呂立峰

【摘?? 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，核心素養(yǎng)具有整體性和一致性。聚焦到“數(shù)與運(yùn)算”主題，如整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的教學(xué)，即不僅要強(qiáng)調(diào)“意義和關(guān)系的一致性”，更要注重“算理和算法的一致性”。教師聚焦“計(jì)數(shù)單位”這個(gè)核心概念，運(yùn)用實(shí)例，并輔以推理，闡釋了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等的運(yùn)算一致性的數(shù)學(xué)原理和學(xué)習(xí)路徑，提出了“掌握加減運(yùn)算的一致性是讓學(xué)生經(jīng)歷相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)的加減運(yùn)算；感悟乘法運(yùn)算的一致性是讓學(xué)生經(jīng)歷因數(shù)相乘產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位的過(guò)程；理解除法運(yùn)算的一致性是讓學(xué)生經(jīng)歷高級(jí)計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分的過(guò)程”這樣三個(gè)基本觀點(diǎn)和具體操作策略。

【關(guān)鍵詞】計(jì)數(shù)單位；四則運(yùn)算；運(yùn)算的一致性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022年版課標(biāo)”）指出，核心素養(yǎng)具有整體性和一致性。聚焦到“數(shù)與運(yùn)算”主題，如整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的教學(xué)，即不僅要強(qiáng)調(diào)“意義和關(guān)系的一致性”，更要注重“算理和算法的一致性”。其中，前者在各版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)及配套的教材中均有所體現(xiàn)，只不過(guò)直到2022年版課標(biāo)頒布才首次明確并重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)。后者則是2022年版課標(biāo)提出的一種全新的關(guān)系稱謂，要求教師在課堂實(shí)踐中進(jìn)行更加深入的探索。

那么，在一致性視角下，如何對(duì)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算教學(xué)進(jìn)行整體設(shè)計(jì)呢？從數(shù)理邏輯的角度出發(fā)，“計(jì)數(shù)單位”是貫穿四則運(yùn)算一致性的核心概念。然而，在不同運(yùn)算的教學(xué)中，“計(jì)數(shù)單位”所發(fā)揮的功能和作用也各不相同。因此，在實(shí)際課堂教學(xué)中，教師需要靈活調(diào)整“計(jì)數(shù)單位”的應(yīng)用視角，確保教學(xué)的深入與全面。

一、掌握加減運(yùn)算的一致性：經(jīng)歷相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)的加減運(yùn)算

要使學(xué)生感悟到整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算的一致性，關(guān)鍵在于引導(dǎo)他們經(jīng)歷相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)的加減運(yùn)算過(guò)程。在加減運(yùn)算中，學(xué)生最先學(xué)習(xí)整數(shù)加減法，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)小數(shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法。按照這一學(xué)習(xí)順序，學(xué)生很容易就能明白小數(shù)加減法的計(jì)算法則，本質(zhì)上就是在執(zhí)行相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)的加減運(yùn)算。然而，理解分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算法則卻并不容易。分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算法則強(qiáng)調(diào)“同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，只把分子相加減；異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行計(jì)算”。從字面上來(lái)看，這與整數(shù)、小數(shù)加減法的計(jì)算法則存在顯著差異。為了突破這一難點(diǎn)，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，建立分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)各類加減運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。

【教學(xué)片段1】“整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算”教學(xué)

1.學(xué)生完成習(xí)題，提供研究素材（如表1）。

2.教師啟發(fā)引導(dǎo)，溝通運(yùn)算算理。

師：整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算有什么相同點(diǎn)？

生：整數(shù)、小數(shù)加減運(yùn)算時(shí)，都要把相同數(shù)位對(duì)齊，也就是讓相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)進(jìn)行加減。

師：這個(gè)規(guī)則在分?jǐn)?shù)加減法中也適用嗎？

生：不可以，分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算法則和整數(shù)、小數(shù)加減法的不同。

師：分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算法則強(qiáng)調(diào)“異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行計(jì)算”。這樣的規(guī)定是基于什么原因呢？

生：這是因?yàn)楫惙帜阜謹(jǐn)?shù)只有轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，它們的分?jǐn)?shù)單位才能統(tǒng)一。

師：你能舉例說(shuō)明嗎？

生：比如[34-23]，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的單位不同，不能直接相減。只有將它們通分成[912]和[812]后，才能直接相減。這時(shí)，它們的分母都是12，分?jǐn)?shù)單位相同。

師：數(shù)學(xué)上，“分?jǐn)?shù)單位”是“分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位”的簡(jiǎn)稱，所以“通分”的過(guò)程實(shí)際上就是統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位的過(guò)程。

生：我明白了！原來(lái)分?jǐn)?shù)加減法和整數(shù)、小數(shù)加減法一樣，都是將相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)進(jìn)行加減。

