陳美華

摘要：數(shù)學(xué)是思維的體操，發(fā)展思維可以說(shuō)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)。學(xué)生參與知識(shí)的形成與發(fā)展的過(guò)程及解決問(wèn)題的過(guò)程，即為學(xué)生的思維活躍流動(dòng)的過(guò)程?；跀?shù)學(xué)課堂生活方式的變革與創(chuàng)新研究，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程建設(shè)為抓手，依托數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，從問(wèn)、做、寫(xiě)、辨、理等方面入手，讓思維可視化，能更好地分享學(xué)習(xí)主體思維的流動(dòng)過(guò)程。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);思維過(guò)程;共同分享

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2015）11A-0070-04

小學(xué)階段正是具體形象思維向抽象思維過(guò)渡的階段，學(xué)生需要充分的感性體驗(yàn)與積累，由此形成表象，逐步提升抽象水平。如宋代詩(shī)人陸游所言“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”，兒童的認(rèn)知規(guī)律要求教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)“做數(shù)學(xué)”的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。經(jīng)一年多的實(shí)踐研究，我們發(fā)現(xiàn)適時(shí)適度地推進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中親歷知識(shí)的形成與發(fā)展過(guò)程，更利于化無(wú)形為有形，分享學(xué)生思維的動(dòng)態(tài)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生獲得深刻的數(shù)學(xué)理解。

一、問(wèn)一問(wèn)，問(wèn)題質(zhì)疑引領(lǐng)思維方向

問(wèn)題是思維的核心，孔子說(shuō)“不憤不啟，不悱不發(fā)”，杜威先生也說(shuō)，教學(xué)生的法子，先要使他發(fā)生疑問(wèn)[1]。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的展開(kāi)是有一定目標(biāo)的，而目標(biāo)直接體現(xiàn)于課堂的方式便是問(wèn)題。因此引領(lǐng)學(xué)生在巧妙創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境下或在自主進(jìn)行問(wèn)題質(zhì)疑的過(guò)程中展開(kāi)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，是良好課堂開(kāi)端的重要一步，能準(zhǔn)確引領(lǐng)學(xué)生的思維方向。

如在進(jìn)行“平行四邊形面積的計(jì)算”教學(xué)時(shí)，教師以化歸即轉(zhuǎn)化思想為靈魂，巧設(shè)了兩次引發(fā)學(xué)生問(wèn)題質(zhì)疑的契機(jī)，從而激發(fā)了兩個(gè)層次的實(shí)驗(yàn)研究活動(dòng)。

第一層次，在看圖口答長(zhǎng)、正方形面積并回顧復(fù)習(xí)了兩圖面積計(jì)算方法后，教師引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑思考：我們還學(xué)過(guò)哪些平面圖形，想想今天可能會(huì)研究哪個(gè)平面圖形的面積計(jì)算方法，研究前你會(huì)思考哪些問(wèn)題。經(jīng)過(guò)開(kāi)放交流與問(wèn)題聚焦，教師發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生會(huì)選擇平行四邊形，同時(shí)他們提出了自己的問(wèn)題質(zhì)疑：既然長(zhǎng)方形面積的大小與長(zhǎng)、寬兩條件有關(guān)，那么決定平行四邊形面積大小的會(huì)是哪些條件？平行四邊形面積的大小與這些條件有什么關(guān)系呢？是不是也可以像長(zhǎng)方形一樣用數(shù)方格的方法來(lái)研究？我們圍繞學(xué)生自主提出的問(wèn)題，很自然就啟動(dòng)了學(xué)生四人小組合作的第一次實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：①自己在方格圖上畫(huà)一個(gè)平行四邊形，數(shù)數(shù)平行四邊形的面積以及它的底與高的長(zhǎng)度，它們有關(guān)系嗎？②平行四邊形的面積與它的底與高到底有怎樣的關(guān)系呢？學(xué)生用數(shù)格子法初步發(fā)現(xiàn)這些特殊平行四邊形的面積計(jì)算方法：平行四邊形的面積=長(zhǎng)×寬。

第二層次，由初步發(fā)現(xiàn)啟發(fā)質(zhì)疑，研究這幾個(gè)特殊平行四邊形得到的計(jì)算方法一定正確嗎？引發(fā)學(xué)生再次思考質(zhì)疑：不一定吧，還應(yīng)研究更多的更一般的圖形，看看它們的面積大小是否也是由底與高決定的，是不是也可以這樣計(jì)算？由此讓學(xué)生將研究若干特殊圖形的發(fā)現(xiàn)作為一種猜想，順利進(jìn)入第二層的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：①平行四邊形可轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)面積公式的哪個(gè)圖形？②轉(zhuǎn)化后的圖形與原來(lái)平行四邊形有什么關(guān)系？③由上面的關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)剛才的猜想正確嗎？

