齊美 郜舒竹

【摘?? 要】“倍”這一概念在小學數(shù)學課程中具有重要價值。它能夠豐富學生早期的計數(shù)經(jīng)驗，為學生學習分數(shù)、比奠定基礎，并幫助學生發(fā)展單位化的眼光。為此，可設計“用‘倍看關系”的學習活動，通過具身活動操作、個體經(jīng)驗聯(lián)結、多元圖式建構、關鍵概念辨析四個步驟，幫助學生主動建構倍的心理意義、理解倍的數(shù)學含義并形成多元化表征的能力。此外，為避免學生混淆“倍的認識”中的“倍”與“因數(shù)與倍數(shù)”中的“倍數(shù)”兩個概念，還需對這兩個概念的異同進行比較，以促進學生對“倍”和“倍數(shù)”的理解。

【關鍵詞】倍的認識；學習活動；因數(shù)與倍數(shù)

本刊上一期刊登的《“倍”的意義不僅是除法運算的結果》一文指出，有關“倍的認識”的教學存在意義不完善的問題，即將“倍”僅僅理解為除法運算的結果。事實上，“倍”還可以用于描述關系。在此基礎上，本文進一步分析“倍”的課程價值，探究如何在數(shù)學課程設計與實施中落實“倍是關系”的意義，并讓學生在具身活動中，借助隱喻思維體會“倍是關系”。但在這一過程中，學生會遇到一些認識上的障礙，易于混淆“倍的認識”中的“倍”與“因數(shù)與倍數(shù)”中的“倍數(shù)”兩個概念。為此，需要對這兩個概念的異同進行比較，以避免概念上的混淆。

一、“倍”的課程價值

“倍”是表達量與量、數(shù)與數(shù)之間關系的語言。這種抽象的理解需要依賴隱喻。隱喻不僅僅是一種語言現(xiàn)象，還是人類理解周圍世界的一種感知和形成概念的工具［1］。喬治·萊考夫在《數(shù)學從哪里來》一書中提到：人類天生具有內(nèi)含的算術能力，包括識別少量物體數(shù)量的計數(shù)能力和進行簡單加減的運算能力。不過，當物體數(shù)量大于4時，人類隨之需要發(fā)展組合分組能力與符號表征能力。而若想全面掌握數(shù)的運算及其屬性，就需要提升隱喻能力（Metaphorizing Capacity）以及概念融合能力（Conceptual-blending Capacity）等認知能力。［2］這表明概念隱喻和概念融合是人類最基本的認知機制之一，它們共同促進了人類從先天算術能力發(fā)展到自然數(shù)的基本算術能力的進化。

在數(shù)學認知中，數(shù)可被視為一組對象所形成集合的隱喻，即一種從物理對象領域到數(shù)字領域的精確映射。因此，“5和7哪個大”和“2比4小”此類表達在人的頭腦中根深蒂固?？蓪嶋H上，數(shù)本身并無大小之分，人無法直接看見數(shù)的具體存在。比如，當學生在現(xiàn)實世界看到圖1所示的小方塊時，他們就會在頭腦中形成6的概念，表示這些小方塊的總數(shù)量是6個。

然而，隱喻的過程并不是一成不變的。即使是相同數(shù)量的對象，也會因為使用的映射方式不同，而在頭腦中形成不同的數(shù)。比如，當學生看到圖2所示的小方塊時，他們可能會無意識地對其進行分組，將2個小方塊視為一個單位。此時，他們的意識中便會浮現(xiàn)3。這里的3表示有3組，每組包含2個小方塊。這表明“倍表示關系”以隱喻的方式存在于學生早期的計數(shù)階段，并豐富了他們的計數(shù)經(jīng)驗。

學生在系統(tǒng)學習“倍表示關系”時，會認識三種意象圖式（Image Schema），即比較圖式、部分—整體圖式和變化圖式，分別對應用“倍”描述的三種不同關系：不同對象之間的關系、部分與整體的關系和變化前后的關系。這三種意象圖式在后續(xù)分數(shù)和比的學習中也有所體現(xiàn)，為學生進一步學習分數(shù)和比奠定了基礎。

首先是比較圖式。分數(shù)和比都具有描述不同對象之間關系的功能。以圖3為例，用分數(shù)的語言來說，第一行小方塊的數(shù)量是第二行小方塊數(shù)量的[12]。用比來描述，則可以說第一行小方塊與第二行小方塊的數(shù)量之比為1∶2。

其次是部分—整體圖式。分數(shù)與比都包含描述部分與整體關系的意義。例如，將長方形ABCD沿著中線EF對折再打開（如圖4），所形成的長方形ABFE的面積是長方形ABCD面積的[12]，也可以說長方形ABFE與長方形ABCD的面積之比是1∶2。

