潘璐璐

[摘 ? 要]高中數(shù)學教師不僅僅是要學生掌握必要的、重要的數(shù)學知識和概念，更應在教學中培養(yǎng)學生掌握研究和學習數(shù)學的思想方法，為學生的后續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)。其中數(shù)形結(jié)合是很重要的一種數(shù)學研究思想，通過數(shù)與形的結(jié)合，把抽象的數(shù)學規(guī)律和概念，轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，便于學生理解和掌握。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學;集合問題;運用

當前，我國的高考試題越來越開放，命題形式也呈現(xiàn)多樣化趨勢。如探究題、應用題、情景題、開放題等占了更多的分值，這類題型考查的是學生的創(chuàng)新和應用能力，考查學生對數(shù)學知識和概念理解的深度和準確度，考查學生對數(shù)學知識的綜合應用能力，考查的是學生的數(shù)學思想方法和數(shù)學能力，處處體現(xiàn)了對學生能力的考查。這就要求教師在數(shù)學教學中必須強調(diào)數(shù)學思想的培養(yǎng)和運用，從總體上梳理、把握各部分知識的本質(zhì)和相互聯(lián)系。數(shù)學思想方法有很多，其中數(shù)形結(jié)合是最基本、最重要的方法。通過設(shè)計數(shù)形結(jié)合題型，不僅考查了學生對基本的數(shù)學符號語言、數(shù)學圖形語言的理解，以及它們之間的互補、互譯、互化關(guān)系;還考查了學生的想象能力、構(gòu)圖能力、數(shù)形結(jié)合的綜合應用能力，這最能體現(xiàn)出學生在解題中的思維過程和方法，學生是否運用了數(shù)學的思維和方法。如今，數(shù)形結(jié)合是高考中必考內(nèi)容之一，學生只有通過數(shù)與形的互譯、互化、互補才能正確處理相關(guān)問題，得出合理、準確的答案。

一、數(shù)形結(jié)合思想教與學的現(xiàn)狀

目前，大多數(shù)數(shù)學教師已深刻認識到了數(shù)形結(jié)合思想方法的教育價值和重要作用，并且很多教師已經(jīng)深入?yún)⑴c到它的理論研究和實踐探索中。但教學實踐中發(fā)現(xiàn)，真正做到把數(shù)形結(jié)合思想落到實處的教師還是少數(shù)，更多的教師在教學過程中，并不能合理有效地布點，存在盲目性大、形式主義的現(xiàn)象，還做不到由淺入深、有計劃、有系統(tǒng)、有層次、有過程地實踐數(shù)形結(jié)合思想方法，甚至有些教師只是把這種思想方法當作一種解題手段，在實踐操作中，蜻蜓點水，一帶而過，學生根本體會不到數(shù)形結(jié)合的真諦。具體表現(xiàn)如下：

（1）照本宣科，以教材為標準，只講教材中標識出來的概念、定理、規(guī)律，不會補充、引伸、拓展。

（2）輕視數(shù)形變換的過程教學。教學中，對數(shù)形的互譯、互補過程講授過于簡單，學生根本體會不到數(shù)形結(jié)合的重要意義和必要性。

（3）教師制圖能力差。有些教師作的圖形不規(guī)范，不準確，不能表達要說明的主題。

（4）幾何語言訓練不足。教學中發(fā)現(xiàn)，很多學生不能熟練地運用幾何語言說明問題。

（5）教師和學生沒有構(gòu)圖意識。由于缺乏足夠的訓練和重視，造成學生不能熟練運用幾何構(gòu)圖來解決和說明問題。遇到問題，沒有構(gòu)圖的意識，分析問題的能力很差。

由上面的分析可以看出，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學教學中是多么重要，教師一定要重視和發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的積極作用，提升教學質(zhì)量和效果。

二、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學教學中的運用

新課程標準已經(jīng)明確指出，讓學生獲得必要的數(shù)學基礎(chǔ)知識以及基本技能，理解數(shù)學的基本概念與結(jié)論本質(zhì)，同時了解數(shù)學概念與結(jié)論的產(chǎn)生背景，讓學生在學習中體會其中所蘊含的數(shù)學思想與方法是現(xiàn)代高中數(shù)學教學的教學目標。中學數(shù)學的教學內(nèi)容在要求與處理上都力圖體現(xiàn)數(shù)學思想方法，但是一些學生在運用數(shù)學思想的過程中，當面對新的情景時就會不知所措，其主要的原因就是數(shù)學思想沒有被內(nèi)化。下面圍繞數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合相關(guān)數(shù)學案例，談談在高中數(shù)學教學中應該怎樣讓學生在掌握數(shù)學知識和技能的同時，還能夠從思維的高度培養(yǎng)學生的數(shù)學思想意識以及數(shù)學研究能力。

