ΔPF1F2的內(nèi)切圓圓心為I與ΔPF1F2相切于點(diǎn)D,E,H,PI與x軸交于點(diǎn)M(xM,yM),設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),點(diǎn)I的坐標(biāo)為(xI,yI),則有如下性質(zhì):2. 橢圓內(nèi)一類(lèi)三角形的性質(zhì)探究如圖2,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為= 1(a＞b＞0),F1,F2分別為橢圓的左右焦點(diǎn),直線(xiàn)PQ1經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1且與橢圓交于P,Q1兩點(diǎn),ΔPQ1F2的內(nèi)切圓圓心為I1, 半徑為r1, 直線(xiàn)PQ2經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2且與橢圓交于P,Q2兩點(diǎn), ΔPQ2F1的內(nèi)切圓圓心為I2, 半徑為r2,

別為△ABC的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑與半周長(zhǎng),則有為了證明不等式(2)，我們先利用r-s-R法給出幾個(gè)關(guān)于三角形半角正切的公式.引理1 設(shè)r,R,s分別為其內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑與半周長(zhǎng),則有16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2(7).其中∑,∏分別表示循環(huán)和與循環(huán)積.公式(4)是熟知的半角正切公式.不等式(7)是Gerretsen不等式，(8)的右邊不等式就是著名的Kooi不等式.

形形狀；錯(cuò)解；內(nèi)切圓；嚴(yán)謹(jǐn)性中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（202301-0050-03收稿日期：2022-10-05作者簡(jiǎn)介：林國(guó)紅（1977-），男，廣東省佛山人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.數(shù)學(xué)的靈活與嚴(yán)謹(jǐn)，時(shí)刻體現(xiàn)在知識(shí)的運(yùn)用和解決問(wèn)題中，若輕視數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，往往在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，會(huì)導(dǎo)致解答的過(guò)程失之嚴(yán)密完整，而產(chǎn)生遺漏甚至錯(cuò)誤的結(jié)果.下面以一道判斷三角形形狀的問(wèn)題為例，說(shuō)明數(shù)學(xué)解答嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹匾?

外接圓半徑; 內(nèi)切圓半徑; 高線(xiàn)1 問(wèn)題提出蒂圖·安德雷斯庫(kù)[1]的Mathematical Reflections (2014-2015)中提供了如下幾何不等式:Mathematical Reflections S357問(wèn)題在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分別為對(duì)應(yīng)邊上的高,r為△ABC的內(nèi)切圓半徑, 則有:定理1 在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分別為對(duì)應(yīng)邊上的高,r為△ABC的內(nèi)切圓

,外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑,則有其中∑ 表示循環(huán)和.本文給出不等式①的加強(qiáng)及反向不等式:定理2設(shè)ra、rb、rc、R、r分別是△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)的旁切圓半徑,外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑,則有2 幾個(gè)引理為了證明定理2,我們給出一些關(guān)于三角形的各種半徑和半周長(zhǎng)的恒等式與不等式:引理1設(shè)ra、rb、rc、R、r、s分別是△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)的旁切圓半徑,外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑與半周長(zhǎng),則有其中∏f(a,b,c)表示循環(huán)積.證明③～⑥是熟知的結(jié)論.令

、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑、半周長(zhǎng)與面積分別為a,b,c,R,r,s，△，∑表示循環(huán)求和.文[1]作者已得如下結(jié)論：安振平先生在文[2]中提出了四個(gè)待證問(wèn)題，其中待證問(wèn)題6如下：本文對(duì)上述待證問(wèn)題6進(jìn)行探討，獲得如下結(jié)論：1、當(dāng)R=2r時(shí)，待證問(wèn)題6顯然成立;綜上所述，有如下結(jié)論：1、所有正三角形，待證問(wèn)題6成立.4、待證問(wèn)題6轉(zhuǎn)化為：尋求滿(mǎn)足待證問(wèn)題6的非正三角形內(nèi)切圓半徑的最小值.

