周興華　蔡宇清

[摘 要]“倍”是小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)概念，“倍的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課便是學(xué)生認(rèn)識(shí)“倍”的概念的起始課。通過(guò)課堂的觀察和實(shí)踐，我們需要找到教學(xué)中存在的問(wèn)題和學(xué)生學(xué)習(xí)的困難之處，然后施以正確的教法，使學(xué)生真正理解所學(xué)概念，獲得發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]倍 數(shù)學(xué)概念 課堂觀察 思考

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）23-018

“倍”是小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)概念，“倍的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課便是學(xué)生認(rèn)識(shí)“倍”的概念的起始課。作為青年教師，為了更好地教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”一課，我近期收集、整理了一些文獻(xiàn)，通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)資料的梳理，對(duì)此課的教學(xué)再一次進(jìn)行思考。

一、教師眼中的“倍”

從眾多發(fā)表的文章中，可以發(fā)現(xiàn)許多教師把“倍”看成是刻畫(huà)兩個(gè)量之間關(guān)系的一種表達(dá)方式，其數(shù)學(xué)核心思想是用一個(gè)量去刻畫(huà)另一個(gè)量?！氨丁贝碇鴥蓚€(gè)數(shù)量間的比較關(guān)系，它產(chǎn)生的前提和基礎(chǔ)是兩者比較，關(guān)鍵是要把其中一方以另一方為標(biāo)準(zhǔn)，分成相同的幾份?！氨丁笔菍W(xué)生在刻畫(huà)兩個(gè)量之間關(guān)系的時(shí)候，第一次從絕對(duì)數(shù)量的比多少到相對(duì)數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)變，對(duì)學(xué)生即將接觸到的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比，甚至以后的函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，起著至關(guān)重要的作用。也有的教師認(rèn)為“倍”是刻畫(huà)兩個(gè)量之間關(guān)系的眾多表達(dá)方式中的一種，和其他的刻畫(huà)方式屬于同等位置，所以應(yīng)該和眾多的刻畫(huà)方式建立起聯(lián)系，并將“倍”的刻畫(huà)方式準(zhǔn)確地納入到表達(dá)關(guān)系的這一知識(shí)體系當(dāng)中。

從目前的研究現(xiàn)狀來(lái)看，多數(shù)一線教師對(duì)“倍”的理解到了關(guān)系的層面，而北京教育學(xué)院劉加霞老師認(rèn)為“倍”是從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。乘法結(jié)構(gòu)不是指單一的認(rèn)識(shí)乘法，而是一個(gè)概念體系，基本概念是乘法與除法，與之相關(guān)的有倍、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、運(yùn)算律及面積、體積、表面積、速度等概念和定律。這樣看來(lái)，從乘法結(jié)構(gòu)的角度去進(jìn)一步研究“倍”未必不是一個(gè)新的研究方向，我們既可以從乘法結(jié)構(gòu)聚焦到“倍的認(rèn)識(shí)”，也可以從“倍的認(rèn)識(shí)”輻射到乘法結(jié)構(gòu)。

二、教師教學(xué)時(shí)應(yīng)關(guān)注什么

1.學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

美國(guó)著名認(rèn)知心理學(xué)家?jiàn)W蘇泊爾說(shuō)過(guò)：“如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會(huì)說(shuō)，影響學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況去進(jìn)行教學(xué)?！币痪€教師在教學(xué)“倍”的概念時(shí)，能從學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。教材中“倍”的概念是依據(jù)乘除法知識(shí)中“幾個(gè)幾”“份”的概念擴(kuò)展而來(lái)的，通過(guò)兩個(gè)不相等數(shù)量的比較，由“份”引出“倍”，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“倍”的含義，這就是學(xué)生具備的認(rèn)識(shí)“倍”的基礎(chǔ)。針對(duì)“倍”的意義理解，教師教學(xué)中要讓學(xué)生對(duì)乘法意義中的“幾個(gè)幾”與新知“幾倍”形成關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用己有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)，建立新舊概念間的聯(lián)系，從而促進(jìn)知識(shí)的有效遷移。

2.情境教學(xué)

“倍的認(rèn)識(shí)”一課，北師大教科書(shū)以快樂(lè)的動(dòng)物創(chuàng)設(shè)情境，通過(guò)問(wèn)題串一步步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同動(dòng)物的只數(shù)進(jìn)行比較，從而認(rèn)識(shí)“倍”的概念，而人教版教科書(shū)則是讓學(xué)生在用小棒拼擺圖形的過(guò)程中建立“倍”的概念。在實(shí)際教學(xué)中，教師又進(jìn)一步將教材中的情境轉(zhuǎn)換成各種各樣有趣的情境，如有的以猜數(shù)游戲引入，有的利用拍手歌激趣，有的引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)手?jǐn)[不同顏色的圖片中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，有的讓學(xué)生比較不同事物的數(shù)量關(guān)系或比較物體的長(zhǎng)度關(guān)系，有的創(chuàng)設(shè)挑戰(zhàn)三個(gè)卡通人物帶來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的情境……無(wú)論創(chuàng)設(shè)什么樣的情境，目的都是讓學(xué)生在感興趣的情境中，獲得積極的情感體驗(yàn)，使他們感受到數(shù)學(xué)魅力的同時(shí)，掌握“倍”的概念。