1.解決集合問題

在高中數(shù)學教學的過程中，在集合運算中經(jīng)常需要借助數(shù)軸與venn圖來處理，這樣能夠使問題得到簡化。在具體的教學過程中，需要讓學生先從字面上理解“交”“并”以及“補”的涵義，其次可以讓學習從venn圖上直觀感受“交”“并”以及“補”的涵義。在這樣的一種情況下，就能夠讓學生從不同的角度來體會集合的運算，從而進行數(shù)學思想的滲透，通過以下這個數(shù)學案例就能夠說明。

問題：某個班里面總共有30名同學，在這30名同學中有15人是喜歡籃球運動的，有10人喜歡乒乓球運動，有8人對這兩項體育運動都不喜歡，請問喜愛籃球但是不喜歡乒乓球的人有多少？

分析：在解答這道問題的過程中，可以先將題目中的文字語言轉(zhuǎn)換成集合語言，假設(shè)U是全班的總?cè)藬?shù)，而A、B是分別表示喜歡籃球與乒乓球的學生，再利用Venn圖就能夠非常直觀地解答出來。

具體的解答步驟如下：先假設(shè)喜愛籃球同時又喜歡乒乓球的人是X，因此就可以得到喜愛籃球但是不喜歡乒乓球的人有15-X，同時也能夠得到喜愛乒乓球但是不喜歡籃球的人就是10-X，最后結(jié)合他們班的總?cè)藬?shù)30，就能夠輕易得到X=3，同時也就能夠得到喜愛籃球但是不喜愛乒乓球的人有12人。

在本次解答過程中，教師讓學生們先將問題的文字語言轉(zhuǎn)換成集合語言，之后在借助Venn圖來進行分析，這樣就能夠充分體現(xiàn)Venn圖的簡捷與直觀，進而能夠在數(shù)學教學中進行數(shù)形結(jié)合思想的滲透。

2.解決方程與不等式的問題

在高中數(shù)學教學的過程中，在解決方程問題的過程中，可以將方程中根的問題當成是兩個函數(shù)圖像的交點問題，而在處理不等式的時候，可以先從題目中的條件與結(jié)論開始，結(jié)合函數(shù)進行分析，從圖形上找出解題的思路，如教學案例：

問題：函數(shù)的零點個數(shù)有幾個？

分析：學生需要進行的活動是，讓學生考慮方程f（x）=0的根，是否可以直接求解？而教師需進行的活動是，應該要考慮哪個數(shù)學定理，是否還有其他的求解方法？之后就可以進行師生互動。

在解答的過程中，主要有兩種不同的解答方法。第一種方法是，先運用零點存在定理，從而可以估算出零點存在的區(qū)間是（0，1），然后就可以用復合函數(shù)的方法分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，這樣就能夠得到在定義域上是增函數(shù)，并且這個方程存在的零點只有一個。第二種方法是，先分析這道題想要考查是哪方面的知識，從表面上看，這道題是考查零點問題，其實是考查函數(shù)的單調(diào)性，這樣在解題的過程中就會運用到冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，可以先令f（x）=0，這樣就能夠畫出相應的圖，通過該圖就能夠輕松地發(fā)現(xiàn)其零點只有一個。

在高中數(shù)學教學中，要讓學生由“數(shù)”直接想到“形”，對學生來說是有一定困難的，而學生之所以在學習的過程中明白數(shù)學的理論知識，但是在實際應用的過程中卻不會運用，其主要的原因就是學生缺少體驗。因此教師在教學的過程中，要先讓學生自己去探索、體驗，要讓學生經(jīng)歷“數(shù)—形—數(shù)”的思維過程，比如這道考題，就是要讓學生認識到在解決方程問題時可以轉(zhuǎn)換成函數(shù)的交叉點問題，從圖形中發(fā)現(xiàn)問題的答案，讓學生認識到數(shù)形結(jié)合思想在解答問題中的好處。

“數(shù)相結(jié)合”其實就是數(shù)量與圖形之間對應的關(guān)系，在數(shù)學中需要將數(shù)學語言與圖形結(jié)合起來，要讓學生將抽象思維與形象思維結(jié)合起來，讓學生在解決數(shù)學問題的過程中，能夠?qū)?shù)與形進行相互轉(zhuǎn)換。通過應用數(shù)形結(jié)合思想來解答數(shù)學問題，能夠使數(shù)學中一些非常抽象的問題變得直觀化，同時也能夠?qū)⒁恍碗s的問題簡單化，最終就能夠找到一種非常有效的解題方法，起到事半功倍的效果。

高中數(shù)學是學生真正接觸數(shù)學本質(zhì)的開始，學生在學習的過程中會遇到許多從未見過的難題，許多數(shù)學問題都比較抽象。因此教師應該在具體的教學過程中，逐步滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學生能夠在學習的過程中感悟數(shù)學思想，讓學生逐漸形成數(shù)形結(jié)合的良好學習習慣，讓這種學習習慣成為學生分析與解決數(shù)學問題的一個有力工具，這樣就能夠真正地達到現(xiàn)代數(shù)學教學的目標。

責任編輯 ? 潘中原