張曉東

[摘 要] 數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)被人說(shuō)成是世界難題，解決這個(gè)難題是我們數(shù)學(xué)教育工作者所關(guān)注的. 我們期盼能否用中華民族傳統(tǒng)文化的滲透而為這個(gè)問(wèn)題解決推波助瀾. 在本節(jié)課教學(xué)中，把滲透數(shù)學(xué)文化和民族文化作為突破數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)難點(diǎn)的重要支撐，收到很好的效果.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)歸納法；人文滲透；突破；瓶頸；學(xué)科德育

一點(diǎn)說(shuō)明

上學(xué)期根據(jù)區(qū)教研員的安排，要求我們上一節(jié)在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透人文素養(yǎng)的區(qū)級(jí)公開(kāi)課. 接到任務(wù)時(shí)，我們的教學(xué)進(jìn)度在“數(shù)學(xué)歸納法”. 按文獻(xiàn)1的敘述，“數(shù)學(xué)歸納法從萌芽到以歸納公理的形式最終確定下來(lái)，共經(jīng)歷了兩千多年的時(shí)間……，數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)是一個(gè)世界難題.” 如何突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，又要使人文知識(shí)與數(shù)學(xué)理性相映生輝. 在時(shí)間緊、任務(wù)重的情況下，我們緊急籌劃，廣泛采獵，反復(fù)推敲，并在教研組老師中逐一征求意見(jiàn)的情況下，形成初稿.再經(jīng)過(guò)兩次試教，兩易其稿，最終定稿.

教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)述

1. 創(chuàng)設(shè)情景，引入課題

引例1：

（1）天下烏鴉一般黑，對(duì)不對(duì)？

學(xué)生：很難說(shuō).

（2）我們給出這樣的數(shù)列：數(shù)列{an}的遞推公式：a1=2，且an+1=a-nan+1（n∈N*），求a2=_____，a3=_____，a4=______，a5=_____，

并由此猜測(cè)出{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=_________（注：猜測(cè)結(jié)果是an=n+1）.

（3）費(fèi)馬素?cái)?shù)猜想（PPT顯示費(fèi)馬頭像、簡(jiǎn)介）

法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了以下猜想：設(shè)Fn=22n+1，F(xiàn)0=3，F(xiàn)1=5，F(xiàn)2=17，F(xiàn)3=257，F(xiàn)4=65537，這五個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，由此提出（費(fèi)馬沒(méi)給出證明），形如Fn=22n+1的數(shù)都是質(zhì)數(shù)的猜想. 但在1732年，歐拉算出F5=641×67900417是合數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：先由天下烏鴉一般黑這個(gè)有趣的說(shuō)法引入不完全歸納的思想，引發(fā)學(xué)生思考，這種思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有沒(méi)有應(yīng)用呢？拋出引例1（2），學(xué)生完成后追問(wèn)，猜出來(lái)的通項(xiàng)公式一定對(duì)嗎，然后適時(shí)引出費(fèi)馬數(shù)，一方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史的熏陶，另一方面，由這個(gè)例子可以看到，連這樣數(shù)學(xué)頂級(jí)大師在用不完全歸納的時(shí)候，都能犯這種美麗的錯(cuò)誤，何況我們凡夫俗子，所以提醒大家：歸納有風(fēng)險(xiǎn)，猜想須謹(jǐn)慎！

請(qǐng)大家思考，對(duì)于我們猜想出來(lái)的命題，如果要說(shuō)明他是錯(cuò)誤的，應(yīng)該怎么辦？

如果要說(shuō)明猜想出來(lái)命題如引例1（2）是正確的，怎么辦呢？進(jìn)而一種證明引例1（2）的方法呼之欲出. 另外，我們?cè)谶x擇引例1（2）還基于以下原因：就是這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式很好猜，但很難轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，學(xué)生在無(wú)計(jì)可施的情況下，追求新的方法的意愿會(huì)更加強(qiáng)烈！

2. 數(shù)學(xué)歸納法原理導(dǎo)引

引例2：史書(shū)《周禮》中有這樣一段記載“在各國(guó)從邊疆到腹地的通道上，每隔一段距離，筑起一座烽火臺(tái)，接連不斷，臺(tái)上有桔槔，桔槔頭上有裝著柴草的籠子，有敵人入侵時(shí)，烽火臺(tái)就一個(gè)接一個(gè)地燃放煙火傳遞警報(bào)”.

