孫鋒

[摘 要] 對(duì)于初中數(shù)學(xué)來講，具體問題的解答是一個(gè)很好的教學(xué)深入的機(jī)會(huì). 通過對(duì)解答數(shù)學(xué)問題加以訓(xùn)練，能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生把握問題核心關(guān)鍵的能力. 當(dāng)遇到一個(gè)較為復(fù)雜的問題時(shí)，學(xué)生要做的是切中問題解答的核心所在，進(jìn)而理清分析思路，采取最為合理的方法進(jìn)行解題.

[關(guān)鍵詞] 問題解答；核心；初中數(shù)學(xué)

隨著初中數(shù)學(xué)教學(xué)的不斷推進(jìn)，各類練習(xí)與測(cè)試當(dāng)中所出現(xiàn)的問題也逐漸呈現(xiàn)出了疑難復(fù)雜的趨勢(shì). 初中階段的學(xué)生還沒有形成完整的數(shù)學(xué)分析思維，在應(yīng)對(duì)這類問題時(shí)總會(huì)顯得比較吃力. 為了增強(qiáng)學(xué)生處理困難問題的能力，除了從知識(shí)內(nèi)容的掌握角度來加以夯實(shí)之外，解題方法、技巧的引導(dǎo)也是必不可少的. 筆者在實(shí)際教學(xué)過程當(dāng)中經(jīng)常會(huì)選擇一些具有典型性的問題作為切入點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生一起探尋這些問題的核心所在，并在問題解答的同時(shí)深化知識(shí)理解，明晰分析思路，收獲頗為理想的教學(xué)優(yōu)化效果.

運(yùn)用熟悉化策略，構(gòu)造輔助元素

？搖？搖很多情況下，初中數(shù)學(xué)當(dāng)中所出現(xiàn)的問題并不是學(xué)生非常熟悉的. 甚至在一些比較靈活的問題當(dāng)中，其中的許多元素都讓學(xué)生感到陌生. 在這樣的情況下，學(xué)生必然會(huì)感到解題時(shí)無法入手. 為了讓大家鋪平思維道路，就需要將這種陌生的題目環(huán)境熟悉化，讓更多的學(xué)生知曉，甚至將掌握的知識(shí)內(nèi)容轉(zhuǎn)化進(jìn)來，讓學(xué)生在熟悉的問題狀態(tài)之下進(jìn)行思考. 在構(gòu)建熟悉化環(huán)境的方法當(dāng)中，構(gòu)造輔助元素比較常用.

例如，學(xué)習(xí)了矩形的知識(shí)內(nèi)容后，學(xué)生遇到了這樣一道習(xí)題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=200 cm，CD=100 cm，求AD，BC的長(zhǎng). 在這個(gè)問題當(dāng)中，四邊形ABCD顯然是一個(gè)不規(guī)則的圖形，自然無法從中找出規(guī)律特點(diǎn)來為解題服務(wù). 因此，對(duì)于這樣的情況，學(xué)生首先要做的就是根據(jù)當(dāng)前圖形的特征，將它向自己熟悉的圖形進(jìn)行構(gòu)造與轉(zhuǎn)化. 于是，對(duì)于這個(gè)圖形來講，我們便抓住了其中的直角特征，將其補(bǔ)足成為矩形（如圖2），成功地將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的內(nèi)容. 由此，計(jì)算題目當(dāng)中所要求的部分自然也就不是難題了. 從這道題的輔助線構(gòu)造思路當(dāng)中，學(xué)生感受到了熟悉化策略的運(yùn)用核心，在面對(duì)類似的陌生問題情境時(shí)，能夠較為熟練地向著構(gòu)造熟悉圖形的方向去思考，為難題的解答打開了出口.

經(jīng)過輔助元素的構(gòu)造，原本陌生的數(shù)學(xué)問題變成了學(xué)生所熟悉的樣子. 這不僅是構(gòu)造輔助元素的意義所在，更是指引學(xué)生合理添加輔助元素的目標(biāo)方向. 在構(gòu)造輔助元素的過程當(dāng)中，也存在著不少規(guī)律性的方法，這就需要學(xué)生在足夠數(shù)量的練習(xí)支持下加以總結(jié).

運(yùn)用簡(jiǎn)單化策略，展開分類討論

在一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題之中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)綜合性較強(qiáng)的問題. 在這樣的問題里，總是包含著許多知識(shí)的發(fā)展方向. 如果一味地將這些方向混為一談，一起進(jìn)行思考，難免會(huì)讓學(xué)生難以區(qū)分，反而造成思維更加混亂的局面. 為了理清思維，需要學(xué)生將這些不同的問題發(fā)展方向剝離開來，分別進(jìn)行思考處理，也就是我們接下來要談到的分類討論.

例如，在正方形內(nèi)容的教學(xué)過程中，學(xué)生遇到了這樣一個(gè)問題：如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10 cm，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2 cm/s的速度沿正方形的邊逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t s時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)D之間的距離. 為了將大家的思路理清、理順，需分情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)P在線段AB上，即0≤t≤5；②點(diǎn)P在線段BC上，即5

分類討論的方法在初中數(shù)學(xué)問題的解答當(dāng)中，適用范圍非常廣. 當(dāng)學(xué)生面對(duì)思維方向較為繁雜的問題時(shí)，不要繼續(xù)勉為其難，這樣只會(huì)讓問題分析過程更加混亂，解題結(jié)果也不會(huì)理想. 如果能夠?qū)?fù)雜問題進(jìn)行拆分，把每一種可能性都羅列出來，分別討論處理，便能夠讓解題思維瞬間清晰起來. 這也是解答疑難問題的思維關(guān)鍵之所在.

