程楠

[摘 要] 針對七年級（下）學(xué)生在學(xué)習(xí)因式分解時遇到的困難，筆者對蘇科版教材中編寫的“閱讀”和“數(shù)學(xué)活動”這兩則材料進行思考和分析，并在教學(xué)實踐中進行探索.

[關(guān)鍵詞] 閱讀材料；學(xué)習(xí)興趣；因式分解

七年級（下）學(xué)習(xí)因式分解時，學(xué)生常常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：他們覺得因式分解枯燥難懂，不容易學(xué)習(xí)；又認(rèn)為學(xué)習(xí)因式分解后又不怎么使用，沒有學(xué)習(xí)價值，從而對因式分解學(xué)習(xí)缺乏興趣，越學(xué)越差. 教師對此頭疼不已，那到底該如何進行教學(xué)呢？怎么講了很多遍學(xué)生還是不會呢？高中教師也會“埋怨”，初中到底是怎樣教因式分解的啊，我們的高中生怎么一到代數(shù)變形就發(fā)懵??？

江蘇科學(xué)技術(shù)出版社2013年出版的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（后簡稱教材）在七年級下冊第九章“整式乘法和因式分解”中安排了閱讀“兩種變形的關(guān)系”和數(shù)學(xué)活動“拼圖·公式”. 教材這樣的安排用意何在？教師能否通過合理使用這兩個材料培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生解決因式分解學(xué)習(xí)中的困難呢？為此，筆者在自己的教學(xué)實踐中進行了一些探索.

因式分解學(xué)習(xí)中的困難

因式分解就是把一個多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式乘積的形式的過程.它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的代數(shù)恒等變形之一. 它不僅在初中數(shù)學(xué)的多個領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用，也是我們解決高中數(shù)學(xué)許多問題的有力工具，在高等數(shù)學(xué)某些研究方面，比如高次方程的解法中也扮演了重要“角色”.

因式分解的課程學(xué)習(xí)安排在七年級下冊第九章“整式乘法和因式分解”中，由于學(xué)生第一次接觸，所以對因式分解的認(rèn)識不足，在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生有如下困難：

（1）變形過程與整式乘法的變形過程混淆. 在因式分解進行了一兩步之后，又進行整式乘法，使得變形的最終結(jié)果是多項式，而不是整式的積.

（2）對多項式形式辨別不清，分解過程無從下手，比如不能正確地找到多項式各項的公因式，或不能準(zhǔn)確判斷多項式的形式，導(dǎo)致不能選擇正確的公式進行分解，使得分解過程不能正常開展.

（3）因式分解目的性不強，只能進行幾步分解過程，但不能將因式分解中的各個多項式分解到不能再分解為止.

由于學(xué)習(xí)因式分解過程中學(xué)生遇到了以上困難，故其對因式分解的學(xué)習(xí)提不起興趣. 他們對待產(chǎn)生的學(xué)習(xí)困難不去思考，不去研究如何克服，而是對其產(chǎn)生恐懼和反感，解題正確率低，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣喪失，陷入“有困難→沒興趣→不思考→更多的困難→更沒有興趣”的惡性循環(huán)漩渦中. 這個問題如果不能得到很好的解決，不僅直接影響八年級下“分式的運算”和九年級上“一元二次方程的解法”等相關(guān)知識的學(xué)習(xí)，還會影響高中數(shù)學(xué)中多個領(lǐng)域涉及的代數(shù)變形相關(guān)內(nèi)容的理解和學(xué)習(xí).

閱讀材料的巧妙安排

對于教材在這部分安排的閱讀“兩種變形的關(guān)系”和數(shù)學(xué)活動“拼圖·公式”這樣兩個素材，不同的人有不同的看法. 有人認(rèn)為，這兩個材料主要反映因式分解和整式乘法是互逆過程，這種互逆思想一直滲透在因式分解的教學(xué)之中，學(xué)生在理解上并沒有困難，因此，這些材料就顯得可有可無了. 還有的人認(rèn)為，材料是對因式分解中“分組分解法”和“十字相乘法”的補充，但要想把這兩種因式分解方法補充進教學(xué)中，課時又不夠，況且，學(xué)生學(xué)習(xí)“提公因式法”和“公式乘法”時已經(jīng)問題一大堆了，再加兩種方法，豈不是增加負(fù)擔(dān)？

《新課標(biāo)》對因式分解這部分的要求是“能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）”，因此，教材在這里的安排絕不是為了把已刪除的內(nèi)容“分組分解法”和“十字相乘法”撿回來. 同時，2003版教材在這里安排的閱讀材料題目為“互逆變形”，而2013版教材此處的題目為“兩種變形的關(guān)系”，由此可見，材料的安排也不僅僅是為了強調(diào)互逆變形，所以以上兩種認(rèn)識均有其片面性.