3.從關(guān)系入手理解“倍”的意義

前面提到，多數(shù)教師把“倍”看成是刻畫(huà)兩個(gè)量之間關(guān)系的一種表達(dá)方式，因此教師往往從研究關(guān)系入手，引導(dǎo)學(xué)生理解“倍”的意義。如北京海淀區(qū)教研室的郭麗軍老師教學(xué)時(shí)先出示3個(gè)紅圓片、3個(gè)黃圓片，問(wèn)學(xué)生兩種圓片的數(shù)量有怎樣的關(guān)系，然后增加3個(gè)黃圓片，再讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)3個(gè)紅圓片和6個(gè)黃圓片間又有怎樣的關(guān)系。學(xué)生會(huì)最先發(fā)現(xiàn)多少的關(guān)系，然后郭老師慢慢引導(dǎo)學(xué)生從多少的關(guān)系過(guò)渡到倍的關(guān)系，也就是讓學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)從加法結(jié)構(gòu)上升到乘法結(jié)構(gòu)。

4.利用畫(huà)圖表征，促進(jìn)“倍”的理解

教師教學(xué)時(shí)一般先通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、比一比等操作活動(dòng)，引發(fā)、激活學(xué)生頭腦中的原有認(rèn)知并使之外顯出來(lái)，然后讓學(xué)生進(jìn)行討論和交流，引導(dǎo)他們從“幾個(gè)幾”的角度初步認(rèn)識(shí)“倍”的含義。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：“概念形成其實(shí)可以概括為兩個(gè)階段，即從完整表象上升為抽象概念，實(shí)現(xiàn)抽象概念在思維過(guò)程中的具體再現(xiàn)?！边@里，形成完整表象是最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。然而，由于低年級(jí)學(xué)生表達(dá)能力欠缺，所以讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖表征來(lái)表達(dá)出自己構(gòu)建的概念表象就顯得尤為重要。畫(huà)圖表征在實(shí)物操作與抽象思維之間架起了相互溝通的橋梁，讓學(xué)生在圈一圈、畫(huà)一畫(huà)等活動(dòng)中初步建立“倍”的表象，有利于學(xué)生有效表達(dá)自己構(gòu)建的概念表象。

5.在不斷對(duì)比與抽象中，逐步理解“倍”的意義

烏申斯基說(shuō)過(guò)：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)，我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切的?！痹趯W(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作等手段初步認(rèn)識(shí)“倍”后，如何讓學(xué)生進(jìn)一步理解“倍”的概念呢？這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生在不斷對(duì)比與抽象中，舍棄“倍”的各種非本質(zhì)特征，在變化中抓住“不變”，而這“不變”就是“倍”的本質(zhì)。許多教師在教學(xué)中會(huì)設(shè)計(jì)多個(gè)比較的環(huán)節(jié)，如“一份數(shù)不變，幾份數(shù)在變，倍數(shù)也隨之變化”“一份數(shù)在變，幾份數(shù)也在變，倍數(shù)卻不變”等，通過(guò)比較引導(dǎo)學(xué)生逐步明晰和把握概念的本質(zhì)，使他們的認(rèn)知和理解不斷深入。

三、教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”的新思考

雖然學(xué)生能夠說(shuō)出誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍，也能借助乘法進(jìn)行計(jì)算，但這并不表示學(xué)生真正認(rèn)識(shí)、理解了“倍”，在運(yùn)用“倍”解決問(wèn)題時(shí)仍然會(huì)出現(xiàn)各種各樣的困難。這首先是因?yàn)閷W(xué)生受自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的影響，即從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要發(fā)生一定程度“質(zhì)”的變化?！氨丁钡膶W(xué)習(xí)是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生質(zhì)的變化的第一次機(jī)會(huì)，因?yàn)閷W(xué)生學(xué)習(xí)“倍”要經(jīng)歷從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，所以認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大困難。其次是因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)本身的難度?！氨丁辈皇菃我坏某朔ńY(jié)構(gòu)，它是乘法意義的拓展與延伸，但同時(shí)也包含對(duì)除法意義的理解，這無(wú)疑會(huì)對(duì)初次理解“倍”的概念的學(xué)生造成一定的困難。

我校最近開(kāi)展了“課堂觀察”研究活動(dòng)，通過(guò)對(duì)教師和學(xué)生的細(xì)致觀察，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)“倍”的過(guò)程中還有以下三個(gè)問(wèn)題。