[A][E][D][C][F][B]

圖4 長方形ABCD的對折打開圖

最后是變化圖式。分數(shù)與比在變化圖式的應用上有所不同。先看分數(shù)，假設一個月前，樹苗A高8分米，樹苗B高12分米?，F(xiàn)在它們的高度分別是11分米和15分米。請問：哪株樹苗長得快？用加法來推理，可以得出兩株樹苗都長高了3分米，因此長得一樣快。而用乘法來推理，得出的結果卻是樹苗A長得更快。這是因為與原先的高度相比，樹苗A長高了[38]，樹苗B長高了[312]，[38]大于[312]，所以樹苗A長得更快。再看比，變化圖式在比例問題上體現(xiàn)為表征形式的相似。例如，將一個保溫杯縮小為原來的一半畫在紙張上，那么在原始圖像中相等的東西，在新建立的圖像中也應該相等。這意味著從原始圖像到新建立圖像的映射過程描述為相似性，但圖像元素中內(nèi)部結構的比不變。［3］

除了能為學生學習分數(shù)和比奠定基礎，倍的學習還能幫助學生發(fā)展單位化的眼光。杜威在《數(shù)的心理學》中提到：數(shù)被簡單定義為多少個度量單位（Units of Measurement），往往是抽象的［4］?？梢?，表示一個量數(shù)值的數(shù)與度量單位和重復次數(shù)密不可分。從離散的角度來看，數(shù)是許多個度量單位所構成的統(tǒng)一體；從抽象的角度來看，數(shù)則是一個度量單位所形成的局部。例如，50元既可以看成是由50個1元組成的，也可以直接看作一個度量單位。用倍的語言來說就是：50元是1元的50倍，或者50元的1倍。當然，50還可以由其他不同的組合方式組成，如2個25、5個10、10個5等。選擇的度量單位不同，度量的方式也不同。

綜觀學生從整數(shù)到分數(shù)、小數(shù)再到無理數(shù)的數(shù)概念學習過程，倍、分數(shù)、比這三個概念密切相關。以乘法比較的相關問題為例，在倍的學習中，通常將較小量看作單一量（標準量），與較大量進行比較。而在分數(shù)的學習中，通常將較大量看作單位“1”（標準量），與較小量進行比較。這兩種方式分別用“一個數(shù)是另一個數(shù)的多少倍？”和“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾？”來表述。例如，如果短木棒長10厘米，長木棒長15厘米，那么既可以說長木棒的長度是短木棒長度的1.5倍，也可以說短木棒的長度是長木棒長度的[23]。此外，“倍”還是理解“比”的重要基礎，因此可以用組合單位的方式來理解比。比如：如果4顆藍莓的價格是1元，那么這4顆藍莓就可以看作一個單位?；谶@個單位可以推導出其他倍數(shù)成立的情況，如8顆藍莓2元、40顆藍莓10元等。同時，也可以將單位進行縮小運算，得出2顆藍莓為0.5元、1顆藍莓為0.25元。也就是說，任何數(shù)量的藍莓都可以通過使用這些組合的單位來定價。

綜上所述，“倍”這一概念在小學數(shù)學課程中具有重要價值。它不僅能夠豐富學生早期的計數(shù)經(jīng)驗，為學生進一步學習分數(shù)和比奠定基礎，還能幫助學生發(fā)展單位化的眼光。因此，如何設計相關的學習活動，以促進學生理解“倍”這一概念就顯得尤為重要。

二、“用‘倍看關系”的學習活動設計

學習活動是學生通過自我理解、生生互動、師生交流實現(xiàn)變教為學的一種方式。從多元表征的認知功能來看，設計學習活動的意義在于整合各種表征的優(yōu)勢與特點，形成更為完善的內(nèi)在表征結構。而精心設計多元表征的學習活動，能夠幫助學生深入理解并內(nèi)化多元表征，生成整個表征結構，并學會建構多元表征的策略與方法等。［5］

人的認知是在其心智、身體與環(huán)境互動的過程中，無意識形成的具有穩(wěn)定性的思維方式。這種思維方式會不自覺地支配人們的行為，兼具“意象”和“圖式”的意義。［6］作為一個抽象數(shù)學概念，學生對“倍”的理解與掌握需要經(jīng)歷三個階段：首先是現(xiàn)實世界中的具身操作，其次是思維世界中的具身經(jīng)驗積累，最后是符號世界的抽象表征。學生若要理解某個數(shù)學結構，就必須在這個數(shù)學結構與另一個更易理解的數(shù)學結構之間建立對應關系。而表征是建立意義、交流信息、促進理解的重要手段。［7］

