丁錦榮

[摘 要] 數(shù)學(xué)應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，但在教學(xué)實(shí)踐中容易忽視. 建立數(shù)學(xué)應(yīng)用的視角，并將其貫穿到數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)與整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中去，可以有效地引導(dǎo)學(xué)生形成應(yīng)用意識(shí)，生成應(yīng)用能力. 開(kāi)發(fā)微型實(shí)踐活動(dòng)，也可以促進(jìn)應(yīng)用意識(shí)的形成.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用意識(shí)；應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）明確提出了數(shù)學(xué)應(yīng)用的概念，在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中也確實(shí)有著明顯的數(shù)學(xué)應(yīng)用的痕跡存在，但是對(duì)于一個(gè)更為根本的問(wèn)題，卻有意無(wú)意地給予了忽視，那就是學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)問(wèn)題. 這個(gè)問(wèn)題被忽視也是情有可原的：一方面，由于存在較大的應(yīng)試壓力，數(shù)學(xué)學(xué)科又是應(yīng)試壓力較為明顯的學(xué)科，在實(shí)際教學(xué)中更多的精力花在提高學(xué)生的解題能力上，因此對(duì)于真正的數(shù)學(xué)應(yīng)用難以顧及，這種教師自身數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)意識(shí)的薄弱，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)難以得到真正的培養(yǎng)；另一方面，數(shù)學(xué)意識(shí)本身就屬于“意識(shí)范疇”，而意識(shí)原本就是隱性的，這種隱性的因素對(duì)于學(xué)生顯性的解題能力的培養(yǎng)往往沒(méi)有明確的作用，因而也確實(shí)不容易引起教師和學(xué)生的注意. 這種對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的淡化，使得數(shù)學(xué)應(yīng)用其實(shí)難以真正成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的直覺(jué)性行為，因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，確實(shí)存在著強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)的必要. 本文試對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)提幾點(diǎn)個(gè)人看法.

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)存在于數(shù)學(xué)知識(shí)

的形成過(guò)程當(dāng)中

初中數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)什么樣的過(guò)程？不同的教學(xué)者可能有不同的認(rèn)識(shí)，但如果從數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)來(lái)看（也就是不要太多地考慮應(yīng)試，而事實(shí)上如果數(shù)學(xué)應(yīng)用真正到位，應(yīng)試的問(wèn)題是可以迎刃而解的），數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程應(yīng)當(dāng)是這樣一個(gè)過(guò)程：首先，用數(shù)學(xué)知識(shí)去組織經(jīng)驗(yàn)材料；其次，用數(shù)學(xué)邏輯去理解經(jīng)驗(yàn)材料；最后，利用數(shù)學(xué)理論去理解經(jīng)驗(yàn)材料. 這三個(gè)過(guò)程其實(shí)都指向數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過(guò)程，也指向?qū)W生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，當(dāng)然也指向數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng). 具體來(lái)說(shuō)包括這樣幾個(gè)層面的理解：

其一，在數(shù)學(xué)概念構(gòu)建的過(guò)程中，如果能夠更多地提供知識(shí)的形成背景，那就可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). 這個(gè)工作可以從初一時(shí)就做起，如初中數(shù)學(xué)首先要學(xué)的就是有理數(shù)，那么我們?yōu)槭裁匆⒂欣頂?shù)這個(gè)概念呢？教師可以向?qū)W生介紹有理數(shù)的歷史，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到其實(shí)是社會(huì)的發(fā)展與推動(dòng)，使得數(shù)必須得到擴(kuò)展，因而就必須在原來(lái)的正數(shù)基礎(chǔ)上引入負(fù)數(shù)，并建立范圍更廣的有理數(shù)概念. 其實(shí)，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)必須強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用，因?yàn)轭愃朴谙驅(qū)W生介紹數(shù)的發(fā)展史的過(guò)程，可以讓學(xué)生知道數(shù)及數(shù)學(xué)的發(fā)展往往都來(lái)自某種應(yīng)用的需要，反過(guò)來(lái)，所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)也總能解決某些應(yīng)用需要. 這種建立在直接的數(shù)學(xué)與應(yīng)用兩者聯(lián)系基礎(chǔ)上的教學(xué)，顯然可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的形成.

