戴晨燕
摘 要:數形結合具有形象直觀、易于理解的特性。結合教學實例,從以“數”構“形”、理解記憶,以“數”助“形”、直觀顯現,數形結合、方便快捷三個方面探討中職數學解題教學中妙用數形結合思想,提高學生的解題能力。
關鍵詞:中職;數學;數形結合;解題思維
中圖分類號:G718.3 文獻標志碼:A 文章編號:1008-3561(2016)25-0056-01
華羅庚先生曾指出:“數缺形時少直覺,形缺數時難入微。數形結合百般好,隔裂分家萬事非。”在數學中,“數”和“形”是兩個最基本的對象,數形結合具有形象直觀、易于理解的特性。通過圖形的描述、代數的論證,可以做到以形助數,以數助形,相互轉化,協調發(fā)展。在中職數學解題教學中,數形結合思想是一種特有的解題思維,是知識轉化為能力的橋梁,往往能取得出奇制勝的效果。下面,以中職數學中具有代表性的習題為例,對數形結合思想的具體運用進行研究。
一、以“數”構“形”,理解記憶
數學概念都比較抽象,在理解數學概念時,教師可以借助具體實物、圖形、模型等,幫助學生增強形象思維,并引導學生認真觀察,從而將具體的“形”與抽象的“數”在頭腦中漸漸對應起來,揭示其幾何意義。這樣的教學方式,利于培養(yǎng)學生的數學思維,增強對抽象的數學概念的認識。例如,中職數學基礎模塊上冊中較為重要的數學概念——“集合”,是學生以后學習求解函數取值范圍的必要基礎。應用數形結合方法是解決集合問題的主要方法,文氏圖是其中的主要手段之一。文氏圖是運用封閉的曲線,以表示集合這一概念,并同時可以涵蓋其相互關系的圖形。圖1就是一個基本的文氏圖。如果描述成數學語言,就是集合A與B出現相交,全集∪包含集合A、B。下面來看一個例題。案例1:校運動會比賽共400人參加,參加徑賽項目的有150人,參加田賽項目的300人。請問有多少人同時參加了2個項目?通過閱讀題意發(fā)現,這是一道簡單的集合問題。先假設A={參加徑賽項目的選手},B={參加田賽項目的選手},x=同時參加AB兩項目的人。x=A∩B=50(人)。可見,引入數形結合思想,利用文氏圖方法進行求解,可以讓解題變得簡單。
二、以“數”助“形”,直觀顯現
在一個幾何問題中,恰當地將幾何問題代數化,即將解決問題的過程巧妙轉化為易于理解的代數演算來完成,從中找出蘊含的代數關系,可以使復雜問題簡單化,省去大量的理論分析過程,輕松解題。案例2:四邊形ABCD內接于圓E,如圖2所示,E是圓心,AC⊥BD,O是AC和BD的交點,G是CD邊上的中點,EF⊥AB,F是垂足,求證:EF=OG。此案例如果一味運用幾何方法求證,容易會讓思維陷入瓶頸,學生也會感覺求證過程很難。但如果將其轉化為代數問題,則會讓人產生一種“柳暗花明又一村”之感。如圖3所示,設直線AC為x軸,直線BD為y軸,建立直角坐標系,那么A、B、C、D坐標可對應為(-a,0),(0,-b),(c,0),(0,d)。已知G是CD邊上的中點,又因為E是圓心,EF⊥AB,所以,F也是AB邊的中點,F、G的坐標分別是。E在AC、BD的垂直平分線上,推出E的坐標為。直接計算EF和OG的距離,可以得到EF=OG=。這樣,在仔細觀察圖形的基礎上,恰當利用“以數助形”,化復雜的圖形的性質和幾何意義為易為理解的代數關系,收獲了出奇制勝的效果。
三、數形結合,方便快捷
在具體的解題過程中,教師應引導學生做到數形結合,在形象思維與抽象思維的交叉運用中,尋求最為簡捷的解法。案例3:傾斜角為60°的直線AB過橢圓的左焦點,與橢圓交于點A和B,如圖4所示,若|FA|=2|FB|,求橢圓的離心率。解:設準線與x軸交點為M,過A、B作準線的垂線,垂足分別為D、C,過B作BH⊥AD,垂足為H,交x軸于E。設|AB|=3t,由|FA|=2|FB|,可以得出|AF|=2t,|BF|=t。因為直線AB傾斜角為60°,可以得出∠ABH=30°,|AH|= |AB|=t。然后再根據橢圓第二定義,就可以得出|AH|=|AD|-|BC|=,所以 t=,即e=。可見,通過“數”與“形”的相互滲透,綜合應用圓錐曲線的統(tǒng)一定義,結合解含有60°的直角三角形,求橢圓的離心率,運算量小,方便快捷。
四、結束語
總之,數形結合是歷年單招考試重點考查的內容之一,也是學生理解數學本質、掌握數學概念的有效技巧和方法。在平時的數學教學中,教師應在教學中有意識地進行訓練,將代數問題與幾何問題有機結合起來,發(fā)展學生的數學思維,取得事半功倍的教學效果。
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