1.對(duì)“關(guān)系”不理解

“關(guān)系”一詞，在現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典中的解釋是事物之間相互作用影響的狀態(tài)。我們?cè)谌粘Ｉ钪袝?huì)經(jīng)常用到這個(gè)詞，感覺(jué)理解起來(lái)很簡(jiǎn)單，但學(xué)生對(duì)于用在數(shù)學(xué)背景中的“關(guān)系”一詞并不是很理解，大多數(shù)學(xué)生聽(tīng)到老師提出“它們之間有什么關(guān)系”的問(wèn)題時(shí)，出現(xiàn)聽(tīng)不懂的現(xiàn)象。所以，這時(shí)教師不妨停一停，可以舉個(gè)例子來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明，這樣才能使學(xué)生更好地繼續(xù)下面的學(xué)習(xí)。

2.理解“倍”的概念不能只通過(guò)觀察

通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)的梳理，我發(fā)現(xiàn)許多一線教師都是讓學(xué)生直接觀察靜止的事物來(lái)尋找數(shù)量之間的關(guān)系，如觀察黑板上擺好的教具或畫(huà)好的簡(jiǎn)單圖形等。當(dāng)教師在黑板上擺出6個(gè)紅色圓片和3個(gè)白色圓片時(shí)，學(xué)生會(huì)很快說(shuō)出6比3多3或者3比6少3，但很難會(huì)想到6里面有2個(gè)3或者6是3的2倍，這也恰恰說(shuō)明了兒童的認(rèn)知從加法結(jié)構(gòu)上升到乘法結(jié)構(gòu)是十分困難的。那么，怎樣才能讓學(xué)生的認(rèn)知自然過(guò)渡呢？通過(guò)嘗試，我發(fā)現(xiàn)動(dòng)手操作是一個(gè)可行的辦法。課前為學(xué)生準(zhǔn)備可以擺動(dòng)的學(xué)具，如最簡(jiǎn)單的小圓紙片等，這樣學(xué)生在擺一擺學(xué)具的過(guò)程中會(huì)自然地產(chǎn)生分堆的想法（如下圖），如把3個(gè)白色圓紙片擺成一堆、把6個(gè)紅色小圓紙片擺成兩堆等，這里的“一堆”就是“1份”或者叫做“1倍量”。這樣教學(xué)，使學(xué)生更自然地想到6里面有2個(gè)3，這就是學(xué)生腦子中最初的“倍”。

許多教師為了讓學(xué)生更好地理解“倍”，看清數(shù)量之間的關(guān)系，常常會(huì)采用圈一圈的辦法。其中，還有一些教師一上課就讓學(xué)生去圈一圈，然后直接引出“倍”的概念。我認(rèn)為這樣教學(xué)節(jié)奏過(guò)快，因?yàn)椤氨丁钡恼J(rèn)識(shí)需要一個(gè)過(guò)程。這里，教師不妨放慢腳步，在學(xué)生初步建立“倍”的概念后，引導(dǎo)他們動(dòng)手?jǐn)[一擺。其實(shí)，擺出的“1堆”和圈出的“1份”能達(dá)到異曲同工之妙，而動(dòng)手?jǐn)[一擺會(huì)讓學(xué)生對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)更加深刻。

3.難于表達(dá)“倍”

學(xué)生能夠說(shuō)出誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍，也能借助乘法進(jìn)行計(jì)算，但在表達(dá)時(shí)仍然會(huì)出現(xiàn)許多困難?！氨兜恼J(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)，要求學(xué)生能夠理解“倍”的含義并學(xué)會(huì)表達(dá)“倍”。在表達(dá)“倍”時(shí)，教師不要急于給學(xué)生出示標(biāo)準(zhǔn)的表達(dá)形式，而是要等待學(xué)生先形成自己的表達(dá)方式。根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的理解能力優(yōu)于他們自身的表達(dá)能力，所以學(xué)生表達(dá)不清楚是正常的。因此，在學(xué)生表達(dá)對(duì)“倍”的理解的時(shí)候，教師可以嘗試用畫(huà)圖的方式，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行表達(dá)，以加深他們對(duì)“倍”的理解。

總之，“倍的認(rèn)識(shí)”一課不是一節(jié)新課，但是作為青年教師，我們需要有把它看成一節(jié)新課去研究的態(tài)度，更需要不斷去思考、去研究、去創(chuàng)新，以使學(xué)生真正理解所學(xué)知識(shí)，在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 高麗杰，從“形”到“數(shù)”，在不斷對(duì)比與抽象中認(rèn)識(shí)“倍”[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2010（1）.

[2] 劉加霞.從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)：“倍”是轉(zhuǎn)折點(diǎn)——評(píng)析高麗杰老師的“倍的初步認(rèn)識(shí)”[J].小學(xué)教學(xué)，2010（7-8）.

[3] 顧曉東.基于已有經(jīng)驗(yàn)的意義關(guān)聯(lián)——“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)反思與改進(jìn)[J].小學(xué)教學(xué)參考，2014（1）.

（責(zé)編 杜 華）