上述過(guò)程可見(jiàn)，教師對(duì)教材的編排做了適當(dāng)?shù)淖兏飫?chuàng)新，在激活學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)上，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了自主質(zhì)疑的空間，以舊知長(zhǎng)方形面積的聯(lián)想類(lèi)比激發(fā)學(xué)生展開(kāi)第一層實(shí)驗(yàn)：用數(shù)方格方法進(jìn)行特殊圖形的關(guān)系與計(jì)算方法研究，以轉(zhuǎn)化思想方法的運(yùn)用鼓勵(lì)學(xué)生展開(kāi)第二層實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：用割補(bǔ)方法進(jìn)行一般圖形的關(guān)系與計(jì)算方法的推理研究。層層遞進(jìn)的問(wèn)題質(zhì)疑與方法猜想，不僅激發(fā)了學(xué)生參與實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的內(nèi)驅(qū)力與情感，也有效引領(lǐng)著思維的方向。

二、做一做，行動(dòng)探究體驗(yàn)思維脈搏

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的惟一正確方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生?！盵2]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)追求的更重要的東西就是讓學(xué)生自己去充分探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，并由此享受解決問(wèn)題的思維樂(lè)趣。因此實(shí)驗(yàn)活動(dòng)要提供充分的時(shí)間與空間，讓學(xué)生行動(dòng)起來(lái)，通過(guò)做一做，來(lái)體驗(yàn)思維脈搏，推動(dòng)思維進(jìn)程。

如“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”是分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的教學(xué)難點(diǎn)，在基于學(xué)生“可能是與分?jǐn)?shù)除以整數(shù)或整數(shù)除以分?jǐn)?shù)一樣，也可以轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算”這一猜想基礎(chǔ)上，教師設(shè)計(jì)了讓學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：①想一想：自己想辦法驗(yàn)證你們的猜想。②說(shuō)一說(shuō)：把你們的方法在小組里交流分享。讓學(xué)生在開(kāi)放的時(shí)空中展開(kāi)充分的探究，形成學(xué)生個(gè)性化、多樣化的體驗(yàn)與認(rèn)知，再通過(guò)小組交流分享不同個(gè)體的智慧。從教師巡視觀察到的學(xué)生原生態(tài)、多樣化的驗(yàn)證方法中（如圖1、圖2），我們可以感受到他們親歷探究過(guò)程的思維脈搏：化小數(shù)計(jì)算、畫(huà)圖思考、用分?jǐn)?shù)單位組成來(lái)思考、用想乘法推理逆運(yùn)算除法結(jié)果、用商不變的規(guī)律將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)變?yōu)檎麛?shù)除法計(jì)算。

原生態(tài)的“做數(shù)學(xué)”過(guò)程，不由讓人想到美國(guó)華盛頓圖書(shū)館大門(mén)口的幾句話“聽(tīng)見(jiàn)了就忘記了、看到了就記住了、做過(guò)了就理解了?！币灿∽C了陶行知先生“行是知之始，知是行之成”的要義。確實(shí)，只有親自做過(guò)了，實(shí)踐過(guò)了，抽象的數(shù)學(xué)理解才會(huì)變得豐富而生動(dòng)。

三、寫(xiě)一寫(xiě)，撰寫(xiě)報(bào)告留下思維軌跡

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究的過(guò)程，有時(shí)是動(dòng)手操作成分居多，如圖形與幾何或綜合與實(shí)踐等領(lǐng)域，有時(shí)是靜思默想居多，如數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域等。不管哪一種都是伴隨著數(shù)學(xué)思維的動(dòng)態(tài)進(jìn)程，數(shù)學(xué)家G.波利亞曾說(shuō)“抽象的道理很重要，但要用一切辦法使它們能看得見(jiàn)摸得著”[3]。而思維的內(nèi)容僅憑腦子記憶是有限的，因此大部分的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，需要實(shí)驗(yàn)方案或是涵蓋方案的整合性實(shí)驗(yàn)報(bào)告作為實(shí)驗(yàn)支撐，通過(guò)學(xué)生寫(xiě)一寫(xiě)，記錄下思維流動(dòng)的軌跡。

