李建啟， 路立浩

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部， 天津 300072)

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商譽(yù)和價(jià)格影響需求的易逝品動(dòng)態(tài)定價(jià)與廣告決策*

李建啟， 路立浩

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部， 天津 300072)

摘要：研究需求受價(jià)格和商譽(yù)共同影響下易逝品動(dòng)態(tài)定價(jià)與廣告投資策略的聯(lián)合決策問(wèn)題。在初始庫(kù)存確定的情形下，在某待定銷售周期內(nèi)，企業(yè)通過(guò)投入廣告提升自身商譽(yù)從而拓寬市場(chǎng)，以企業(yè)利潤(rùn)最大化為目標(biāo)，建立聯(lián)合最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)及廣告投資策略模型。應(yīng)用龐特里亞金極大值原理，求得不同系統(tǒng)參數(shù)下最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)和廣告投資策略及最優(yōu)的銷售周期。通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證方法的有效性，結(jié)合參數(shù)靈敏度分析檢驗(yàn)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響并給出相應(yīng)管理意義。

關(guān)鍵詞：易逝品； 庫(kù)存控制； 動(dòng)態(tài)定價(jià)； 動(dòng)態(tài)廣告； 商譽(yù)； 極大值原理

易逝品作為一類特殊的商品，具有質(zhì)量不易保障、價(jià)值下降迅速、銷售期短、需求不確定等特點(diǎn)，其在生活中無(wú)處不在，如水果、蔬菜、機(jī)票、電子產(chǎn)品等。正是因其特殊性，對(duì)易逝品的管理顯得尤為重要。商品銷售不僅依賴于價(jià)格，也會(huì)受到非價(jià)格因素(如廣告、質(zhì)量、產(chǎn)品包裝等)的影響。因此，企業(yè)在易逝品銷售管理中，為實(shí)現(xiàn)自身利潤(rùn)最大化，價(jià)格和廣告投入決策至關(guān)重要。這也是本文的出發(fā)點(diǎn)和主要研究?jī)?nèi)容。

動(dòng)態(tài)定價(jià)近年來(lái)作為學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)已被廣泛應(yīng)用到易逝品的收益管理中。王宏達(dá)和汪定偉[1]對(duì)季節(jié)性商品的定價(jià)方法進(jìn)行了研究。Liu等[2]將溫控納入研究?jī)?nèi)容，建立易逝品動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，利用極大值原理求解最優(yōu)策略，并將其與靜態(tài)最優(yōu)策略比較，結(jié)果表明動(dòng)態(tài)定價(jià)可以為企業(yè)帶來(lái)更多利潤(rùn)。Liu等[3]研究了需求受價(jià)格和質(zhì)量影響下易逝品的動(dòng)態(tài)定價(jià)和倉(cāng)儲(chǔ)技術(shù)投資決策，利用極大值原理求解最優(yōu)策略，并設(shè)計(jì)算法進(jìn)行數(shù)值模擬。Zhang等[4]考慮了包含單個(gè)制造商和單個(gè)零售商的易逝品供應(yīng)鏈中倉(cāng)儲(chǔ)技術(shù)投資和動(dòng)態(tài)定價(jià)聯(lián)合決策問(wèn)題，并通過(guò)收益共享和合作投資合同協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈。

然而，上述有關(guān)易逝品動(dòng)態(tài)定價(jià)模型的文獻(xiàn)并沒(méi)有考慮廣告在企業(yè)收益管理中的重大作用。現(xiàn)今，隨著信息技術(shù)與互聯(lián)網(wǎng)科技的發(fā)展，廣告對(duì)消費(fèi)者決策影響越來(lái)越大，也已成為企業(yè)擴(kuò)大商品銷量提升自身品牌競(jìng)爭(zhēng)力的重要手段之一。在Nerlove和Arrow[5]提出著名的Nerlove-Arrow(N-A)模型后，廣告研究已取得豐碩成果，國(guó)內(nèi)外有大量相關(guān)文獻(xiàn)，F(xiàn)eichtinger等[6]、Huang等[7]、Asut和Buscher[8]對(duì)廣告研究的相關(guān)文獻(xiàn)作了細(xì)致的回顧與歸納。