P是△ABC的內(nèi)切圓圓心.因?yàn)锽P平分∠ABC，所以∠1=∠2.又∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，所以∠3=∠4.同理∠5=∠6.所以∠5+∠3=∠6+∠4，在四邊形ADPE中，∠A+∠DPE+∠ADP+∠AEP=360°，所以∠A+∠DPE=360°-90°-90°=180°，所以∠DPE=180°-∠A=180°-40°=140°，又因?yàn)椤螪PE+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，所以∠3+∠4+∠5+∠6=360°-∠DPE=360°-140

程；角平分線(xiàn)；內(nèi)切圓；正切中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0031-02收稿日期：2022-07-05作者簡(jiǎn)介：盧會(huì)玉（1981.7-），女，甘肅省天水人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.高考對(duì)直線(xiàn)方程的考查也是比較常見(jiàn)，但是一般都是選擇或者填空題.有時(shí)用相關(guān)的平面幾何的知識(shí)解決問(wèn)題是非?？旖莸?，有時(shí)用適合題目特點(diǎn)的一些方法也是比較合適.本文對(duì)一道涉及角平分線(xiàn)的題進(jìn)行了深入的分析和探究，用七種方法揭

”章節(jié)中三角形內(nèi)切圓部分的例、習(xí)題整合為例進(jìn)行闡述.一、題例分析，明確題目?jī)r(jià)值義務(wù)教育教科書(shū)（人教版）《數(shù)學(xué)》九年級(jí)（上冊(cè)）第二十四章24.2.2直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，講解了切線(xiàn)長(zhǎng)定理和三角形的內(nèi)心相關(guān)內(nèi)容.教材用三角形內(nèi)切圓的圓心定義了三角形的內(nèi)心，即三角形內(nèi)切圓圓心是三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn).在教學(xué)過(guò)程中，教師既要讓學(xué)生對(duì)照?qǐng)D形理解三角形內(nèi)切圓的概念，又要引導(dǎo)他們把三角形的內(nèi)心和三角形的外心、內(nèi)切圓和外接圓進(jìn)行比較，讓學(xué)生真正理解“切”和“接”的含義.在

，外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，求證：為了證明不等式②和③，先給出四個(gè)引理.引理1[1]在△ABC中，有∑ab=s2+4Rr+r2,∑a2=2(s2-4Rr-r2)，∑a3=2s(s2-6Rr-3r2)，∑a4=2(s2-4Rr-r2)2-8s2r2.利用引理1和abc=4Rrs，可得(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)=(2s+a)(2s+b)(2s+c)=8s3+4s2(a+b+c)+2s(ab+bc+ca)+abc=16s3+2s(

離心率;焦點(diǎn);內(nèi)切圓中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）04-0008-051 試題呈現(xiàn)題目1 （2021年5月全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽第8題）已知離心率為62的雙曲線(xiàn)C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，R，r分別為△PF1F2的外接圓、內(nèi)切圓半徑.若∠F1PF2=60°，則Rr=.2 解法探究由于題目1涉及雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓半徑，比較自然地會(huì)想到

曉波涉及三角形內(nèi)切圓的題目在高中階段是常見(jiàn)題型之一,該類(lèi)題目往往能很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)與對(duì)稱(chēng)美.該類(lèi)問(wèn)題往往在解三角形、圓錐曲線(xiàn)、向量等知識(shí)點(diǎn)中來(lái)考查學(xué)生.然而,該類(lèi)題目往往會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)比較頭痛,無(wú)從下手.究其原因在于學(xué)生對(duì)內(nèi)切圓的相關(guān)知識(shí)缺乏一個(gè)系統(tǒng)的有效的提煉與總結(jié).下面筆者給出三角形內(nèi)切圓相關(guān)的幾個(gè)結(jié)論及其應(yīng)用,力求讓讀者在解決此類(lèi)題目時(shí)有清晰的思路和有效的方法.一、等面積二、切線(xiàn)長(zhǎng)相等定理三、角度關(guān)系四、面積關(guān)系五、升華與總結(jié)