如“和與積的奇偶性”一課是新增的“找規(guī)律”內(nèi)容。基于內(nèi)容“研究?jī)蓚€(gè)非0自然數(shù)和的奇偶性”（如圖3）、“研究多個(gè)非0自然數(shù)和的奇偶性”（如圖4）、“研究若干個(gè)非0自然數(shù)的積的奇偶性”（如圖5），教師進(jìn)行了逐步遞進(jìn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，并且以三個(gè)不同層級(jí)的實(shí)驗(yàn)報(bào)告記錄學(xué)生的思維軌跡。

由圖可見(jiàn)三份實(shí)驗(yàn)報(bào)告結(jié)構(gòu)類(lèi)似，都有四個(gè)層次。但三個(gè)實(shí)驗(yàn)中舉例的設(shè)計(jì)與結(jié)論的表達(dá)，從設(shè)定格式到半開(kāi)放再到完全開(kāi)放，讓學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)研究方法類(lèi)比遷移的過(guò)程，體現(xiàn)了教者“教結(jié)構(gòu)用結(jié)構(gòu)”的前瞻理念。而從“他組織”走向“自組織”的學(xué)生書(shū)面表達(dá)更是化無(wú)形為有形，真實(shí)刻畫(huà)了學(xué)生思維軌跡。這樣的記錄無(wú)論正誤，都成為后續(xù)小組、組際乃至全班交流思辨的鮮活靈動(dòng)的差異性資源。

四、辨一辯：分享成果激發(fā)思維碰撞

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)之后有個(gè)重要環(huán)節(jié)，即交流分享實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的成果或收獲。因個(gè)體認(rèn)知水平、個(gè)性特點(diǎn)的不同，研究成果也會(huì)有層次、有差異。因此實(shí)驗(yàn)之后教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)民主平等的交流氛圍，促進(jìn)思維軌跡的展示與成果的全面分享，更要抓住契機(jī)，激發(fā)學(xué)生的思維碰撞，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)求異創(chuàng)新。

如“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體與正方體”一課，教師先引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)長(zhǎng)方體形狀實(shí)物的觸摸，整體感知長(zhǎng)方體面、棱、頂點(diǎn)的概念與數(shù)量特點(diǎn)。然后適時(shí)出示四棱臺(tái)的模型（如圖6）引發(fā)學(xué)生自主提問(wèn)質(zhì)疑：是不是所有具有6個(gè)面、12條棱、8個(gè)頂點(diǎn)的立體圖形都是長(zhǎng)方體呢？為什么？此刻，學(xué)生只有一些短時(shí)淺層、點(diǎn)狀零散的發(fā)現(xiàn)：有的面不是長(zhǎng)方形;有的棱長(zhǎng)度不相等;有的角不是直角……于是他們便躍躍欲試地進(jìn)入了圖形精細(xì)化特征的實(shí)驗(yàn)研究環(huán)節(jié)：①長(zhǎng)方體的面到底有哪些特點(diǎn)？棱又有哪些特點(diǎn)？②你是怎么研究發(fā)現(xiàn)的？③小組交流分享你們的發(fā)現(xiàn)與研究方法。

在學(xué)生親歷研究過(guò)程得出面與棱的一般特征之后，反饋思辨四棱臺(tái)是否長(zhǎng)方體的頭腦風(fēng)暴尤為激烈。他們有的能如教材呈現(xiàn)的基本特征一般，從面的形狀與大小關(guān)系、棱的長(zhǎng)短關(guān)系闡述四棱臺(tái)不符合的理由;還有的能融通教材，從棱的位置關(guān)系闡述理由，如長(zhǎng)方體相對(duì)的四條棱互相平行，或是相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱兩兩互相垂直;更有一些學(xué)生能超越教材，將棱的位置關(guān)系遷移到面的位置關(guān)系，如長(zhǎng)方體相對(duì)的面也是互相平行的，相交的面是互相垂直的……進(jìn)而推斷四棱臺(tái)不是長(zhǎng)方體。交流思辨中所分享的不僅有立體化建構(gòu)的學(xué)科知識(shí)，還有多樣的方法與研究品質(zhì)，如他們不只是停留于表面的觀察想象（我看出來(lái)……），還有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臏y(cè)量求證（我測(cè)量了……發(fā)現(xiàn)……），更有高層次的推理論證（光是看還不太科學(xué)，測(cè)量也會(huì)有誤差，我是依據(jù)……，推理出……）。

顯然上述交流分享、思維碰撞的過(guò)程，也凸顯了社會(huì)建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀，雖然知識(shí)是個(gè)體主動(dòng)建構(gòu)的，但也不是任意建構(gòu)，而是需要與他人磋商并達(dá)成一致來(lái)不斷加以調(diào)整和修正[4]。所以開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，教師不僅通過(guò)①②兩個(gè)研究問(wèn)題導(dǎo)引個(gè)體與物理環(huán)境的相互作用，更設(shè)置活動(dòng)要求③通過(guò)學(xué)習(xí)共同體的合作互動(dòng)來(lái)修正完善學(xué)生的意義建構(gòu)，即通過(guò)學(xué)習(xí)者主動(dòng)、積極、互助地共同參與實(shí)現(xiàn)智慧共享。