“倍的認識”是人教版教材三年級上冊的教學內(nèi)容。教學時，教師可以按照具身活動操作、個體經(jīng)驗聯(lián)結、多元圖式建構、關鍵概念辨析四個步驟，幫助學生主動建構倍的心理意義、理解倍的數(shù)學含義，形成多元化表征的能力。

教學伊始，教師通過展示兩組不同小方塊學具之間的關系，激活學生已有的知識經(jīng)驗，如加、減法之間的關系，引出課題——用“倍”看關系。教學中，教師主要安排以下四個學習任務。

任務一：用學具擺出“2倍”關系

學具的拼擺是一種將抽象的數(shù)學概念“2倍”關系具體化的活動。在具身操作活動中，學生通過摸、擺、拼等方式，深入體會“2倍”關系的實質(zhì)，從而形成對比不同對象的意象圖式。這種具身體驗使學生更容易理解和構建數(shù)量關系的模型。在這一過程中，學生經(jīng)歷用不同的對象表示“2倍”關系，體會“2倍”關系的表述既可以是“6個小方塊是3個小方塊的2倍”，也可以是“8個小方塊是4個小方塊的2倍”，以及更多類似的表述。但無論學具如何拼擺，其倍數(shù)關系都具有一個共同的特征，即內(nèi)在的抽象性?？梢?，理解這種抽象概念需要依賴具體的、具有象征意義的操作。

任務二：結合自身經(jīng)驗，舉例說明“2倍”關系

數(shù)學語言有助于提升學生的敘述性表征能力和邏輯推理能力。學生通過運用自身經(jīng)驗舉例說明“2倍”關系，實現(xiàn)了新舊知識的整合與同化。在這一過程中，他們能夠靈活運用倍數(shù)關系描述不同物體之間的數(shù)量關系，如“有兩堆鉛筆，4支鉛筆是2支鉛筆數(shù)量的2倍”“2塊粉橡皮是1塊白橡皮數(shù)量的2倍”。這不僅有助于監(jiān)測學生的學習成果，還能提升他們運用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界的能力。

任務三：通過折紙活動，找到“8倍”關系

教師先向?qū)W生示范將長方形紙張對折的過程，引導學生觀察紙張對折過程中面積發(fā)生的變化，使學生初步理解“倍”表示部分與整體的關系。隨后，讓學生展開自主探究，自行嘗試將一張長方形紙對折、對折、再對折。通過這樣的三次對折，學生發(fā)現(xiàn)：整個長方形的面積分別是每次對折后小長方形面積的2倍、4倍、8倍。這一發(fā)現(xiàn)打破了學生的線性認知，使他們意識到紙張的對折過程并非簡單的線性變化，而是涉及更復雜的非線性關系。從表征的感覺通道來說，折紙是一種動作表征，能激活學生頭腦中關于倍數(shù)關系的認知，促進他們對這一知識的理解與應用。為此，可以引導學生繼續(xù)對折紙張，讓他們思考接下來會形成怎樣的倍數(shù)關系，由此激發(fā)他們的求知欲和探索精神。

任務四：小組討論“增加了2倍”與“增加為原來的2倍”的意思是否一樣

任務四要求學生學習“倍”的另一種含義，即描述物體數(shù)量變化前后的關系，從而發(fā)展學生的數(shù)學眼光，使學生學會動態(tài)地看待倍數(shù)關系。通過小組討論和辨析，學生體會到小方塊“增加了2倍”與“增加為原來的2倍”這兩種表達方式在意義上的差異。具體來說，“小方塊增加了2倍”形成了新的標量關系。將初始狀態(tài)下小方塊的數(shù)量看作單一量，增加了2倍表明增加的量是單一量的2倍，那么結束狀態(tài)下小方塊的數(shù)量就是原來的3倍。這一變化后與變化前的增量，意義指向標量關系的動態(tài)改變。而意義又源于差異。［8］為此，要讓學生在差異中進一步理解倍數(shù)關系的不同含義。

這四個任務不僅能幫助學生理解“倍”的含義并建構“倍”的意義，還能在整個數(shù)學學習過程中起到承上啟下的作用，喚醒學生的已有經(jīng)驗，為學生后續(xù)學習分數(shù)、比等概念奠定基礎。其中，任務一幫助學生理解不同對象之間的關系，是他們學習比的概念的重要基礎，如寵物店里貓與狗的數(shù)量之比是3∶2、圓周長與直徑之比為π∶1等。而這些比的概念又延伸出重要的數(shù)學推理方法——比例推理。利用比例推理，就能有效解決路程問題、比例尺問題、密度問題以及濃度問題等。［9］任務三著重引導學生理解部分與整體的關系，是建立分數(shù)概念的起點，旨在通過折紙活動，讓學生更直觀地理解分數(shù)的面積模型。此外，分數(shù)還涉及測量的意義。以分數(shù)[38]為例，它表示以分數(shù)[18]為單位長度，數(shù)出這樣的3個單位長度，即3倍的[18]。按照這樣的認識，學生明白了分數(shù)是單位分數(shù)的倍數(shù)，從而拓展了對分數(shù)的認知。任務四旨在引導學生思考如何解釋加法推理和乘法推理的區(qū)別，以幫助學生更好地掌握加法比較和乘法比較之間的異同。綜上所述，這四個任務不僅有助于學生對“倍”概念的理解與掌握，還能為他們后續(xù)的數(shù)學學習打下堅實基礎。