線(xiàn)焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓半徑,比較自然地會(huì)想到從面積出發(fā)求解.解法1 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,雙曲線(xiàn)的半焦距為c,則由余弦定理,知4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn.即(m+n)2=4c2+3mn.所以mn=4b2.解法2 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)P(x0,y0)在第一象限,雙曲線(xiàn)的半焦距為c,則在△PF1F2中由正弦定理知圖1解法3 如圖1,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上,△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I,圓I依次切PF1,PF

探究了求三角形內(nèi)切圓的方程的求解策略.關(guān)鍵詞： 三角形;內(nèi)切圓;角平分線(xiàn);方程;策略中圖分類(lèi)號(hào)： G632 ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? 文章編號(hào)： 1008-0333（2021）16-0058-03本文給出求解三角形內(nèi)切圓方程的四種方法，何時(shí)用哪種方法求解速度快？沒(méi)有規(guī)律可循，可以說(shuō)很靈活，但是只要同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)悟并掌握這五種方法，解決三角形內(nèi)切圓方程的問(wèn)題就沒(méi)有問(wèn)題了. 參考文獻(xiàn)： [1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)

的定義和三角形內(nèi)切圓的定義.由三角形內(nèi)角平分線(xiàn)的定義知，三角形內(nèi)角平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.由三角形內(nèi)切圓的定義知，三角形中兩個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)是這個(gè)三角形內(nèi)切圓的圓心，內(nèi)切圓的圓心到三角形的一條邊的距離是這個(gè)內(nèi)切圓的半徑.方法3(等面積法)：不妨取直線(xiàn)l的方程為3x-4y+3=0，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的下方.設(shè)△BDK的內(nèi)切圓的半徑為r，則我們知道，若已知一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)，都可以用再解1求出其面積，在這里是運(yùn)用余弦定理求cos∠BKD

若求?ABC的內(nèi)切圓半徑r的最大值.探求結(jié)論往往明確解題方向.注意到的對(duì)稱(chēng)性, 猜想A=B時(shí)內(nèi)切圓半徑最大, 此時(shí)A=B=C=如圖1所示, 有r=ID=圖1解法1記?ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,又S?ABC=(a+b+c)r=故所以?ABC的內(nèi)切圓半徑的最大值為解法2由記?ABC的內(nèi)切圓I切邊AB,BC,CA于點(diǎn)D,E,F,記AD=DF=x,BD=BE=y,CE=CF=z.圖2如圖2 所示,則x+y+則依題意可知S?ABC=(a+b+c)r=

的邊長(zhǎng)、面積、內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑，則設(shè)a,b,c,S,p分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積和半周長(zhǎng)，則文[3]給出一個(gè)加強(qiáng)不等式：設(shè)a,b,c,S,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑，則文[4]刊出一個(gè)拓展不等式：設(shè)a,b,c,S,p分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、半周長(zhǎng)，pa=p-a，pb=p-b,pc=p-c，則文[5]進(jìn)一步給出如下加強(qiáng)不等式：≤∑a2-∑(a-b)2定理設(shè)a,b,c,S,r,R,p分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、內(nèi)切圓半徑

、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有2s2(2R-r)≤R(4R+r)2.②上世紀(jì)80年代末，浙江寧波大學(xué)陳計(jì)和王振兩位老師把它介紹到國(guó)內(nèi)，引發(fā)了高度關(guān)注.陳計(jì)、王振、黃漢生、王文正、簡(jiǎn)超、湯茂林等老師給出過(guò)這個(gè)不等式的不同證明方法[3]-[7].1991年，陶平生老師給出了不等式①的如下等價(jià)形式：[8]命題3在△ABC中，有③2019年，安振平老師給出了Garfunkel-Bankoff不等式的一個(gè)類(lèi)似：[9]命題4在△ABC中，R，r分別表示其外接圓半徑和內(nèi)

