楊劍峰

[摘 要] 教師應(yīng)正確把握學(xué)生知識(shí)生成的最近發(fā)展區(qū)，安排好背景導(dǎo)入，把大題化小，讓學(xué)生弄清各個(gè)數(shù)量間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生憑借已經(jīng)建立起來(lái)的數(shù)量關(guān)系或模型，從復(fù)雜的問(wèn)題背景中抽象出知識(shí)的關(guān)聯(lián)，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，順著梯子登階爬墻，自然生長(zhǎng).

[關(guān)鍵詞] 自然生長(zhǎng)；數(shù)學(xué)本質(zhì)；最近發(fā)展區(qū)

問(wèn)題提出

（2014山東德州中考題）如圖1，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

教學(xué)需求分析

1. 適用對(duì)象

該題適用于初二學(xué)生復(fù)習(xí)或初三中考復(fù)習(xí).

2. 內(nèi)容分析

本題以直角坐標(biāo)系為背景進(jìn)行命題，重點(diǎn)考查了學(xué)生對(duì)全等三角形的判定、方位角、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的翻折等相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)或技能的掌握. 而初二數(shù)學(xué)教材中等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的翻折（軸對(duì)稱）等知識(shí)都是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)好圖形與幾何的關(guān)鍵和重點(diǎn). 為此，在復(fù)習(xí)中有必要把這些知識(shí)進(jìn)行融合，提高學(xué)生的應(yīng)用能力.

3. 目標(biāo)分析

本題的問(wèn)題設(shè)置有深度，集基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法于一體. 該題在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)或檢測(cè)時(shí)作為壓軸題，其目的主要是考查學(xué)生對(duì)圖形的翻折、旋轉(zhuǎn)或截長(zhǎng)補(bǔ)短法的運(yùn)用. 通過(guò)此題解決思路的探討、開發(fā)、思考，能幫助學(xué)生系統(tǒng)而有效地復(fù)習(xí)這一部分內(nèi)容的核心知識(shí)；同時(shí)能向?qū)W生說(shuō)明，復(fù)習(xí)必須回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而達(dá)到幫助學(xué)生積累并解決問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以及提高解決幾何綜合題的能力，達(dá)到知識(shí)的自然生長(zhǎng).

4. 教學(xué)理念

教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)本著以問(wèn)題為載體、以活動(dòng)為依托、以能力培養(yǎng)為導(dǎo)向的原則，盡量讓學(xué)生抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，促使學(xué)生思維的自然生長(zhǎng). 為了落實(shí)好梳理與建構(gòu)、交流與應(yīng)用的關(guān)系，筆者立足于“關(guān)注自然生長(zhǎng)與回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)”，進(jìn)行解題教學(xué).

2. 方法遷移

4. 試題透析

回歸問(wèn)題提出，即2014年山東德州中考題.

師：圖1能抽取出剛才學(xué)習(xí)的模型嗎？

生1：能，延長(zhǎng)AE，BF，相交于點(diǎn)H，四邊形AOBH就是剛剛探究過(guò)的模型，如圖9.

師：題目中滿足哪些條件呢？

生1：∠OBH+∠A=180°，AO=BO，E，F(xiàn)分別是AH，BH上的點(diǎn)，且∠EOF=∠AOB.

師：根據(jù)條件，通過(guò)怎樣轉(zhuǎn)化，可求出EF？

生1：將△AEO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BKO，使得OA與OB重合，通過(guò)△EFO≌△KFO轉(zhuǎn)化為EF=AE+BF.

生2：也可以延長(zhǎng)HB至點(diǎn)K，使得BK=AE，連接OK，通過(guò)證△AOE≌△BOK，△FEO≌△FKO，轉(zhuǎn)化為EF=AE+BF.

教學(xué)分析？搖 通過(guò)解讀試題圖形，使學(xué)生從中抽取出剛剛刻畫的幾何模型，這對(duì)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)試題解法的深入探究意義重大. 教師以問(wèn)題為載體，搭就學(xué)生探究的平臺(tái)，讓學(xué)生自然生長(zhǎng)，自然發(fā)展.

5. 延伸發(fā)展

如圖10，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF，AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D，E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等式BD2+CE2=DE2始終成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

師：知識(shí)是相互聯(lián)系的，在三角形條件中，你會(huì)證明嗎？

生3：如圖10，將△ADB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AC重合，得△AHC，連接EH. 通過(guò)證△ADE≌△AHE，轉(zhuǎn)化為等式CH2+CE2=HE2，得證.

師：請(qǐng)同學(xué)們重新審題，除了旋轉(zhuǎn)法以外，還有其他方法嗎？

生4：過(guò)點(diǎn)C作HC⊥EC，使HC=BD，連接AH，EH，通過(guò)全等同樣可證.