有什么條件可使烽火臺(tái)依次全部點(diǎn)燃？

（1）第一個(gè)點(diǎn)燃；

（2）看到第一個(gè)烽火臺(tái)點(diǎn)繞，第二個(gè)烽火臺(tái)就要點(diǎn)繞，依次第三個(gè)烽火臺(tái)，……，

即在第k個(gè)烽火臺(tái)點(diǎn)燃，能引起第k+1個(gè)烽火臺(tái)點(diǎn)燃.

引例3：上課伊始，跟學(xué)生玩如下游戲：按班級(jí)同學(xué)的學(xué)號(hào)從小到大再接回，我們班級(jí)是38人，一號(hào)接二號(hào)，依次下去，38號(hào)結(jié)束后一號(hào)再接，無(wú)限下去……，如一號(hào)說(shuō)：一馬當(dāng)先，二號(hào)接：先人后己，三號(hào)接：己所不欲，勿施于人，四號(hào)接：人定勝天，五號(hào)接：天理不容，六號(hào)接：容我好好想想，七號(hào)接：鄉(xiāng)間小路（短語(yǔ)、諧音語(yǔ)句都可以）……，問(wèn)學(xué)生，這樣接下去，能接多久，學(xué)生答：要永遠(yuǎn)接下去…….

設(shè)計(jì)意圖：（1）以上兩例的共同特點(diǎn)是什么？總結(jié)出數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟. （2）滲透德育教育，弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)文化的育人價(jià)值. （3）按傳統(tǒng)方法，多數(shù)教師用多米諾骨牌，但有人做過(guò)調(diào)查，要使所有骨牌都倒下，學(xué)生想的條件并不是我們所想象的那樣簡(jiǎn)單地給出數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟，況且多米諾骨牌是有限多個(gè)的，而引例3中傳遞會(huì)無(wú)限地傳下去，這樣就突破了數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際引例中總是“有限”的瓶頸（有用集合元素的任意性以及直線(xiàn)與平面垂直的直線(xiàn)的任意性等，而這里直接就是無(wú)限的問(wèn)題）. 實(shí)踐證實(shí)，這樣的舉例便于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟. （4）在烽火臺(tái)點(diǎn)燃的問(wèn)題中，學(xué)生說(shuō)道前一個(gè)烽火臺(tái)點(diǎn)燃，可引出后一個(gè)烽火臺(tái)點(diǎn)燃，教師追問(wèn)，“前”一個(gè)是指哪一個(gè)，可以指第1個(gè)，也可以指第2個(gè)，還可以指第3個(gè)，一般情況下，你應(yīng)當(dāng)怎樣表述，學(xué)生自然會(huì)想到：可以用一個(gè)字母（比如k）來(lái)表示，那后面一個(gè)就是第k+1個(gè). 自想：“好，火候到了，要的就是這個(gè)效果！”

3. 探究數(shù)學(xué)歸納法

（1）請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合上面的引例2完成下列表格的第一列（師生共同完成）.

（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)證明引例1（2）的思路，完成第二列（學(xué)生思考討論）.

（3）提煉數(shù)學(xué)歸納法（師生共同完成第三列）.

設(shè)計(jì)意圖：考慮到數(shù)學(xué)歸納法的抽象性，及學(xué)生的接受能力，沒(méi)有直接給出數(shù)學(xué)歸納法.為了避免一言堂，給學(xué)生騰出思考的空間，讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，在完成表格第一列之后，教師設(shè)問(wèn)：同學(xué)們能不能由烽火臺(tái)依次點(diǎn)燃原理，遷移一下，設(shè)計(jì)一個(gè)證明引例1（2）的思路，給學(xué)生一個(gè)探究的空間，動(dòng)手的機(jī)會(huì). 然后師生共同完成第三列，完成用數(shù)學(xué)歸納法證明引例1（2）中的猜想. 不知不覺(jué)中，學(xué)生已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)歸納法，教師趁熱打鐵，完成數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟.