1,ΔABC的內(nèi)切圓的圓心為O，BC邊的切點(diǎn)為D，DE為內(nèi)切圓的直徑，連AE并延長(zhǎng)，交BC于F，則BF=DC.文獻(xiàn)[1]中給出了8種詳盡的解法，其中有平幾法、三角法、解析法等等.本文旨在研究它的變式與類(lèi)比，將其推廣到圓錐曲線(xiàn)中，并用解析法給予證明，與大家分享.變式(第十屆中國(guó)香港數(shù)學(xué)奧林匹克)設(shè)F是ΔABC邊BC上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足AB+BF=AC+CF，線(xiàn)段AF與ΔABC的內(nèi)切圓交于點(diǎn)E,Y，且E距點(diǎn)A更近一些，ΔABC的內(nèi)切圓與邊BC切于點(diǎn)D.證明：(1)D

求解.評(píng)析借助內(nèi)切圓半徑公式,結(jié)合橢圓性質(zhì)求解,很快得到答案.圖2解析如圖2所示,設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓與該三角形的三邊分別相切于點(diǎn)M,N,K.不妨設(shè)F1M=F1K=x,F2M=F2N=z,PK=PN=y.評(píng)析借助內(nèi)切圓與三角形的幾何性質(zhì),結(jié)合題目條件r+c=a,得到PF1⊥PQ,這是解決本道試題的關(guān)鍵.評(píng)析本題涉及到重心與內(nèi)心,準(zhǔn)確地掌握好重心和內(nèi)心的相關(guān)性質(zhì)是解決本道試題的關(guān)鍵.圖3評(píng)析借助內(nèi)切圓半徑公式,聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程求解.評(píng)析借助內(nèi)切圓半徑公式

過(guò)對(duì)等邊三角形內(nèi)切圓進(jìn)行分割，利用高等數(shù)學(xué)的極限思想及一階二次遞歸數(shù)列得到圓周率的一個(gè)新的計(jì)算公式.新公式相比于已有的圓周率計(jì)算公式，不僅在精度上而且在計(jì)算時(shí)間上都有很大的優(yōu)勢(shì).當(dāng)循環(huán)次數(shù)不超過(guò)20時(shí)，可得到小數(shù)點(diǎn)后12位;當(dāng)循環(huán)次數(shù)等于21時(shí)，可得到小數(shù)點(diǎn)后一千萬(wàn)位.本方法可以作為計(jì)算圓周率的一種簡(jiǎn)單的、精確度高的方法.【關(guān)鍵詞】圓周率;內(nèi)切圓;極限;一階二次遞歸數(shù)列一、引言圓周率用第十六個(gè)希臘字母π表示，是精確計(jì)算圓的周長(zhǎng)與面積、球的體積等幾何圖形的關(guān)

求解.評(píng)析借助內(nèi)切圓半徑公式,結(jié)合橢圓性質(zhì)求解,很快得到答案.圖2解析如圖2所示,設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓與該三角形的三邊分別相切于點(diǎn)M,N,K.不妨設(shè)F1M=F1K=x,F2M=F2N=z,PK=PN=y.評(píng)析借助內(nèi)切圓與三角形的幾何性質(zhì),結(jié)合題目條件r+c=a,得到PF1⊥PQ,這是解決本道試題的關(guān)鍵.評(píng)析本題涉及到重心與內(nèi)心,準(zhǔn)確地掌握好重心和內(nèi)心的相關(guān)性質(zhì)是解決本道試題的關(guān)鍵.圖3評(píng)析借助內(nèi)切圓半徑公式,聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程求解.評(píng)析借助內(nèi)切圓半徑公式

三角形的內(nèi)心;內(nèi)切圓;線(xiàn)段之比作者簡(jiǎn)介：劉道祥（1987-），男，山東東阿人，教育碩士，中學(xué)二級(jí)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué);王吉利（1990-），男，甘肅莊浪人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué).對(duì)于求兩條線(xiàn)段之比，初中階段常用的解題方法是：求出兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度，然后求得兩條線(xiàn)段之比;或者是通過(guò)已知條件，得到一個(gè)等式，通過(guò)對(duì)等式的化簡(jiǎn)，從而直接得到兩條線(xiàn)段之比. 本文以一幾何試題為例，探討解決有關(guān)三角形內(nèi)心的線(xiàn)段之比問(wèn)題.1 試題呈現(xiàn)題目