師：這就相當(dāng)于把△ADB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，與剛才生3的證明大同小異. 繼續(xù)探究，看看是否可以借助翻折來(lái)證明.

生5：如圖11，將△ABD沿邊AD翻折，得到△AHD，將△ACE沿邊AE翻折，得到△AHE，結(jié)論轉(zhuǎn)化為等式DH2+HE2=DE2，得證.

說(shuō)明：也可以過(guò)點(diǎn)A作AH，使AH=AB，且∠HAD=∠BAD，連接DH，EH. 證△ADB≌△ADH，△AEH≌△AEC，轉(zhuǎn)化為等式DH2+HE2=DE2，得證.

教學(xué)分析 充分探究試題多解，能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，防止學(xué)生思維固化. 通過(guò)添加不同的輔助線，能讓學(xué)生在玩數(shù)學(xué)的過(guò)程中自主探究，解題方法就會(huì)自然呈現(xiàn)，自然生長(zhǎng).

6. 拓展練習(xí)

教學(xué)反思

1. “自然生長(zhǎng)”是教學(xué)之道

自然就是最美的，數(shù)學(xué)解題教學(xué)亦是如此. 而衡量是否自然，就要看其思路是否順其自然，解法是否干脆利落，表達(dá)是否簡(jiǎn)潔明快. 蘇東坡的《題西林壁》“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”中強(qiáng)調(diào)“橫看”“側(cè)看”“遠(yuǎn)看”“近看”“高看”“低看”，形象地給我們展示了“自然生長(zhǎng)”的精髓. 其特點(diǎn)就是給足其自然生長(zhǎng)的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自己對(duì)同一個(gè)問(wèn)題從不同的角度、不同的結(jié)構(gòu)形式、不同的相互關(guān)系中觀察、思考、整合，重要的是能培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致的觀察力、豐富的聯(lián)想力和創(chuàng)造性的思維能力.

“自然生長(zhǎng)”可以開闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維及聯(lián)想能力. “自然生長(zhǎng)”能讓學(xué)生學(xué)會(huì)多角度分析，學(xué)會(huì)由表及里抓住事物的本質(zhì)，找出事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；學(xué)會(huì)用不同的知識(shí)解決同一個(gè)問(wèn)題，達(dá)到對(duì)多種知識(shí)的融會(huì)貫通.

筆者認(rèn)為，復(fù)習(xí)課重要的不是“怎么講”，而應(yīng)該是“怎么引”. 教師不能從分析到總結(jié)、從原題到變式一手包辦，應(yīng)針對(duì)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)一連串的引導(dǎo)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析，讓學(xué)生自己探索、經(jīng)歷、體會(huì)、建構(gòu)，從而把握知識(shí)本質(zhì)，自然生長(zhǎng).

2. “自然生長(zhǎng)”要落實(shí)“最近發(fā)展區(qū)”

數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須通過(guò)思維去把握，去理解數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì). 在教學(xué)中，教師的講解必須貼近學(xué)生的思維發(fā)展水平，要遵循學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，從而提高學(xué)生的思維能力，優(yōu)化學(xué)生的思維結(jié)構(gòu). 自然的解法就是從題目條件出發(fā)，跨度不大，容易想到，易于理解. 客觀講，引題的難度已經(jīng)超出大多數(shù)初二年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平，即使中考也只有最后的綜合題可能達(dá)到這樣的難度. 所以我們沒(méi)必要、也不應(yīng)該把它放在沒(méi)有任何知識(shí)鋪墊的情況下呈現(xiàn)在學(xué)生面前. 教師要正確把握學(xué)生知識(shí)生成的最近發(fā)展區(qū)，安排好背景導(dǎo)入或者把題目適當(dāng)分解，把大題化小，讓學(xué)生弄清各個(gè)數(shù)量之間存在的等量關(guān)系或有關(guān)公式，這樣學(xué)生就能憑借已經(jīng)建立起來(lái)的數(shù)量關(guān)系或模型，從復(fù)雜的題目背景 圖形中抽象出知識(shí)的關(guān)聯(lián)，就能順著梯子登階爬墻，輕松入門，自然生長(zhǎng).

3. “自然生長(zhǎng)”要關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是向?qū)W生提供解決社會(huì)生活實(shí)際問(wèn)題所必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能. 數(shù)學(xué)研究的是抽象概念，運(yùn)用的是抽象方法. 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的整體把握，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟能使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)不再是零散的知識(shí)點(diǎn)，它能幫助學(xué)生形成有序的知識(shí)鏈，建立良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，理解知識(shí)本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀，從而發(fā)展數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)、自然生長(zhǎng). 因此，教師教學(xué)時(shí)要充分考慮到數(shù)學(xué)思想方法的滲透，幫助學(xué)生有效地積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，抓住數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，從而提高解決綜合題的能力.