三、“倍”與“倍數(shù)”異同比較

繼學生在低年級學習“倍的認識”之后，教材又在五年級編排了“因數(shù)與倍數(shù)”的學習內(nèi)容。由于學生先前已接觸過“倍”的概念，因此在理解“因數(shù)與倍數(shù)”中的“倍數(shù)”時，他們會遇到一些認知障礙。所謂認知障礙，指的是概念本身所形成的障礙，也可以解釋為錯誤的思維方式。學生的思維方式會影響學生對數(shù)學概念的理解方式，而這種理解方式又會反過來影響學生的思維方式。［10］因此，有必要對“因數(shù)與倍數(shù)”中的“倍數(shù)”與“倍的認識”中的“倍”的異同進行比較，以避免學生混淆這兩個概念。

一方面，兩個概念存在諸多差異。首先，兩者所指的對象不同，“因數(shù)與倍數(shù)”中的“倍數(shù)”指的是用測量單位來測量的對象，而“倍的認識”中的“倍”指的是測量過程中進行的次數(shù)。例如，在看待12這個數(shù)時，12可以看作3個4或4個3，這里的3和4就是12的因數(shù)。同時，12也是3和4的倍數(shù)。因測量需同時具備測量的對象和測量的單位，所以因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的。但在“倍的認識”中，“倍”描述的是測量單位和測量對象所形成的標量關系。［11］即12是3的“4倍”或4的“3倍”。

其次，兩者的使用范圍不同。“倍數(shù)”的使用范圍僅限于正整數(shù)除法且除盡的情況，而“倍”的使用范圍則更廣，不僅包括整數(shù)倍，還包括小數(shù)倍和分數(shù)倍。在人教版教材五年級下冊第二單元中，教材明確了兩個整數(shù)相除后可能出現(xiàn)的兩種情況，并據(jù)此給出了因數(shù)和倍數(shù)的定義：“在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)（或者說余數(shù)為0），我們就說除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)，被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)。”例如，在12÷2=6這種情況下，12是2和6的倍數(shù)，2和6是12的因數(shù)。也可以說12是2的6倍或6的2倍。然而，在9÷5=1……4這種情況下，由于商不為整數(shù)，因此9和5之間并不構成因數(shù)與倍數(shù)的關系。不過，當9÷5=1.8時，說9是5的1.8倍，這種表述依然是符合數(shù)學邏輯的。

最后，兩者所延伸出的概念也不同?！氨稊?shù)”可以進一步延伸出公倍數(shù)、最小公倍數(shù)等概念，而“倍”延伸出的概念則與比的概念緊密相連，如正方形的對角線與邊長之比是[2]∶1。在此基礎上，“比”的學習又為之后中學要學習的斜率、三角函數(shù)、相似等知識打下重要基礎。

另一方面，兩個概念間也存在一些共同點。首先，無論是“倍”還是“倍數(shù)”，它們的形成都離不開測量對象和測量單位。倍數(shù)和因數(shù)相互依存，“倍”連接倍數(shù)與因數(shù)，這兩個概念都不能獨立存在。不能說12是倍數(shù)，必須描述清楚12是3的倍數(shù)或者12是3的4倍。其次，兩者名稱相似，如果不加以區(qū)分，對于沒有學習過“倍數(shù)”概念的學生來說，極可能認為這與“倍”是同一個概念，從而造成認知障礙。最后，算式的呈現(xiàn)方式相同，兩個概念都可以使用除法或乘法算式來表達。比如，描述12是3的倍數(shù)時，可以用除法算式12÷3=4或者乘法算式3×4=12來表達。描述12是3的4倍時，同樣可以用除法算式12÷3=4或者乘法算式3×4=12來表達。

綜上所述，通過對“倍”的課程價值分析、“用‘倍看關系”的學習活動設計以及“倍”與“倍數(shù)”概念的異同比較，可進一步加深學生對“倍”的理解。“倍”不僅連接了觀察對象之間的關系，也發(fā)展了學生單位化的眼光。學生在關系中發(fā)展單位化的眼光，又用單位化的眼光理解關系，滿足了他們用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界、提升自身核心素養(yǎng)的要求。

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（首都師范大學初等教育學院）