姚斌 楊玲香
摘要:以矩陣的逆一節(jié)內(nèi)容為教學(xué)實(shí)例,探討如何在《線性代數(shù)》課堂教學(xué)中運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)法引入新的概念及相關(guān)理論,以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。
關(guān)鍵詞:線性代數(shù);啟發(fā)式教學(xué)法;概念引入
中圖分類號(hào):G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2013)52-0065-02
《線性代數(shù)》是高等院校工科學(xué)生的三門數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課之一,與其他兩門數(shù)學(xué)課程(高等數(shù)學(xué)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì))不同的是,這門課程的概念多、定理多、運(yùn)算規(guī)律多,并且基本概念、理論和方法具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和實(shí)用性。通過多年的教學(xué)工作,我們發(fā)現(xiàn)相當(dāng)多的學(xué)生覺得課程內(nèi)容過于枯燥、抽象,不理解其中概念及相關(guān)理論的來龍去脈,概念與概念之間的聯(lián)系與區(qū)別,只會(huì)簡單記憶概念、性質(zhì)和公式,進(jìn)行行列式、矩陣等的運(yùn)算,而不知道如何運(yùn)用《線性代數(shù)》的知識(shí)將各種實(shí)際問題抽象為一個(gè)線性代數(shù)問題并進(jìn)行求解。如何將課程中抽象枯燥的概念生動(dòng)形象地表達(dá)出來,產(chǎn)生相關(guān)理論的思想、方法和過程深入淺出地展現(xiàn)出來,讓學(xué)生易于理解和接受,并有意識(shí)地引導(dǎo)他們自己去發(fā)現(xiàn)概念與概念之間的聯(lián)系與區(qū)別,是《線性代數(shù)》課堂教學(xué)急需解決的問題。所謂啟發(fā)式教學(xué)法[1,2],就是教師在教學(xué)過程中,能夠使學(xué)生通過自己的能動(dòng)的思考活動(dòng),領(lǐng)會(huì)和理解教學(xué)內(nèi)容,提高和發(fā)展其自立性和創(chuàng)造性,同時(shí)積極促進(jìn)學(xué)生的思維活動(dòng),使他們對事物現(xiàn)象的本質(zhì)能夠自主地、容易地把握和領(lǐng)會(huì)的教學(xué)方法。下面我們以戴斌祥老師主編的《線性代數(shù)》教材中第二章第三節(jié)矩陣的逆一節(jié)內(nèi)容為教學(xué)實(shí)例,說明如何從教材內(nèi)容、教學(xué)要求和學(xué)生的實(shí)際出發(fā),在課堂教學(xué)中運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)法引入新的概念及相關(guān)理論。
一、深挖教材內(nèi)容,創(chuàng)設(shè)富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)問題情境
能否在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)創(chuàng)設(shè)富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)問題情境,使問題情境與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)知識(shí)建立自然的、內(nèi)在的邏輯聯(lián)系,從而激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,最終生成有效的教學(xué)探索活動(dòng)是數(shù)學(xué)課程開展啟發(fā)式教學(xué)成敗的關(guān)鍵?!毒€性代數(shù)》課程主要研究對象是線性方程組,主要研究內(nèi)容是線性方程組解的存在性、解的個(gè)數(shù)和解的結(jié)構(gòu)問題,研究工具包括行列式、矩陣和向量組。由于《線性代數(shù)》的概念、定理及性質(zhì)較多,零散且繁雜,這就要求教師必須鉆研教材,立足于教學(xué)要求,以課程的主攻課題為研究主線,加強(qiáng)即將新學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系,讓學(xué)生不斷地建立和改進(jìn)課程知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò),促進(jìn)學(xué)生對新學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)的理解。教材第一章引入了行列式的定義,討論了行列式的性質(zhì)和計(jì)算方法,并介紹了行列式的一個(gè)直接應(yīng)用:克拉默法則。通過第一章的學(xué)習(xí),學(xué)生明白了行列式起源于解線性方程組,應(yīng)用行列式解線性方程組必須滿足克拉默法則的兩個(gè)前提:一是線性方程組的方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)要相等,二是線性方程組的系數(shù)行列式不等于零。同時(shí),學(xué)生體會(huì)到由于計(jì)算行列式的方法比較靈活,計(jì)算工作量大,當(dāng)系數(shù)行列式的階數(shù)較大時(shí)用克拉默法則解線性方程組是不適用的。教材第二章第一節(jié)從所要研究的一般的線性方程組(m個(gè)方程n個(gè)未知量)引入了矩陣的定義,第二節(jié)介紹了矩陣的五類運(yùn)算:矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法、矩陣與矩陣相乘、矩陣的轉(zhuǎn)置和方陣的行列式。到此為止,學(xué)生已經(jīng)掌握了線性方程組的矩陣形式,明白了引入矩陣實(shí)際上是希望通過研究矩陣的相關(guān)理論進(jìn)一步地討論線性方程組解的理論和方法。根據(jù)以上學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的課程知識(shí),為了在矩陣的逆這一節(jié)的課堂教學(xué)中開展啟發(fā)式教學(xué),我們創(chuàng)設(shè)了如下數(shù)學(xué)問題情境:數(shù)的運(yùn)算定義有加法、減法、乘法、除法,有了數(shù)的除法,一元一次方程ax=b,當(dāng)a≠0時(shí),方程的解可表示為x=b÷a,而矩陣的運(yùn)算也定義有加法、減法、乘法,那么矩陣是否也可以定義一個(gè)除法,當(dāng)矩陣方程AX=B滿足一定的條件時(shí),方程的解可表示為X=B÷A。