經(jīng)過(guò)對(duì)上述教學(xué)片段的觀察分析，可以確認(rèn)學(xué)生的表現(xiàn)與課前預(yù)測(cè)相符。在面對(duì)整數(shù)和小數(shù)加減法時(shí)，學(xué)生能夠準(zhǔn)確地識(shí)別出它們的共同點(diǎn)。然而，當(dāng)涉及分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生一定的困惑，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法在計(jì)算法則的表述上存在顯著差異。為了幫助學(xué)生理解這一問(wèn)題，教師在課堂上要利用有效的追問(wèn)，清晰地向?qū)W生解釋把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行加減的原因，即實(shí)現(xiàn)計(jì)數(shù)單位的統(tǒng)一。計(jì)數(shù)單位統(tǒng)一之后，計(jì)算過(guò)程就會(huì)簡(jiǎn)化為“分子相加減”，也就是求相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。通過(guò)這樣的教學(xué)過(guò)程，教師成功地建立了分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生深刻感悟到加減法運(yùn)算的一致性。

二、感悟乘法運(yùn)算的一致性：經(jīng)歷因數(shù)相乘產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位的過(guò)程

要使學(xué)生感悟到整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算內(nèi)在的一致性，關(guān)鍵在于引導(dǎo)他們經(jīng)歷因數(shù)相乘產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位的過(guò)程。“產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位”從表述上來(lái)說(shuō)可能較為新穎，但它在實(shí)際教學(xué)中的運(yùn)用并不少見。比如，小數(shù)乘法的計(jì)算法則中提到“看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)”，其中“點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)”的過(guò)程就是產(chǎn)生“新的計(jì)數(shù)單位”的過(guò)程。分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則中也提到“用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母”，其中“用分母相乘的積作分母”的過(guò)程也是產(chǎn)生“新的計(jì)數(shù)單位”的過(guò)程。那么，在一致性視角下，乘法運(yùn)算教學(xué)應(yīng)如何讓學(xué)生體會(huì)到因數(shù)相乘會(huì)產(chǎn)生“新的計(jì)數(shù)單位”呢？

【教學(xué)片段2】“小數(shù)乘小數(shù)運(yùn)算”教學(xué)

1.教師出示例題，讓學(xué)生筆算0.8×0.3。

2.展示算法，聚焦重點(diǎn)。學(xué)生展示多種算法（略），重點(diǎn)研究列豎式解答的方法（如圖1）。

圖1 0.8×0.3的豎式解答過(guò)程

師：請(qǐng)大家想一想，為什么要把24縮小到原來(lái)的[1100]才是正確的積？

生：兩個(gè)因數(shù)0.8和0.3分別擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，它們的積就會(huì)擴(kuò)大到原來(lái)的100倍。根據(jù)積的變化規(guī)律，只有把24縮小到原來(lái)的[1100]，才能得到正確的積。

生：可以通過(guò)畫圖來(lái)說(shuō)明。如圖（a）所示，把正方形看作單位“1”，并在其中用陰影分別表示0.8和0.3。相當(dāng)于把單位“1”平均分成100份，每份是0.01。而兩個(gè)陰影的重疊部分正好占其中的24份，也就是有24個(gè)0.01，即0.24。

師：這位同學(xué)的意思是，0.8表示8個(gè)0.1，0.3表示3個(gè)0.1，“0.8×0.3”的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位0.01。這個(gè)新的計(jì)數(shù)單位是由兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘得到的，即0.1×0.1=0.01。而把“0.8×0.3”看成“8×3”計(jì)算出的“24”，就表示新計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

［教師邊解釋算理，邊把學(xué)生的圖式補(bǔ)充完整，如圖2（b）所示］

3.歸納算法，理解本質(zhì)。

師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，我們知道了小數(shù)乘法的計(jì)算法則是“先把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法計(jì)算，再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)”?，F(xiàn)在，你們明白這個(gè)法則的意思了嗎？

生：計(jì)算法則中，“把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法計(jì)算”得到的積就是“新計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)”，“看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)”能確定積的計(jì)數(shù)單位，而積的計(jì)數(shù)單位就是“兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘之后產(chǎn)生的新計(jì)數(shù)單位”。

【教學(xué)片段3】“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)運(yùn)算”教學(xué)

1.教師出示例題，要求學(xué)生筆算[45×23] 。

2.展示算法，聚焦重點(diǎn)。學(xué)生展示多種算法（略），重點(diǎn)研究用畫圖求積的方法，如圖3（a）所示。

師：大家能看懂這位同學(xué)的方法嗎？

生：他把正方形看作單位“1”，然后用陰影分別表示[45]和 [23]。相當(dāng)于把單位“1”平均分成15份，每份是[115]。兩個(gè)陰影的重疊部分正好占其中的8份，也就是有8個(gè)[115]，即[815]。

師：這位同學(xué)的意思是，[45]表示4個(gè)[15]，[23]表示2個(gè)[13]，“[45×23]”的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的分?jǐn)?shù)單位[115]，也稱新的計(jì)數(shù)單位。這個(gè)新的計(jì)數(shù)單位是由兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘得到的，即[15×13＝13×5＝115]；新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)就是分子相乘的積，即“4×2=8”；8個(gè)[115]就是[815]。