在易逝品收益管理研究中，也有學(xué)者探討研究了廣告投資決策問(wèn)題。Pal等[9]研究了需求受銷售價(jià)格、廣告和商鋪展示庫(kù)存水平(DSL)共同影響的單項(xiàng)產(chǎn)品的確定性庫(kù)存系統(tǒng)。Xiong等[10]以隨機(jī)需求依賴于價(jià)格和廣告的假設(shè)為基礎(chǔ)，建立報(bào)童模型，聯(lián)合決策最優(yōu)價(jià)格、廣告投入和訂貨量。Zhang等[11]研究了易逝品供應(yīng)鏈中的生產(chǎn)、定價(jià)和廣告投入決策問(wèn)題，以及合作廣告對(duì)渠道效率的影響。

與上述文獻(xiàn)不同的是，本文研究了易逝品最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)和廣告投入的聯(lián)合決策問(wèn)題。不考慮補(bǔ)貨情形，在某待決策銷售周期內(nèi)，初始庫(kù)存水平既定，需求受價(jià)格和廣告影響，以企業(yè)利潤(rùn)最大化為目標(biāo)建立優(yōu)化模型，利用龐特里亞金極大值原理，確定最優(yōu)的動(dòng)態(tài)定價(jià)、廣告投入和銷售周期，并通過(guò)數(shù)值算例進(jìn)行分析說(shuō)明，為企業(yè)決策提供參考。

一、基本模型

企業(yè)在銷售期[0，tf]內(nèi)銷售某種易逝品，tf未知待確定，不考慮補(bǔ)貨情形，給定初始庫(kù)存I0>0，在tf時(shí)刻庫(kù)存為零，且企業(yè)在此銷售期內(nèi)進(jìn)行廣告投入。令u(t)和G(t)分別表示t時(shí)刻的廣告投入和商譽(yù)水平。根據(jù)Nerlove-Arrow模型，商譽(yù)動(dòng)態(tài)衍化方程為

(1)

式中：γ和δ均為正常數(shù)；G0>0為初始商譽(yù)水平。

需求受價(jià)格和廣告的影響，其關(guān)系表示為

D(G，p)=kG(α-βp)

(2)

式中：k、α、β均為正常數(shù)；p為零售價(jià)格。價(jià)格需滿足條件0≤p(t)≤α/β，以保證需求非負(fù)。

令I(lǐng)(t)表示t時(shí)刻的庫(kù)存水平。假設(shè)庫(kù)存衰減率為f(I)=θI且θ>0，則庫(kù)存動(dòng)態(tài)演化方程為

(3)

(4)

根據(jù)上述分析，可構(gòu)建企業(yè)最優(yōu)聯(lián)合動(dòng)態(tài)定價(jià)與廣告策略及最優(yōu)銷售周期優(yōu)化模型，即

(5)

I(0)=I0

I(tf)=0

G(0)=G0

u(t)≥0

二、模型分析與求解

利用龐特里亞金極大值原理求解最優(yōu)化模型(5)。構(gòu)建哈密爾頓函數(shù)，即

λ1(kG(α-βp)+θI)+

λ2(γu-δG)

(6)

(7)

(8)

并滿足橫截條件

式中，μ為待定常值。

哈密爾頓極大化條件為

H(I*(t)，G*(t)，p*(t)，u*(t)，λ1(t)，λ2(t)，t)≥

H(I*(t)，G*(t)，p(t)，u(t)，λ1(t)，λ2(t)，t)

(9)

根據(jù)式(6)和(9)，可得最優(yōu)價(jià)格和廣告投資策略分別為

(10)

(11)

(12)

其等價(jià)于方程

(13)

根據(jù)終端條件λ1(tf)=α/β，可得微分方程(7)的解為

(14)

(15)

下面給出本文的主要結(jié)論：

(16)

最優(yōu)廣告投資策略為

(17)

(18)

其中

(19)

(20)

δλ2(t)

(21)

當(dāng)δ≠θ，δ≠2θ時(shí)，根據(jù)橫截條件λ2(tf)=0可得微分方程(21)的解為

(22)

對(duì)式(22)關(guān)于t求導(dǎo)可得

將式(17)代入式(1)，根據(jù)初始條件G(0)=G0可得企業(yè)商譽(yù)水平為

(23)