二、精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程,開展富有啟發(fā)性的課堂講授
啟發(fā)教學(xué)法倡導(dǎo)教師開展啟發(fā)式的講授,而不是教師簡單告訴、學(xué)生被動(dòng)接受的灌輸式的講授。也就是說,在課堂講授中,要學(xué)習(xí)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容雖然是以定論的形式呈現(xiàn)給學(xué)生,但教師不能徑直地告訴學(xué)生有待掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和解決問題的過程,然后學(xué)生消極旁觀地傾聽并進(jìn)行簡單的記憶和模仿,而要引導(dǎo)學(xué)生使新學(xué)習(xí)的內(nèi)容與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)知識(shí)建立內(nèi)在的邏輯聯(lián)系,并對教師的講授做出自己的解釋,構(gòu)建新知識(shí)的意義,以此加以內(nèi)化,從而使新舊知識(shí)融為一體。這就要求教師以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體,精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程,使啟發(fā)指向數(shù)學(xué)思考過程和數(shù)學(xué)思維方法,并從中把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。矩陣的逆這一節(jié)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容教材是按如下順序安排的。
為了充分暴露數(shù)學(xué)思維過程,形成啟發(fā)態(tài)勢,我們以創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)問題情境為起點(diǎn),對教材內(nèi)容按照知識(shí)的發(fā)生發(fā)展及數(shù)學(xué)家的思維過程和思維方法進(jìn)行教學(xué)法加工,引入教學(xué)內(nèi)容中矩陣的逆矩陣及矩陣的伴隨矩陣這兩個(gè)重要概念。
1.矩陣的逆矩陣定義的引入。首先,回顧數(shù)的乘法與矩陣的乘法的異同,說明由于數(shù)的乘法滿足交換律,為此一元一次方程ax=b與xa=b同解,當(dāng)a≠0時(shí),方程的解可表示為x=b÷a,而矩陣的乘法不滿足交換律,矩陣方程AX=B與XA=B(假設(shè)AX和XA都滿足乘法定義)不一定同解,故無法找到直接定義矩陣除法的方法。另一方面,類比于數(shù)的除法是數(shù)的乘法的逆運(yùn)算,b÷a=b×■=b×a-1,啟發(fā)學(xué)生通過定義矩陣的逆,并結(jié)合矩陣的乘法間接實(shí)現(xiàn)矩陣的除法去求解相應(yīng)的矩陣方程,即當(dāng)矩陣A滿足一定的條件時(shí),矩陣方程AX=B與XA=B的解可分別表示為X=A-1×B和X=B×A-1。通過這樣的討論,學(xué)生很容易就明白了為什么要定義矩陣的逆,而沒有定義矩陣的除法。與此同時(shí),原來創(chuàng)設(shè)的如何定義矩陣除法的數(shù)學(xué)問題情境也順利轉(zhuǎn)化為如何定義矩陣的逆。然后,類比于數(shù)的逆運(yùn)算,當(dāng)a≠0時(shí),數(shù)a的逆a-1存在,且滿足aa-1=a-1a=1,并聯(lián)想到矩陣運(yùn)算中單位矩陣的作用類似于數(shù)的運(yùn)算中1的作用,結(jié)合正反兩方面的實(shí)例,啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不是所有的矩陣都存在逆矩陣,只有矩陣是方陣時(shí)才可能存在逆矩陣,方陣A的逆矩陣A-1存在時(shí)滿足方程AA-1=A-1A=E。最后,給出方陣的逆矩陣的存在性定義,并把如何定義矩陣的逆的數(shù)學(xué)問題情境進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為方陣滿足什么樣的條件才存在逆矩陣,存在時(shí)又如何求它。
2.矩陣的伴隨矩陣定義的引入。首先,由數(shù)a的逆a-1存在的充分必要條件是a≠0和任何一個(gè)方陣A可通過行列式運(yùn)算對應(yīng)到一個(gè)數(shù)|A|上,啟發(fā)學(xué)生產(chǎn)生方陣A的逆矩陣A-1存在的充分必要條件是|A|≠0的猜想。然后,引導(dǎo)學(xué)生證明該猜想。必要性的證明由逆矩陣A-1存在時(shí)滿足的方程AA-1=A-1A=E兩邊同時(shí)取行列式運(yùn)算即能得到。充分性的證明,可引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)方陣的逆矩陣的存在性定義和矩陣的乘法定義具體化為:在方陣A=(aij)n的行列式|A|≠0的條件下,一定能夠找到一個(gè)方陣B=(bij)n,使得■a■b■=1,i=j0,i≠j。接著,回顧行列式|A|的代數(shù)余子式Aij的性質(zhì)■a■A■=|A|,i=j0,i≠j,并將其與■a■b■=1,i=j0,i≠j進(jìn)行比較,啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)|A|≠0時(shí),方陣B一定存在且B=(bij)n=■■=■=■。此時(shí),猜想得到證實(shí),并進(jìn)一步得到方陣A的逆矩陣A-1存在時(shí)A-1=■。最后,引入方陣A=(aij)n的伴隨矩陣A*=[(A■)n]'的概念,并給出伴隨矩陣的重要性質(zhì)A*A=AA*=|A|E和伴隨矩陣描述下的矩陣可逆的充分必要條件及其證明過程。
參考文獻(xiàn):
[1]鮑培文.線性代數(shù)啟發(fā)式教學(xué)改革的新思路[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,(31).
[2]韓龍淑.數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)研究[D].南京師范大學(xué),2007:8-17.
基金項(xiàng)目:石河子大學(xué)教育教學(xué)改革項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào):JG-2012-163)
作者簡介:姚斌(1982-),男,江西萍鄉(xiāng)人,講師,碩士研究生,主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。
通訊作者:楊玲香(1982-),女,新疆伊犁人,講師,碩士研究生,主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。