賈俊

[摘 要] 數(shù)學建模是高中數(shù)學教學的重要組成部分，數(shù)學建?？梢陨罨瘜W生的數(shù)學理解，可以提升學生的數(shù)學素養(yǎng). 數(shù)學建模來源于實際，并最終指向實際.教學實施的關鍵在于做真、做實.

[關鍵詞] 高中數(shù)學；數(shù)學建模；教育理念；教學實踐

高中數(shù)學教學中，數(shù)學建模是一個重要研究方向. 數(shù)學建模就是在實際問題解決的過程中，根據(jù)數(shù)學原理建立數(shù)學模型，然后借助于數(shù)學模型的分析，完成實際問題的解決. 從思維過程來看，數(shù)學建?；趯嶋H問題的抽象、簡化，重點在于模型的建立與數(shù)學知識的運用. 在高中數(shù)學教學中如果能夠高度重視模型的作用，那學生在獲得數(shù)學知識的同時，還可以獲得較高的數(shù)學素養(yǎng)，這與課程標準的目標也是一致的. 實際教學中，數(shù)學教師一般都是有數(shù)學建模的認識的，但由于應試或其他原因的限制，數(shù)學建模在實際教學中總難以落到實處. 筆者幾經實踐，發(fā)現(xiàn)在當前的教學實際背景下，數(shù)學建模還是有施展的空間的. 總的來說，數(shù)學建模的理論到行動的轉變，需要關注如下幾個方面：

數(shù)學建模需要教師的意識先行

通常情況下，學生是不可能自然形成數(shù)學建模能力的，只有經過教師的有意識引導，學生的建模能力才有可能實際形成. 因此，數(shù)學建模關鍵在于教師意識的先行. 這里面臨的實際問題是，通常情況下呈現(xiàn)給學生的實際問題都是經過初步處理后的實際問題，而并不是生活中實際問題的完全呈現(xiàn)，同時教材上出現(xiàn)的一般材料也并不適宜作為數(shù)學建模的直接使用，因此教師有意識地尋找生活中的素材并適當加工，是數(shù)學建模得以實現(xiàn)的前置性條件. 而這就意味著教師本身要帶著數(shù)學建模的思路去尋找教學素材.

比如說在生活中常常有這樣的實際問題：將一張八仙桌放在地面上時，通常要試幾次才能放平，能否用數(shù)學語言描述其中的規(guī)律？

這一實際問題對于學生來說并不陌生，而其與數(shù)學又沒有直接的聯(lián)系，因此可以作為有效的數(shù)學建模教學的對象. 實際分析的時候，需要關注的就是八仙桌的四個腳（抽象成四個點）與地面（抽象成一個平面）的距離是不是能夠同時為零的問題. 在這里，筆者以為有必要先思考：教師在什么情況下才能將類似于此的實際問題轉換成數(shù)學課堂上培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力的問題呢？

研究表明，實現(xiàn)這一目標的關鍵在于教師自身是否有用數(shù)學眼光研究身邊實際事物的意識，歸根到底還是一個意識先行的問題. 事實上，我們說數(shù)學是研究數(shù)與形的學科，那這個時候就可以看身邊哪些地方涉及數(shù)，哪些地方有形的存在，這些數(shù)與形又可以用高中階段的哪些數(shù)學知識來描述. 這個邏輯關系一旦建立，數(shù)學建模的意識即告形成，而有了這樣的基礎，數(shù)學建模的教學就有可能順利展開.

數(shù)學建模強調對學生因材施教

數(shù)學建模當然是一個重要的能力，但這也并不意味著在整個數(shù)學教學的過程中都需要不斷地建模. 實際上，如果能夠因時、因內容、因人制宜，在恰當?shù)臅r機進行恰當?shù)慕?，對于學生來說反而更容易生成建模能力.

因內容制宜指的是在不同的教學內容中，選擇不同的建模教學的思路，因為通常情況下，數(shù)學建模并不是簡單地讓學生看著教師如何將實際問題抽象成數(shù)學問題的，而是要遵循一定的程序的. 一般認為數(shù)學建模的程序有三個：一是實際問題的抽象，即數(shù)學問題的形成過程；二是數(shù)學模型的形成過程；三是利用數(shù)學模型解決實際問題的過程. 這三個環(huán)節(jié)中，需要高度關注的是實際問題，只有學生對實際問題具有類似的理解，那在班級授課制的背景下實施數(shù)學建模的教學才有意義. 同時，如果教師提供的素材與即時的教學內容存在一定的聯(lián)系，那數(shù)學建模的效果會更為明顯. 比如上面提到的八仙桌的例子，當其出現(xiàn)在點與平面關系的學習之后，顯然不僅能夠讓學生對點與面的關系更為清晰，同時還在知識運用的過程中獲得了數(shù)學建模的能力.