將式(16)和(23)代入式(3)中，根據(jù)初始條件I(0)=I0可得庫(kù)存水平為

(24)

(25)

最優(yōu)廣告投資策略為

(26)

(27)

其中

(28)

C7=eθt1(I(t1)-Q(t1))

(29)

其中

當(dāng)λ1(0)<-α/β，δ≠θ，δ≠2θ時(shí)，根據(jù)λ1(t)的單調(diào)性和式(15)，可得最優(yōu)的定價(jià)策略p*(t)，如式(25)所示。由λ1(t)的單調(diào)性可知，存在唯一t1滿足方程λ1(t1)=-α/β。

在區(qū)間[0，t1]內(nèi)，將[0，t1]代入式(8)可得

(30)

當(dāng)δ≠θ且δ≠2θ時(shí)，在區(qū)間[t1，tf]上λ2(t)的形式與式(22)相同。在區(qū)間[0，t1]上，根據(jù)終端條件可得

由λ1(t)≤-α/β和λ2(t1)>0可得在區(qū)間[0，t1]上λ2(t)>0。綜上，最優(yōu)廣告投資策略u(píng)*(t)如式(26)所示。

將式(26)代入式(1)，根據(jù)初始條件G(0)=G0可得企業(yè)的商譽(yù)水平為

(31)

其中

(32)

(33)

將式(25)和(31)代入式(3)，根據(jù)初始條件I(0)=I0可得庫(kù)存水平為

注：命題1和2只考慮了參數(shù)δ≠θ且δ≠2θ的情形。當(dāng)δ=θ或δ=2θ時(shí)的最優(yōu)策略可取極限得到，因此本文省略了這部分內(nèi)容的闡述和證明。

三、算例分析

p*(t)=7.5exp(0.1t-1.171 6)+2.5

最優(yōu)廣告策略為

u*(t)=140.62exp(0.1t-1.171 6)(exp(0.1t-

1.171 6)-1)-46.875exp(0.3t-

3.514 7)+46.875

計(jì)算可得公司最大利潤(rùn)J*=353.256 7。

系統(tǒng)參數(shù)θ、δ和k對(duì)最優(yōu)價(jià)格與廣告策略及最優(yōu)銷售周期的決策影響重大，為此本文對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析，如圖1~3所示，不同產(chǎn)品及商譽(yù)衰減系數(shù)θ、δ及不同要求對(duì)商譽(yù)的敏感度k的最優(yōu)銷售周期和利潤(rùn)分別如表1~3所示。

圖1　不同產(chǎn)品衰減系數(shù)θ下的最優(yōu)價(jià)格與廣告投資策略

θt*fJ*0.0514.5757426.23410.1011.7158353.25670.208.7796263.50590.406.1841175.2008

圖1和表1顯示，產(chǎn)品衰減系數(shù)越大，產(chǎn)品的最優(yōu)銷售周期越短，最優(yōu)價(jià)格越高，企業(yè)的廣告投資越低。較高的衰減系數(shù)促使企業(yè)在較短的銷售周期內(nèi)銷售產(chǎn)品，并降低廣告投資提高價(jià)格以減少成本與損失。衰減系數(shù)越大，價(jià)格增長(zhǎng)速度越

圖2　不同商譽(yù)衰減系數(shù)δ下的最優(yōu)價(jià)格與廣告投資策略

δt*fJ*0.0510.0551562.62880.3011.7158353.25670.4012.9501214.03120.5014.242880.1980

快，廣告投資下降速度越慢。表1表明，產(chǎn)品衰減系數(shù)越大企業(yè)利潤(rùn)越小。

圖2和表2顯示，商譽(yù)的衰減系數(shù)越大，銷售周期越長(zhǎng)，產(chǎn)品的銷售價(jià)格越低，在銷售周期初期廣告投資越低，在銷售周期中后期投入廣告越高。商譽(yù)衰減系數(shù)越大，價(jià)格增長(zhǎng)速度越慢，廣告投資下降速度越慢。表2表明，商譽(yù)衰減系數(shù)越大企業(yè)獲得的利潤(rùn)越低。