其二，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程原本就是一個(gè)系統(tǒng)化的過(guò)程，基于系統(tǒng)論的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)應(yīng)用在其中也有著重要的體現(xiàn). 初中數(shù)學(xué)內(nèi)容中，有一部分知識(shí)是無(wú)法在真正的現(xiàn)實(shí)情境中形成的，需要對(duì)實(shí)際情形作一些理想化的處理，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過(guò)程更加清晰，但這并不意味著數(shù)學(xué)應(yīng)用的淡化，相反，在此過(guò)程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)可以使學(xué)生更好地形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，而這可以視作是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的隱性培養(yǎng)方式. 比如在“多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘”的教學(xué)中，教師可以給學(xué)生提供這樣一個(gè)情境：某校需要擴(kuò)建操場(chǎng)，已知操場(chǎng)原來(lái)的長(zhǎng)和寬分別是a和b，現(xiàn)在要使其長(zhǎng)和寬分別增加m和n，那后來(lái)的面積是多少？這個(gè)問(wèn)題來(lái)源于實(shí)際，但又不完全受實(shí)際中一些無(wú)關(guān)條件的約束，因此成為一個(gè)源于實(shí)際的清晰的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 學(xué)生很直覺(jué)地通過(guò)畫(huà)圖表示問(wèn)題中的數(shù)據(jù)，也很容易就列出了（a+m）（b+n）的表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上教師可以追問(wèn)，還有其他的表達(dá)形式嗎？于是學(xué)生繼續(xù)鉆研，結(jié)果想到了ab+an+bm+mn的表達(dá)形式. 于是下面的教學(xué)就水到渠成了.

教學(xué)中筆者常常注意到這樣一個(gè)細(xì)節(jié)，那就是在這兩個(gè)結(jié)果得出之后，大部分學(xué)生還沒(méi)有意識(shí)到這兩個(gè)表達(dá)式之間的關(guān)系，而在筆者的進(jìn)一步提醒之后，他們才有一種恍然大悟的感覺(jué)：咦？原來(lái)兩者之間竟然是相等的關(guān)系?。∵@樣的感覺(jué)在此前常常被筆者理解為學(xué)生的反應(yīng)速度不夠快. 但在數(shù)學(xué)應(yīng)用的視角之下，筆者發(fā)現(xiàn)其實(shí)這是一個(gè)很好的解釋機(jī)會(huì)，解釋什么？解釋學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)問(wèn)題. 筆者跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)：離開(kāi)了這個(gè)具體的例子，這個(gè)多項(xiàng)式相乘的關(guān)系還成立嗎？這個(gè)關(guān)系是怎樣被我們發(fā)現(xiàn)的？這告訴了我們什么？

對(duì)于這三個(gè)問(wèn)題的回答，筆者尤其強(qiáng)調(diào)后兩個(gè)問(wèn)題之間的聯(lián)系，必須引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到一些數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)具體情境中對(duì)問(wèn)題的分析獲得，這就是一種數(shù)學(xué)應(yīng)用的直接體現(xiàn).

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)貫穿

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程

數(shù)學(xué)應(yīng)用不應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)的點(diǎn)綴，數(shù)學(xué)應(yīng)用應(yīng)當(dāng)貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，這也是筆者在教學(xué)中形成的一個(gè)認(rèn)識(shí). 筆者注意到，真正在數(shù)學(xué)應(yīng)用中生成數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的過(guò)程，學(xué)生非常喜歡. 而一段時(shí)間后的考試評(píng)價(jià)也常?？梢园l(fā)現(xiàn)一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，那就是通過(guò)數(shù)學(xué)應(yīng)用得到的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生的印象總是相對(duì)更為深刻，應(yīng)用起來(lái)也更得心應(yīng)手. 當(dāng)然，這里也有部分學(xué)生的記憶效果與應(yīng)用能力表現(xiàn)一般，繼續(xù)調(diào)查之后發(fā)現(xiàn)他們對(duì)當(dāng)時(shí)形成這一知識(shí)時(shí)的應(yīng)用過(guò)程已經(jīng)沒(méi)有印象了. 這或許可以從反面證實(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用之于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的價(jià)值.

那么，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)如何有效地貫穿學(xué)生的整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程呢？筆者以為可以從如下幾個(gè)方面作出努力.