因時制宜強調的是對學生建模能力形成時間的關注，并不是說學生有了相應的知識就可以實施數(shù)學建模的教學的. 比如說結合當前信息社會的特點，可以讓學生去分析不同移動公司的話費套餐背后的數(shù)學問題，這是一個很好的數(shù)學建模的素材（具體地可以給學生提供兩個不同的套餐，讓學生基于話費的不同算法去進行比較）. 但這個素材只有在學生具有了函數(shù)知識，同時具有對函數(shù)定義域與值域進行細致分析能力的基礎上才能提供. 又如在解三角形知識的學習中，學生首先會學到正弦定理與余弦定理，那在學生掌握了這部分知識并形成初步解題（此指數(shù)學習題而非實際問題）能力之后，結合教材上給出的測量河兩岸A、B點距離的例子，教師可以將此例進一步向生活還原，比如說將其中的河、點等進一步還原成學生身邊熟悉的具體事物，將題目中的具體數(shù)據(jù)略去，將題目中給出的條件也略去. 這樣實際問題就可以這樣的形式出現(xiàn)：在河的兩岸居住著兩戶人家（連線不與河垂直），現(xiàn)要測量兩戶人家之間的距離，那可以想出什么辦法？這個問題的解決，學生是很難自然想到正弦定理的運用的，因此需要進行數(shù)學抽象.而數(shù)學抽象的過程，首先就是將以文字呈現(xiàn)的題目變成圖形的過程，在圖像化處理的過程中，學生會發(fā)現(xiàn)兩戶人家可以抽象成兩個點，而當學生意識到距離的求取只能借助于某個三角形時，三角形的構造又成為本建模過程中的新的重點. 而這個思路一旦打開，學生自然就意識到這個過程中需要測出三角形某邊（河的同一邊）的邊長，與兩個角度. 于是問題就迎刃而解.

因人制宜是筆者的一個教學經驗，因為筆者發(fā)現(xiàn)通常教學中容易形成的一種現(xiàn)象，就是將之前成功的教學經驗移植到后面的學生身上來，這個時候又常常發(fā)現(xiàn)有些地方并不盡如人意，因此總感覺現(xiàn)在的學生不如以前的學生.事實上這是忽視了學生基礎的緣故. 數(shù)學建模是一個綜合性很強的教學過程，而班級建制中數(shù)十個學生往往存在著數(shù)學知識基礎與邏輯思維能力、推理能力的差異，因此不能要求每個學生都能順利地完成數(shù)學建模. 事實上，利用數(shù)學建模的教學，提高基礎較好的學生的數(shù)學思維能力，提高基礎中等及偏上學生的數(shù)學興趣，促進基礎一般的學生對數(shù)學知識的理解，可能是更為現(xiàn)實的教學目標.

數(shù)學建模須堅持核心能力形成

數(shù)學建模的關鍵有二：一是讓學生體驗數(shù)學建模的過程，二是讓學生形成核心建模能力（對于基礎較好的學生而言），而這兩個關鍵都是指向學生的能力形成的，因此在數(shù)學建模教學的過程中要善于抓住能力這個核心. 仍然需要強調的是，這里所強調的能力形成仍然需要關注個體差異性，并不是對每一個學生都要提出同樣的能力要求，從動態(tài)的角度講，只要學生在數(shù)學建模方面有能力與自身能力基礎相適應的進步，那教學就是有效的.

筆者這里僅從兩個方面來闡述數(shù)學建模中的能力形成：

一是掌握數(shù)學建模的基本思路與方法. 即在數(shù)學建模的過程中，要認識到建立恰當?shù)臄?shù)學模型，可以讓學生更迅捷地解決實際遇到的問題，上面所提到的數(shù)學建模三環(huán)節(jié)，實際上也是一種建模思路，必須讓學生明確，而基于具體的數(shù)學知識積累一定量的數(shù)學建模實例，則是建模能力形成的另一關鍵. 事實上，學生對實際問題往往有著天然的有效記憶，譬如上面提到的八仙桌放在地面上的問題，學生在很長時間之后還能完整地重現(xiàn)，這說明具體的實例及其抽象并最終建立模型，在學生的思維中是根深蒂固的. 而教師則需要利用學生的這一思維特點，在數(shù)學建模的過程中加強學生對高中階段的重要數(shù)學知識的累積性記憶.

二是數(shù)學抽象能力. 數(shù)學抽象是數(shù)學建模的關鍵，經過科學的數(shù)學抽象才可以得到科學的數(shù)學模型，事實上無論是從筆者的實踐來看，還是從同行的經驗來看，真正的數(shù)學建模過程常常是一個螺旋式上升的過程，也就是學生很有可能在初步的建模過程中由于數(shù)學抽象過程不太科學，而導致剛開始的數(shù)學模型并不合理，這個時候需要回過頭去重走數(shù)學抽象之路. 也正是由于這個原因，高中階段的數(shù)學建模實際上是比較費時的，這也是筆者強調不宜大規(guī)模使用的原因之一. 但是一旦決定了實施數(shù)學建模的教學，那就要做得徹底，必要的螺旋式過程是必須經歷的，只有這樣才能培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力. 在點與面的關系構建中，筆者給出八仙桌實例，事實上一開始就有部分學生將之與“三角形的穩(wěn)定性”聯(lián)系在一起，然后就搞不清楚四只桌腳如何與三角形穩(wěn)定性這一數(shù)學模型結合在一起，在后來筆者適當提醒之后，學生才轉換了思路，進而正確構建出了另一個新的模型.

數(shù)學建模應實現(xiàn)數(shù)學生活統(tǒng)一

數(shù)學建模的起點是實際生活，終點在哪里卻值得研究. 現(xiàn)實評價的壓力之下，數(shù)學教學往往指向學生的解題（習題）能力，因此即使是數(shù)學建模，難免帶有強烈的應試色彩. 但從學生的數(shù)學素養(yǎng)提升角度來看，眾所周知的是學生進入社會之后，真正從事純粹數(shù)學研究的極少，而數(shù)學學習過程中形成的能力才是數(shù)學教學的本質目標.

因此，筆者以高中數(shù)學建模的最終指向也應當是實際生活，待到學生的數(shù)學建模意識與能力能夠支撐起其對現(xiàn)實生活的研究時，我們認為這樣的建模教學就是有效的.

總之，高中數(shù)學教學中數(shù)學建模不能缺位，需要做真、做實，這樣的過程不僅能夠提升高中學生的數(shù)學素養(yǎng)，也能促進數(shù)學教師自身的專業(yè)認識與成長.