運(yùn)用直觀化策略，適當(dāng)繪制圖表

當(dāng)學(xué)生遇到敘述比較抽象、復(fù)雜的問題時(shí)，常常會(huì)感到理解困難，無法找出題目所要表達(dá)的真實(shí)意圖. 是的，如果連題目本身都無法讀懂，又如何從中分析出可用條件用于解題呢？為此，筆者在實(shí)際教學(xué)中經(jīng)常向?qū)W生滲透直觀化的解題策略，即在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)繪制圖表，以這種方式將已知條件加以表現(xiàn)，進(jìn)而使學(xué)生能夠輕松發(fā)現(xiàn)題目當(dāng)中所存在的關(guān)聯(lián).

例如，學(xué)生曾經(jīng)遇到過這樣一個(gè)問題：計(jì)算++++++的值. 這個(gè)問題看似簡(jiǎn)單，真正計(jì)算起來卻困難重重. 算式中那么多項(xiàng)，難道真的要每一項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行通分再相加嗎？雖然不是不可以，但過程未免太過復(fù)雜，正確率也無法保證. 那么，如何才能快速、簡(jiǎn)潔地完成解題呢？我們結(jié)合圖形，聯(lián)想到了借助正方形的劃分來表示這個(gè)式子. 如圖4，當(dāng)構(gòu)造出一個(gè)面積為1的正方形之后，便可以很輕松地從中表示出上述算式當(dāng)中的每一項(xiàng)，同時(shí)也可以很自然地發(fā)現(xiàn)，七項(xiàng)相加，其結(jié)果等價(jià)于1-，的結(jié)果馬上就得出來了. 從這個(gè)問題的解答當(dāng)中，學(xué)生得到了很大的啟發(fā)：只要把握住了直觀地以圖形輔助分析的核心思路之后，即使是單純的代數(shù)問題，也同樣可以從圖形的角度進(jìn)行解答，且過程更加高效.

數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)本來就同圖形之間存在著十分密切的聯(lián)系，在具體問題的解答過程當(dāng)中更是如此. 初中階段的學(xué)生還沒有形成完善的知識(shí)分析能力和理論想象能力，很容易在面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)出現(xiàn)信息獲取與條件分析的困難. 如果能夠建立起適時(shí)繪制圖表的分析意識(shí)，以此方式輔助思維，將會(huì)為知識(shí)學(xué)習(xí)提供很大的助力.

運(yùn)用整體化策略，有機(jī)整合條件

在數(shù)學(xué)問題的解答當(dāng)中，還有一個(gè)重要的分析策略需要學(xué)生掌握，那就是整體化策略. 它的核心在于將零散的條件加以整合，站在更高的角度上，將之作為一個(gè)整體來看待，進(jìn)而更加高效地分析條件，讓問題得以快速解答. 整體化策略在解題過程當(dāng)中的表現(xiàn)雖然不像圖形那樣明顯，但其所發(fā)揮的推動(dòng)作用卻極為顯著.

例如，在二元一次方程組內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)過這樣一道習(xí)題：若買2支圓珠筆和1本日記本的價(jià)格是4元，買1支圓珠筆和2本日記本的價(jià)格是5元，那么，買4支圓珠筆和4本日記本的價(jià)格是多少元？對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生很自然地反應(yīng)出，應(yīng)當(dāng)通過列二元一次方程組的方式來進(jìn)行解題，即設(shè)每支圓珠筆x元，每本日記本y元，則根據(jù)題意有2x+y=4，x+2y=5. 解決本題的關(guān)鍵在于，應(yīng)當(dāng)如何求解這個(gè)方程組. 分別將x和y的值解出來不是不可以，但是在這個(gè)問題的環(huán)境之下，似乎有些多此一舉. 如果學(xué)生能夠從整體出發(fā)，將方程組中的兩式相加后化簡(jiǎn)，就可以得到x+y=3的結(jié)果，將它乘以4，便能夠得出題目所要求得的目標(biāo). 整體化的核心思維，讓整個(gè)思維過程都條理清晰且簡(jiǎn)化了不少.

在眾多數(shù)學(xué)問題解答的思想方法當(dāng)中，整體思想是整體化策略的最好表現(xiàn). 很多時(shí)候，如果能從整體的角度分析一種條件，或著手進(jìn)行計(jì)算，不僅能夠大大簡(jiǎn)化思維過程，更可以發(fā)現(xiàn)更多、更好的解答思路. 以整體化的眼光來處理知識(shí)的方法，必然可以為初中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的效率提升助力不少. 不過，通過實(shí)際教學(xué)當(dāng)中的觀察，筆者也意識(shí)到，大多數(shù)學(xué)生缺乏整體思維，這也向教師們提出了更高的針對(duì)性培養(yǎng)要求.

對(duì)于初中數(shù)學(xué)來講，具體問題的解答是一個(gè)很好的教學(xué)深入機(jī)會(huì). 當(dāng)學(xué)生面對(duì)問題時(shí)，對(duì)于相關(guān)知識(shí)方法的需求會(huì)更具針對(duì)性，這時(shí)所開展的教學(xué)活動(dòng)自然也得以被學(xué)生更為高效地接受. 另外，通過對(duì)解答數(shù)學(xué)問題加以訓(xùn)練，能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生把握問題核心關(guān)鍵的能力. 當(dāng)遇到一個(gè)較為復(fù)雜的問題時(shí)，學(xué)生要做的是切中問題解答的核心所在，進(jìn)而理清分析思路，采取最為合理的方法進(jìn)行解題. 在這樣的訓(xùn)練過程當(dāng)中，學(xué)生不僅可以強(qiáng)化知識(shí)基礎(chǔ)，更能夠從思維能力上得到升華，這對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效的提升具有積極的推動(dòng)作用.