閱讀材料的題目為“兩種變形的關(guān)系”，筆者感受到教材的編寫意圖是希望學(xué)生通過閱讀材料并結(jié)合之前學(xué)習(xí)整式乘法和因式分解的經(jīng)驗去發(fā)現(xiàn)和感受多項式乘法與多項式因式分解之間的區(qū)別和聯(lián)系，體會因式分解學(xué)習(xí)的核心——它是一個與整式乘法互逆的過程. 將單項式乘多項式法則反過來就得到了因式分解中的提公因式法；將乘法公式反過來就得到了因式分解中的公式法；學(xué)生讀到這里自然提出疑問：將多項式乘多項式法則反過來能得到什么？是不是也可以得到一種因式分解的方法？從而激發(fā)了學(xué)生探究的欲望.

閱讀材料的安排也是對知識體系的一種完善，即多項式乘法中每一個法則都有一個反過來的過程，都可以得到一種分解因式的方法. 對多項式乘多項式法則逆方向的研究建立在提公因式法和公式法綜合應(yīng)用之上，需要將這兩種分解因式的方法融會貫通. 如“ac+bc+3a+3b”“a2+2ab+b2-9”，這些多項式該如何分解呢？解決這些問題的過程既是對之前因式分解內(nèi)容學(xué)習(xí)的鞏固，也是一種對學(xué)習(xí)能力的提高，可以培養(yǎng)學(xué)生更強的分析能力、判斷能力、處理信息的能力等.

數(shù)學(xué)活動“拼圖·公式”引導(dǎo)學(xué)生換種角度考慮問題，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形去思考. 如何通過拼圖的方法將一個二次三項式“a2+4ab+3b2”分解因式，為學(xué)生的探究提供了一種有效的方法，意在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識，滲透處理一些特殊二次三項式因式分解的方法（十字相乘法）.

閱讀和數(shù)學(xué)活動這兩個材料的安排并不是為補充“分組分解法”和“十字相乘法”的內(nèi)容而設(shè)置的，而是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的探究習(xí)慣，提高學(xué)生解決問題的能力. 學(xué)生站在更高的角度看待問題，既能提高對因式分解這部分內(nèi)容的認(rèn)識，也會思考如何解決之前遇到的困難并進行有效嘗試. 在這一過程中，學(xué)生體驗了解決問題的快感，增強了克服困難的自信心，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 這些都會對后續(xù)分式、一元二次方程等內(nèi)容的學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的影響. 如果部分學(xué)生通過閱讀這兩個材料對“分組分解法”和“十字相乘法”產(chǎn)生了興趣，利用課余時間與同伴合作進行探究與學(xué)習(xí)，那么將會為他在以后的高中學(xué)習(xí)甚至終生發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ).endprint

使用閱讀材料的探索

在實際教學(xué)中怎樣更好地使用閱讀“兩種變形的關(guān)系”和數(shù)學(xué)活動“拼圖·公式”這樣兩個素材呢？筆者對此進行了一些嘗試，在所教的兩個同層次班級中按不同的方式使用材料.

在A班，由教師指導(dǎo)學(xué)生進行閱讀材料“兩種變形的關(guān)系”的學(xué)習(xí)，并開展數(shù)學(xué)活動“拼圖·公式”，通過學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠感受到整式乘法和因式分解是互逆變形，能夠利用拼圖分解一些特殊的二次三項式，能比較有效地克服整式乘法和因式分解混淆使用的問題. 但多項式形式辨別不清和不能分解到底的問題仍然還會出現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)因式分解的興趣并沒有特別大的提高.

在B班，采用以學(xué)生為主導(dǎo)的方式使用材料：先讓學(xué)生自己學(xué)習(xí)閱讀材料，再請學(xué)生幫助教師解決一系列問題，最后由學(xué)生解答同伴在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問.

在學(xué)生自己學(xué)習(xí)之后，教師設(shè)置了以下一些問題請學(xué)生幫助解決：

問題1？搖 你認(rèn)為閱讀材料中有哪些有用的信息？有的學(xué)生會發(fā)現(xiàn)因式分解學(xué)習(xí)的核心是它與整式乘法是互逆變形；有的學(xué)生會發(fā)現(xiàn)多項式乘多項式法則也可以反過來用于因式分解；有的學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，多項式乘多項式法則的逆向使用中出現(xiàn)了提公因式法，如ac+ad+bc+bd=a（c+d）+b（c+d）=（a+b）（c+d）中的第一步分別提取單個字母a，b和第二步提取一個整式（a+b）.

問題2 從因式分解的角度看“ac+ad+bc+bd=a（c+d）+b（c+d）=（a+b）（c+d）”的第一步變形，之前是否需要增加一個步驟？學(xué)生能回答出應(yīng)該增加一步“ac+ad+bc+bd=（ac+ad）+（bc+bd）”，即分組，這樣能比較明顯地看出是怎樣分別提取公因式的.