外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑r，則(∑表示循環(huán)和)(1)文[2]將定理1改進(jìn)為：定理2在三角形ABC中，外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑r，則(2)我們發(fā)現(xiàn)不等式成立，這是由于故設(shè)想將不等式(2)改進(jìn)為定理3在三角形ABC中，外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑r，則(3)那么記三角形ABC的內(nèi)心為I，令A(yù)B=AC,BC→0，注12(R+r)≥IA+IB+IC.(4)同理有那么就得出不等式(4)的一個(gè)等價(jià)結(jié)論：(5)注2運(yùn)用上面證明中的基本數(shù)學(xué)事實(shí)，可以簡(jiǎn)捷地證明一些不等式，如：

、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，則(1)事實(shí)上，1998年武鋼高三學(xué)生李磊應(yīng)用Kooi不等式[4]證明了不等式(1)[5]，文[6]已收錄不等式(1).本文對(duì)不等式(1)進(jìn)行研討，得到如下不等式：定理3設(shè)a,b,c,S,R,r分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，則(2)2 兩個(gè)引理為證明不等式(2)，先給出兩個(gè)引理引理1(Blundon不等式)[4]設(shè)a,b,c,s,R,r分別是△ABC的邊長(zhǎng)、半周長(zhǎng)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，則其中等號(hào)成立當(dāng)且僅

、c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R、r，則有著名的歐拉不等式R≥2r.文[1]中建立了如下三角形式的加強(qiáng).定理1 設(shè)R、r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(Σ表示循環(huán)和)①當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).定理2 設(shè)R、r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有②當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).r(R-2r)(400R3-2452R2r+4243Rr2-1230r3)≥0③由于R≥2r，且

O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F。若BD=6，AD=4，求⊙O的半徑r。圖4【解析】連接OE、OF，可得四邊形OECF是正方形，設(shè)OE=OF=CE=CF=r。由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得 BD=BE=6，AD=AF=4，則 BC=6+r，AC=4+r，再根據(jù)勾股定理，可得（6+r）2+（4+r）2=102，整理得r2+10r-24=0，解得r=2或-12（不合題意，舍去）?！军c(diǎn)評(píng)】本題是教材中的一個(gè)習(xí)題，圖形的基本框架是直角三角形內(nèi)切圓，主要考查了切線(xiàn)長(zhǎng)定理

,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，則有著名的歐拉不等式R≥2r，文[1]建立了歐拉不等式的一個(gè)三角形式：定理1設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).文[2]給出了歐拉不等式的一個(gè)三角形式的類(lèi)似：定理2設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).2 構(gòu)建新的歐拉三角不等式定理3設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)當(dāng)且

外接圓半徑R與內(nèi)切圓半徑r的著名不等式R≥2r的隔離、加強(qiáng)與推廣研究精彩紛呈.文[1]給出歐拉不等式與邊長(zhǎng)間的一個(gè)不等式鏈，文[2]建立了歐拉不等式的如下三角形式的加強(qiáng)不等式.定理1設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)(1)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).文[3]將不等式(1)加強(qiáng)為：定理2設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，則(2)類(lèi)比不等式(2)，文[3]得到歐拉不等式的如下三角形式的加強(qiáng)式：定理3設(shè)R,

、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則(3)最近，郭要紅、劉其右兩位老師在文[4]中對(duì)(3)式右端的不等式進(jìn)行了加強(qiáng)，得到定理4設(shè)a,b,c,△,R,r分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則∑a2-∑(a-b)2(4)受文[4]啟發(fā)，筆者對(duì)(3)式左端的不等式也進(jìn)行了加強(qiáng)，得到如下結(jié)果：定理5設(shè)a,b,c,△,R,r分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則∑a2-∑(a-b)2(5)2　兩個(gè)引理為證明不等式(5)，先給出兩個(gè)引理．引理1