其一，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)目標(biāo)的組成部分. 在通常的教學(xué)設(shè)計(jì)中，數(shù)學(xué)應(yīng)用容易缺席，或者即使有也只是紙面點(diǎn)綴，難以成為具體的教學(xué)行為. 但如果真正建立這個(gè)意識(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)其可以成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)脈絡(luò). 分析初中數(shù)學(xué)教材可以發(fā)現(xiàn)，從有理數(shù)到整式，從方程到幾何圖形，從相交線、平行線到平面直角坐標(biāo)系，從二次函數(shù)到圓再到概率初步，都有豐富的數(shù)學(xué)應(yīng)用的知識(shí)，因此從數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的本身來(lái)看，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)成為目標(biāo)組成部分.

其二，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的情境當(dāng)中. 進(jìn)入課程改革以來(lái)，特別強(qiáng)調(diào)教學(xué)情境的作用，這說(shuō)明現(xiàn)在的教學(xué)更多的重視學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)活動(dòng)，而學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)活動(dòng)離不開(kāi)情境中具體問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，這種具體問(wèn)題往往就來(lái)自于數(shù)學(xué)應(yīng)用，如學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)時(shí)，通?？梢韵?qū)W生提供生活中的一些圓，如摩天輪、自行車的輪圈、呼啦圈、天上的明月等，基于這些直接的認(rèn)識(shí)，可以提出一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題：如何畫(huà)出一個(gè)圓？這個(gè)問(wèn)題的解決顯然不是讓學(xué)生思考到一種方法即可，而是讓學(xué)生想出多種方法來(lái)畫(huà)圓. 這個(gè)要求的提出，可以讓學(xué)生在思維中構(gòu)建多種畫(huà)圓的辦法，而在對(duì)這些方法進(jìn)行分析與綜合的過(guò)程中，學(xué)生就可以初步意識(shí)到不同方法所畫(huà)出的圓有著共同的特征，如圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等，反之亦成立；又如等長(zhǎng)的弦對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)亦相等等. 此時(shí)這些等量關(guān)系的成立，往往不是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明結(jié)果，而是學(xué)生的直覺(jué). 要知道，這種直覺(jué)一旦被證實(shí)之后，學(xué)生會(huì)無(wú)比喜悅，這種學(xué)習(xí)熱情可以驅(qū)動(dòng)學(xué)生在很長(zhǎng)一段時(shí)間里對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感興趣. 而回過(guò)頭來(lái)看，這不正是數(shù)學(xué)應(yīng)用的效果嗎？

其三，數(shù)學(xué)應(yīng)用應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)的過(guò)程中. 數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)對(duì)學(xué)生的影響極大，在數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)中滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用，對(duì)于學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)也有明顯的作用. 經(jīng)過(guò)實(shí)踐，筆者總結(jié)出了數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)促進(jìn)應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)的兩個(gè)基本途徑：一種是日常教學(xué)中的評(píng)價(jià)，這有點(diǎn)類似于上面提到的數(shù)學(xué)關(guān)系出來(lái)之后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思的相關(guān)問(wèn)題，即讓學(xué)生明確意識(shí)到一些數(shù)學(xué)知識(shí)的形成是來(lái)源于數(shù)學(xué)應(yīng)用的；另一種就是考試評(píng)價(jià)中的應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)，也就是在試卷上要多出現(xiàn)應(yīng)用型的試題，且其答題不能局限于列式求解，而應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生更多地通過(guò)對(duì)應(yīng)用的分析去尋找解題的方法，然后選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具解題. 尤其在階段性的考試中，讓學(xué)生從更廣泛的知識(shí)中去尋找相應(yīng)的工具分析實(shí)際問(wèn)題，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，而有了這種意識(shí)之后再去解題，對(duì)提高解題能力也極有幫助.

通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生

的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)是一種重要的學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)實(shí)踐本身就有濃郁的應(yīng)用意識(shí). 初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，實(shí)踐活動(dòng)往往并不占主流，但如果結(jié)合某一個(gè)具體的知識(shí)，利用幾個(gè)課時(shí)的時(shí)間去完成一個(gè)實(shí)踐活動(dòng)，那對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)來(lái)說(shuō)，意義不言而喻.

而尋找數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)則幾乎是一件觸手可及的事情. 簡(jiǎn)單如圓的學(xué)習(xí)之前的旋轉(zhuǎn)實(shí)踐活動(dòng)，就可以給出一課的一半左右的時(shí)間，讓學(xué)生自己去摸索圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的性質(zhì)，這可為圓的知識(shí)建構(gòu)奠定基礎(chǔ). 筆者稱此為“微型實(shí)踐活動(dòng)”，占時(shí)不多，效果不錯(cuò)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)來(lái)說(shuō)，也很有作用.