自此，表格的使命還沒(méi)有完成，在完成整個(gè)表格之后，再回到第一列烽火臺(tái)依次點(diǎn)燃的原理上去，讓學(xué)生在此感受一下兩個(gè)條件即奠基和遞推缺一不可，然后再回到第三列，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在證明n=k+1命題成立時(shí)，一定要用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)假設(shè). 將生活的事實(shí)遷移到數(shù)學(xué)原理，既直觀淺白又寓意深刻，表格的使命完成.

4. 熟悉方法，簡(jiǎn)單應(yīng)用

例1 （1）小明想用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+4+…+n=+100，證明方法如下，請(qǐng)同學(xué)們思考一下是否合理，并說(shuō)明理由.

（Ⅰ）假設(shè)n=k （k∈N*）時(shí)，等式成立，

即1+2+3+4+…+k=+100成立.

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

左邊=1+2+3+4+…+k+（k+1）=+100+（k+1）=+100=+100，

右邊=+100，？搖？搖？搖

所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.

所以等式對(duì)一切正整數(shù)都成立.

（2）小紅想用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+4+…+n=，證明方法如下，請(qǐng)同學(xué)們思考一下是否合理，并說(shuō)明理由.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立.

（2）假設(shè)n=k（k∈N*，k≥1）時(shí)，等式成立，

即1+2+3+4+…+k= 成立.

當(dāng)n=k+1時(shí)， 左邊=1+2+3+4+…+k+（k+1）= =，

右邊=，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.

由（1）（2）知，對(duì)n∈N*公式都成立.

設(shè)計(jì)意圖：反復(fù)緊扣數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)條件，第一小問(wèn)缺少了奠基，結(jié)果用“數(shù)學(xué)歸納法”證出了一個(gè)假命題，引起學(xué)生認(rèn)識(shí)沖突，讓學(xué)生深刻理解奠基的作用（否則將以訛傳訛）；第二小問(wèn)突出第二個(gè)條件：傳遞性，剛開(kāi)始學(xué)生可能認(rèn)為第二小問(wèn)的證法是正確的，在教師點(diǎn)撥后學(xué)生幡然醒悟，傳遞性也更加深入人心. 兩個(gè)反例對(duì)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法起到警示作用.

例2 如圖5所示：

第1層放1小球，

第2層放1+2=3個(gè)小球，

第3層放1+2+3=6個(gè)小球，

第4層放1+2+3+4=10個(gè)小球，

……

第n層放1+2+3+…+n=個(gè)小球，

求證：小球的總數(shù)為，

即要證：1+3+6+10+…+=.

設(shè)計(jì)意圖：其一，通過(guò)前面的探討，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法有了一定的認(rèn)識(shí)，接下來(lái)乘勝追擊，讓學(xué)生完成例題2的證明，是對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的鞏固；其二，這個(gè)例題是三角堆積里面的一個(gè)例子，早在我國(guó)元代，數(shù)學(xué)家朱世杰完成對(duì)上式的證明，并且給出了四角垛、六角垛等的求和問(wèn)題，比西方相應(yīng)的成果早400多年. 朱世杰所著《四元玉鑒》是“中國(guó)數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，同時(shí)也是整個(gè)中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一”，由此滲透民族精神的教育.

通過(guò)我們艱苦細(xì)致的工作，這節(jié)課得到聽(tīng)課老師的廣泛認(rèn)可. 課后與學(xué)生交流，并把準(zhǔn)備的過(guò)程也與學(xué)生說(shuō)明，學(xué)生感覺(jué)很興奮，原來(lái)數(shù)學(xué)可以和這么多的內(nèi)容聯(lián)系，對(duì)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情有很大幫助.我們投寄到貴刊，渴望與讀者共享.