沈小福三角形內(nèi)切圓是指與三角形三邊相切的特殊圓.在初中階段幾何知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)實(shí)踐中，有關(guān)三角形內(nèi)切圓的教學(xué)是一大重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)所在.內(nèi)切圓與三角形形狀、三邊以及面積等有密切關(guān)系，學(xué)生必須熟知相關(guān)理論，并掌握該知識(shí)點(diǎn)的解題方法，從而促進(jìn)三角形問(wèn)題求解能力的提高.以下即結(jié)合相關(guān)教學(xué)實(shí)例，就初中階段三角形內(nèi)切圓在教學(xué)中的具體應(yīng)用與方法進(jìn)行分析.一、三角形內(nèi)切圓半徑求法在面積法中的應(yīng)用面積法是初中階段平面幾何計(jì)算中非常重要的方法之一.在一些平面幾何題目的求解中，

,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，則有不等式R≥2r.上述不等式是數(shù)學(xué)家歐拉于1765年建立，該不等式具有簡(jiǎn)單而不平凡的特點(diǎn)，關(guān)于它的各種加強(qiáng)、隔離和推廣的研究從未間斷過(guò). 文[1]給出歐拉不等式與邊長(zhǎng)間的一個(gè)不等式鏈，文[2]則建立了歐拉不等式的如下三角形式的加強(qiáng)不等式定理1設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(Σ表示循環(huán)和)(1)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).(2)下面給出式(2)的證明.由于原本到此，對(duì)式(1)的探究可以暫告一個(gè)

2）△ABC的內(nèi)切圓與邊BC，CA，AB，分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)。（3）△ABC的內(nèi)切圓的半徑R= 。 （2）證明（1）△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=a+b，BC=b+c，CA=c+a，半周長(zhǎng)p= （AB+BC+CA）=a+b+c，由三角形面積的海倫公式得= = 。（2）設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的圓心為O，⊙O切邊BC，CA，AB于L，M，N.由切線(xiàn)性質(zhì)得AM=AN，BN=BL，CL=CM，而且AM+BN=AN+BN=a+bBN+CL=BL+CL=b+cCL+AM=

議焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓◇ 北京 岳昌慶如圖1所示,設(shè)△ABC內(nèi)切圓I分別與AB、BC、CA相切于D、E、F,設(shè)BC=a,AC=b,BA=c.由初中平面幾何知識(shí)可得圖1本文中的焦點(diǎn)三角形指橢圓或雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P與2焦點(diǎn)F1、F2所組成的△PF1F2.1 雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形圖2又|F1O|=c,所以|OE|=a,即E與A2重合.下面4個(gè)命題① △PF1F2內(nèi)切圓的圓心必在直線(xiàn)x=a上;② △PF1F2內(nèi)切圓的圓心必在直線(xiàn)x=b上;③ △PF1F2內(nèi)切圓的圓心必在直

Δ ，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為 R,r ，則有最后提出如下猜想1設(shè) ΔABC 的三邊為 a,b,c ，面積為 Δ ，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為 R,r ，則有經(jīng)探討發(fā)現(xiàn)，(3)式成立.f(16Rr-5r2)=400R3r2-1312R2r3+1168Rr4-288r5=16r2(R-2r)(25R2-32Rr+9r2)=16r2(R-2r)[(9(R2+r2)+16R(R-2r)]≥0.當(dāng)R=8r 時(shí),R-8r=0,f(s2)=1056r2s2>0.當(dāng)2r≤

方法.關(guān)鍵詞：內(nèi)切圓；導(dǎo)數(shù)；泰勒中值定理(第3屆IMO試題)筆者將這一不等式加以推廣，證明了以下2個(gè)優(yōu)美的不等式．定理1在△ABC中，記a，b，c為其邊長(zhǎng)，S為其面積，k為任意給定的正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，不等式取到等號(hào)．顯然，當(dāng)k=2時(shí)，該不等式即為例1中的不等式．定理2在存在內(nèi)切圓的凸n邊形中，設(shè)a1,a2,…,an為其各邊長(zhǎng)，S為其面積，k為任意給定的正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，不等式取到等號(hào)．為了證明上述2個(gè)定理，先證明以下3