問題3？搖 為什么要進行分組？按什么標(biāo)準(zhǔn)分組呢？學(xué)生會回答不分組沒有辦法分解因式. 這里實際是想讓學(xué)生感受到處理問題方法不唯一，可以從整體著手，也可以分成小塊來研究，同時也想滲透一些分組分解法的指導(dǎo)思想. “分組”只是因式分解的一個步驟，它的目的在于分組后或者在有的組的內(nèi)部或者在組與組之間，造成新的可以繼續(xù)分解的情況.

問題4？搖 現(xiàn)在回顧我們將多項式“a2+2ab+b2-9”分解的過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？這道題出現(xiàn)在“學(xué)習(xí)與評價”中，當(dāng)時學(xué)生不知道該如何解決，而此時心中的困惑已迎刃而解.

問題5？搖 當(dāng)對一個多項式進行因式分解時，你該怎樣做？學(xué)生進行總結(jié)的過程就是其能力提高的過程，只有當(dāng)他對這個問題經(jīng)過了分析、實踐和思考之后，才能言之有物.

這些問題，不同層次的學(xué)生都可以進行回答，每一個學(xué)生都能融入探索活動中，而不會成為幾個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好的同學(xué)的“個人秀”. 如果學(xué)生可以幫助教師和其他同學(xué)解決困難，那這是對學(xué)生自身能力的莫大認(rèn)可. 這種來自自身和其他同學(xué)以及教師的肯定，能增強學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，提高其學(xué)習(xí)的興趣和主動性.

數(shù)學(xué)活動“拼圖·公式”的材料使用也采用了類似的方式開展，先小組活動探究，再讓學(xué)生為教師和其他同學(xué)解決問題.

通過這樣的方式使用兩個材料，B班學(xué)生對因式分解的認(rèn)識明顯高于A班學(xué)生. 他們對因式分解及其相關(guān)問題都產(chǎn)生了一定的興趣，解題的正確率得到了提高，整式乘法和因式分解混用的現(xiàn)象基本杜絕，多項式形式辨別不清和不能分解到底的現(xiàn)象也得到了好轉(zhuǎn). 還有一部分學(xué)生自己上網(wǎng)查找“分組分解法”和“十字相乘法”相關(guān)內(nèi)容進行學(xué)習(xí)研究，對代數(shù)變形發(fā)生了濃厚的興趣，還提出了一些有意義的問題和教師、同學(xué)一起探討.

探索之后的思考

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣是學(xué)習(xí)積極性中最活躍的成分，學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣時，就會產(chǎn)生積極主動的學(xué)習(xí)意向，這種意向使得感知清晰、思維活躍、情緒穩(wěn)定、意志堅韌，有利于學(xué)習(xí)的成功. 而成功的快感又會進一步激發(fā)新的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)習(xí)進入良性循環(huán)的軌道. 但是對于大多數(shù)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣不是先天就有的，對數(shù)學(xué)的興趣是在數(shù)學(xué)活動中，隨著對數(shù)學(xué)知識的理解、對數(shù)學(xué)美的體驗、對數(shù)學(xué)探求成功的快感中逐步產(chǎn)生和提高的，因此，教師要思考日常教學(xué)中如何幫助學(xué)生產(chǎn)生和培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

筆者從深挖教材和有效實施這兩個重要環(huán)節(jié)來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣. 筆者認(rèn)真地研究了教材，對閱讀和數(shù)學(xué)活動這兩個材料進行了深入挖掘，并充分利用閱讀材料，為激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣創(chuàng)造了一次機會. 但光有閱讀材料這個載體還不夠，還需要對閱讀材料進行有效的實施才能達到預(yù)期效果. 從實施效果來看，在A班就不能算是有效的實施，所以效果不明顯；而在B班，因為方式的改進，在使用閱讀和數(shù)學(xué)活動這兩個材料之后，學(xué)生明顯對因式分解的相關(guān)內(nèi)容產(chǎn)生了興趣，從而促使他們正視自己在之前學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的困難，會想辦法克服這些困難. 學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情被點燃，他們嘗試著去探究一些數(shù)學(xué)問題，并逐步使探究成為一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣. 在這些嘗試和探究的過程中，學(xué)生處理信息的能力、提出問題的能力、分析問題的能力和解決問題的能力都得到了不同程度的提高，并收獲了成功的快感，進一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣既會在一次成功的數(shù)學(xué)活動中產(chǎn)生和提高，也會因為一次挫折和一時的困難而削弱，所以教師應(yīng)在教學(xué)中巧用教材提供的材料，時時處處激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生從感到有趣開始，到通過一定的學(xué)習(xí)研究進入樂趣，最終轉(zhuǎn)化志趣，從而更積極、自覺、持久地投入到學(xué)習(xí)活動中，并以此為樂，進入理想的樂學(xué)境界.endprint