究方法，將是不易磨滅的，而數(shù)學(xué)游戲就具有這樣的一個功能，它可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

同時，數(shù)學(xué)課堂中數(shù)學(xué)知識的獲取與數(shù)學(xué)游戲的開展并不矛盾，而是相互依托，共同發(fā)展的. 學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中通過數(shù)學(xué)游戲培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，形成積極的情感及態(tài)度，這恰恰就是我們教育的目標(biāo). 當(dāng)然，要使數(shù)學(xué)游戲順利開展也需要借助于數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗(yàn). 那么，要順利地將數(shù)學(xué)游戲融入數(shù)學(xué)課堂，對教師的素養(yǎng)也提出了較高的要求，對數(shù)學(xué)的理解，對數(shù)學(xué)文化的意識，與數(shù)學(xué)相關(guān)的各學(xué)科知識的掌握以及教學(xué)藝術(shù)的熟練應(yīng)用等，這就需要在教學(xué)實(shí)踐中不斷地摸索及思考.