即等邊三角形的內(nèi)切圓與外接圓是同心圓．筆者在教授了三角形的內(nèi)切圓的新課后，在課后練習(xí)中碰到了一個(gè)習(xí)題：若△ABC的內(nèi)切圓和外接圓是2個(gè)同心圓，則△ABC一定是()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．鈍角三角形因?yàn)榈冗吶切?span id="syggg00" class="hl">內(nèi)切圓與外接圓是同心圓，所以根據(jù)直覺(jué)答案應(yīng)選A．由于三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，而直角三角形的外心在其斜邊的中點(diǎn)，不可能與三角形內(nèi)部的內(nèi)心重合；鈍角三角形的外心在三角形的外部，也不可能與三角形的內(nèi)心重合；等腰三角形包括等腰直角三

一類(lèi)伴隨圓——內(nèi)切圓族的方程和性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，筆者對(duì)拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0)的內(nèi)切伴隨圓族的方程與性質(zhì)進(jìn)行了進(jìn)一步的探討，得到了一些結(jié)論.1 相關(guān)定義1.1 內(nèi)切圓在拋物線(xiàn)的內(nèi)部，與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)的圓，叫做拋物線(xiàn)的內(nèi)切圓(圖1).1.2 內(nèi)切圓族與拋物線(xiàn)內(nèi)切，且具有共性的一族圓稱(chēng)為拋物線(xiàn)的內(nèi)切圓族(圖1).2 相切于一點(diǎn)的內(nèi)切圓族圖1 內(nèi)切圓與內(nèi)切圓族圖2 引理1內(nèi)切圓族引理1［1］設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為y2=2px(p＞0)，設(shè)M(x0，y0)

為42，求它的內(nèi)切圓的半徑.【解析】如圖6，連接OA，OB，OC，OE，OF，OG（通過(guò)這些輔助線(xiàn)，我們可以把原△ABC的面積分成△ABO，△BOC，△AOC三個(gè)三角形面積之和）.設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r，原△ABC的面積為S，周長(zhǎng)為C.答：內(nèi)切圓半徑為4.【點(diǎn)評(píng)】其實(shí)這種方法也可以推廣到任意三角形中，我們可以把它當(dāng)作求一般三角形內(nèi)切圓半徑的公式，即r=（其中S表示三角形面積，C表示三角形周長(zhǎng)，r表示三角形的內(nèi)切圓半徑）.在求直角三角形內(nèi)切圓半徑時(shí)我們往往

的外接圓直徑、內(nèi)切圓直徑、邊長(zhǎng)等不同條件時(shí)的正五邊形的繪制方法。關(guān)鍵詞：正五邊形；內(nèi)切圓；外接圓；邊長(zhǎng)由于正五邊形具有一定的實(shí)用性和趣味性，在高等職業(yè)教育中，常把正五邊形的繪制作為一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的幾何圖形繪制能力和綜合制作能力。綜觀各種教材及實(shí)際生產(chǎn)中關(guān)于正五邊形的繪制，可分為下述三種方法：1 已知正五邊形外接圓直徑來(lái)繪制正五邊形已知正五邊形的外接圓直徑，來(lái)繪制五邊形，實(shí)質(zhì)上就是要根據(jù)作圖法來(lái)求出該正五邊形的邊長(zhǎng)，求出邊長(zhǎng)后，在已知外接圓周上按該

外接圓半徑R與內(nèi)切圓半徑r之間關(guān)系的著名不等式：R≥2r，當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.由于該不等式具有簡(jiǎn)單而不平凡的特點(diǎn)，所以至今仍然在幾何不等式領(lǐng)域里保持著高水平的地位，關(guān)于它的各種加強(qiáng)和推廣的研究一直是幾何不等式研究的熱點(diǎn)，筆者在研究三角形內(nèi)部任意一點(diǎn)到各邊的距離時(shí)得到了歐拉不等式的如下推廣.由上述證明過(guò)程不難看出，當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形并且點(diǎn)P為△ABC的中心時(shí)等號(hào)成立.特別地，當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心時(shí)，x=y=z=r（r為△ABC的內(nèi)