五、理一理，整體建構(gòu)促進(jìn)思維提升

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)科教學(xué)內(nèi)容已從學(xué)科本位的“雙基”拓展至綜合素養(yǎng)培養(yǎng)的“四基”，即增加了基本的數(shù)學(xué)思想與方法和基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[5]。在當(dāng)前社會(huì)，這兩基的強(qiáng)化更能凸顯數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的重要性。江蘇省教研室王林老師在教材修訂培訓(xùn)會(huì)上特別指出：幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是教材修訂的重要任務(wù)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中積淀，需要在不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程中逐步積累。因此教材很明顯的變化就是在核心教學(xué)內(nèi)容之后增加了反思環(huán)節(jié)，如“回顧解決問(wèn)題的過(guò)程，你有什么體會(huì)？”“回顧發(fā)現(xiàn)……的過(guò)程，你有哪些收獲？”等。而課本預(yù)設(shè)或希冀的答案，有知識(shí)層面的，有方法層面的，也有數(shù)學(xué)思想層面的。

如“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形”，教師立足教結(jié)構(gòu)用結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了兩個(gè)層次的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)與反思跟進(jìn)。

第一層次研究長(zhǎng)方形特征。學(xué)生在教師適時(shí)引領(lǐng)下充分經(jīng)歷“提出猜想—進(jìn)行驗(yàn)證—得出結(jié)論”的探究過(guò)程，隨后進(jìn)行第一層反思：剛才你們是從哪幾方面研究長(zhǎng)方形特征的？是怎么研究驗(yàn)證的？你們經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過(guò)程？學(xué)生很自然地從邊與角著眼的知識(shí)結(jié)構(gòu)、折一折量一量比一比的方法結(jié)構(gòu)、經(jīng)歷“提出猜想—進(jìn)行驗(yàn)證—得出結(jié)論”的過(guò)程結(jié)構(gòu)進(jìn)行了梳理反思，并由研究多個(gè)大小不一的長(zhǎng)方形提煉出特征，體驗(yàn)數(shù)學(xué)歸納的思想方法。

第二層次研究正方形特征。上述實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的反思，很自然促進(jìn)了學(xué)生后續(xù)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的靈活遷移：也能像剛才那樣去研究正方形的特征嗎？讓學(xué)生自主經(jīng)歷“提出猜想—進(jìn)行驗(yàn)證—得出結(jié)論”的探究過(guò)程。之后教師又請(qǐng)學(xué)生基于頭腦建構(gòu)的表象思考比較：閉上眼在腦中想象長(zhǎng)方形和正方形，它們的特征有什么相同的地方和不同的地方？正方形具有長(zhǎng)方形的所有特征嗎？在比較梳理中溝通圖形內(nèi)在聯(lián)系，并以韋恩圖整體建構(gòu)長(zhǎng)方形與正方形概念，初步體會(huì)集合的數(shù)學(xué)思想。

鼓勵(lì)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)之后的反思梳理，能促使學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)中一類(lèi)知識(shí)的整體認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)習(xí)策略與思想方法等的深刻內(nèi)化，實(shí)現(xiàn)思維方式、思維品質(zhì)的整體提升，養(yǎng)成愿傾聽(tīng)、敢質(zhì)疑、善合作、樂(lè)表達(dá)的品行，并遷移于后續(xù)學(xué)習(xí)活動(dòng)，更好體現(xiàn)“教是為了達(dá)到不需要教”[6]的長(zhǎng)遠(yuǎn)效應(yīng)。

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[6]葉圣陶.如果我當(dāng)老師[M].北京：教育科學(xué)出版社，2012：75.

責(zé)任編輯：石萍

Experimental Field and Students' Mathematics Thinking Development

CHEN Mei-hua

（Changzhou Experimental Primary School， Changzhou 213003， China）

Abstract： Mathematics is the thinking gymnastics and thinking development is the core task of mathematics instruction. Students should be involved in formation and development of knowledge and problem solving， which is also the process of their thinking dynamism. Based on research into reform and innovation of mathematics classroom life styles， teachers should construct experimental courses and carry out experimental teaching from the aspects of asking， doing， writing， debating and reasoning so that thinking could be visualized for a better sharing of thinking dynamism by students.

Key words： mathematics experiment; thinking process; sharing