圖3　不同需求對(duì)商譽(yù)的敏感度k下的

kt*fJ*0.413.0624181.00840.511.7158353.25670.610.7386490.94520.79.9882604.6844

圖3和表3顯示，商譽(yù)對(duì)需求影響系數(shù)越大，產(chǎn)品的銷售周期越短，產(chǎn)品相應(yīng)的銷售價(jià)格越高，在銷售周期初期廣告投資越高，銷售周期后期廣告投資越低。需求對(duì)商譽(yù)的敏感度越大時(shí)，相同價(jià)格時(shí)需求則越大，因此企業(yè)有更大的定價(jià)空間，從而提高企業(yè)收益。需求對(duì)商譽(yù)的敏感度越大時(shí)，企業(yè)在初期廣告投資越多以迅速擴(kuò)大銷量并減少商品自身衰減的損失，而在中后期提高商譽(yù)水平可縮減廣告投資以減少成本，同時(shí)提高價(jià)格獲得更高利潤(rùn)。需求對(duì)商譽(yù)的敏感度越大時(shí)，價(jià)格增加速度越快，廣告下降速度越快。表3表明，需求對(duì)商譽(yù)的敏感度越大企業(yè)獲得的利潤(rùn)越高。

四、結(jié)論

本文研究了價(jià)格與商譽(yù)同時(shí)影響需求下，易逝品的最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)與廣告投資策略以及最優(yōu)銷售周期決策問(wèn)題。應(yīng)用龐特里亞金極大值原理，得到不同系統(tǒng)參數(shù)下企業(yè)利潤(rùn)最大化的最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)與廣告策略及相應(yīng)的最優(yōu)銷售周期。通過(guò)數(shù)值算例和系統(tǒng)參數(shù)靈敏度分析對(duì)企業(yè)最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)與廣告策略及最優(yōu)銷售周期進(jìn)行深入分析和研究，為企業(yè)采取動(dòng)態(tài)定價(jià)與廣告策略運(yùn)營(yíng)策略提供技術(shù)支持。

本文只考慮了易逝品單周期的動(dòng)態(tài)定價(jià)與廣告投資策略問(wèn)題，而多周期銷售行為在生活中也比較常見(jiàn)，該情況下的動(dòng)態(tài)定價(jià)與廣告投資策略問(wèn)題有待進(jìn)一步研究。消費(fèi)者行為對(duì)企業(yè)的運(yùn)營(yíng)銷售策略具有重要的影響，在研究產(chǎn)品運(yùn)營(yíng)策略時(shí)可以將消費(fèi)者行為(如參考價(jià)格)考慮進(jìn)來(lái)，這將是一項(xiàng)極富挑戰(zhàn)性的任務(wù)。

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(責(zé)任編輯：吉海濤)

Dynamic pricing and advertising decision of perishable item with goodwill-and-price-dependent demand

LI Jian-qi, LU Li-hao

(College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Abstract：The joint decision problem is studied of dynamic pricing and advertising decision of perishable item with demand influenced by price and goodwill. The model of joint optimal dynamic pricing and advertising investment strategy is established under the conditions that the initial inventory is defined, the sales period is predetermined, the enterprise can expand the market by putting into advertising to enhance its goodwill, and the aim is maximizing profit. The optimal dynamic pricing and advertising investment strategy and the optimal sales cycle are obtained under different system parameters by applying Pontryagin maximum principle. The validity of the model is verified through numerical example method. The influence of system parameters on the optimal strategy is analyzed combining parameter sensitivity analysis, and the corresponding management significance is also given.

Key words：perishable item; inventory control; dynamic pricing; dynamic advertising; goodwill; maximum principle

中圖分類號(hào)：F 714.1； F 713.8

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-0823(2016)01-0085-06

doi：10.7688/j.issn.1674-0823.2016.01.14

作者簡(jiǎn)介：李建啟(1992-)，男，安徽亳州人，碩士生，主要從事控制理論及動(dòng)態(tài)定價(jià)等方面的研究。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(473204)； 教育部人文社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目(14YJCZH204)。

收稿日期：2015-10-28

*本文已于2015-12-24 15∶02在中國(guó)知網(wǎng)優(yōu)先數(shù)字出版。 網(wǎng)絡(luò)出版地址： http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1558.C.20151224.1502.022.html