是48，求它的內(nèi)切圓的半徑.解：設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為r，與△ABC三邊的切點(diǎn)依次為D、E、F，連 接AO、BO、CO、OD、OE、OF，則OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=OE=OF=r，S△ABC=S△ABO+S△BCO+SACO=AB·r+BC·r+AC·r=r（AB+BC+AC）. ∵△ABC的周長(zhǎng)是24，面積是48，∴AB+BC+AC=24，S△ABC=48，∴r×24=48，r=4.一般地，應(yīng)用上述方法，可以得到結(jié)論：已知△ABC的

00875)有內(nèi)切圓的等腰梯形是中考命題的熱點(diǎn)之一，該知識(shí)點(diǎn)在高中階段的應(yīng)用背景一般認(rèn)為是圓臺(tái)內(nèi)切球的軸截面．雖然新課標(biāo)中仍有“旋轉(zhuǎn)體與多面體的切接問(wèn)題”的相關(guān)要求，但實(shí)際上，圓臺(tái)內(nèi)切球已不再作為明確的要求了．本文給出這一知識(shí)點(diǎn)在拋物線(xiàn)中的應(yīng)用．眾所周知，等腰梯形不一定都有內(nèi)切圓．只有滿(mǎn)足“內(nèi)切圓的直徑為等腰梯形上、下底邊長(zhǎng)的等比中項(xiàng)”這一條件時(shí)，等腰梯形才有內(nèi)切圓．如圖1，在等腰梯形AB1C1D中有內(nèi)切圓O，但在等腰梯形ABCD中不存在內(nèi)切圓．圖1圖2如

081)三角形內(nèi)切圓的幾個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用●沈文選(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所 湖南長(zhǎng)沙 410081)本文將三角形內(nèi)切圓中的幾個(gè)有趣結(jié)論作為性質(zhì)介紹如下.證明過(guò)程略.性質(zhì)2設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心為I，△IBC的外接圓分別和射線(xiàn)AB，AC交于點(diǎn)D，E，則DE與⊙I相切.圖1 圖2證明顯然D，B，I，E，C五點(diǎn)共圓.對(duì)于圖1，有∠IDB=∠ICB,∠IDE=∠ICE.而∠ICB=∠ICE,于是∠IDB=∠IDE.由于AD與⊙I相切，由對(duì)稱(chēng)性知DE也與⊙I相切.

1)再談三角形內(nèi)切圓的幾個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用●沈文選 (湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所 湖南長(zhǎng)沙 410081)筆者在文獻(xiàn)［1］中介紹了三角形內(nèi)切圓的幾個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用，以下是筆者再次給出的幾個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用．性質(zhì)7設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別切邊BC，CA，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，記以A為圓心，AE為半圓的圓為W，直線(xiàn)DE交圓W于點(diǎn)G，點(diǎn)H在圓W上，則GH為圓W的直徑的充要條件是H，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線(xiàn)．證明如圖1，注意到△AEG和△CED均為等腰三角形，且底角相等，則知其頂角相等，即

BC的外接圓與內(nèi)切圓半徑分別為R,r,證明：(1)引理1若△ABC的外接圓與內(nèi)切圓半徑分別為R,r,則證明設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則由面積公式及正弦定理,可得因此 2RsinB·2RsinC·sinA=(2RsinA+2RsinB+2RsinC)r.于是從而故引理2(Euler不等式)若△ABC的外接圓與內(nèi)切圓半徑分別為R,r,則R≥2r.R≥2r.下面證明命題1.證明先證式(1)中的第1個(gè)不等式.所以同理可得以上3個(gè)式子相加化簡(jiǎn)即得再利用2