［教師邊解釋算理，邊把學(xué)生的圖式補(bǔ)充完整，如圖3（b）所示］

3.揭示本質(zhì)，歸納算法。

師：剛才的思考過(guò)程可以用怎樣的算式記錄呢？

生：我認(rèn)為，黑板上“[45×23＝4×25×3＝815]”這個(gè)算式正好記錄了剛才的思考過(guò)程。因?yàn)閮蓚€(gè)因數(shù)的分母“5”和“3”相乘的積正好可以表示新的計(jì)數(shù)單位，分子“4”和“2”相乘的積正好就是新計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

師：那么，你們認(rèn)為分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則是什么呢？

生：用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母。

【教學(xué)片段4】“乘法運(yùn)算的復(fù)習(xí)和整理”教學(xué)

1.教師整體呈現(xiàn)三類乘法算式。

]

2.圍繞核心問(wèn)題展開討論：小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算與整數(shù)乘法運(yùn)算之間有什么關(guān)聯(lián)？

3.經(jīng)過(guò)師生間的深入交流與討論，達(dá)成共識(shí)：小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算都會(huì)產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位。若能夠確定這個(gè)新計(jì)數(shù)單位，便能將小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法進(jìn)行計(jì)算。

4.利用學(xué)習(xí)材料深入解析：比如0.2×0.4，兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位都是0.1，它們相乘就會(huì)產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位0.01。又如[45×23]，兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位分別是[15]和[13]，它們相乘也會(huì)產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位[115]。一旦確定了積的計(jì)數(shù)單位，這兩道題就能夠轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法“2×4”。教師根據(jù)學(xué)生的回答適時(shí)進(jìn)行板書，如圖4所示。

圖4 乘法運(yùn)算部分板書

上述三個(gè)教學(xué)片段構(gòu)成了一個(gè)整體，呈現(xiàn)了乘法運(yùn)算兩個(gè)階段的教學(xué)重點(diǎn)。第一個(gè)階段聚焦于“小數(shù)乘小數(shù)”和“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的運(yùn)算教學(xué)，主要通過(guò)數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生經(jīng)歷兩個(gè)因數(shù)相乘產(chǎn)生新計(jì)數(shù)單位的全過(guò)程。這兩節(jié)課基本采用相同的教學(xué)思路，再輔以可視化的學(xué)習(xí)材料，使學(xué)生感悟到小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的內(nèi)在一致性。第二個(gè)階段則是“乘法運(yùn)算的復(fù)習(xí)和整理”，一方面通過(guò)對(duì)比和概括揭示了小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的一致性，另一方面通過(guò)建立小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法與整數(shù)乘法的聯(lián)系，消除了三者之間的隔閡，構(gòu)建起乘法運(yùn)算一致性的結(jié)構(gòu)。

三、理解除法運(yùn)算的一致性：經(jīng)歷高級(jí)計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分的過(guò)程

要使學(xué)生感悟到整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的內(nèi)在一致性，關(guān)鍵在于引導(dǎo)他們完整地經(jīng)歷高級(jí)計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，有三個(gè)關(guān)鍵的教學(xué)節(jié)點(diǎn)需特別關(guān)注。

第一個(gè)教學(xué)節(jié)點(diǎn)是“兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法，首位不能整除的情況”，意在初步啟發(fā)學(xué)生對(duì)高級(jí)計(jì)數(shù)單位細(xì)分方法的認(rèn)識(shí)?，F(xiàn)有教材在編寫意圖上已充分體現(xiàn)了這一點(diǎn)。如圖5所示，人教版教材利用小棒直觀輔助教學(xué)，使學(xué)生能夠清晰地觀察到“1個(gè)十”細(xì)分為“10個(gè)一”的過(guò)程。根據(jù)課堂觀察，一線教師在此方面的執(zhí)行力度值得肯定。

圖5 人教版教材“筆算除法”

第二個(gè)教學(xué)節(jié)點(diǎn)是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”，要求學(xué)生對(duì)高級(jí)計(jì)數(shù)單位細(xì)分的過(guò)程有更深的理解。然而，在當(dāng)前教學(xué)實(shí)踐中，許多教師傾向于直接傳授計(jì)算法則，即“除得的商有余數(shù)時(shí)，在余數(shù)末尾添0繼續(xù)除”，而忽視了計(jì)算法則背后的原理。

第三個(gè)教學(xué)節(jié)點(diǎn)是“異分母分?jǐn)?shù)除法”，是對(duì)高級(jí)計(jì)數(shù)單位細(xì)分的拓展與深化。在這一環(huán)節(jié)，教師的做法與前述環(huán)節(jié)類似，多側(cè)重計(jì)算法則的傳授，即“除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，而指向算理的教學(xué)目標(biāo)則基本被淡化。那么，在一致性視角下，小數(shù)和分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)應(yīng)如何讓學(xué)生經(jīng)歷高級(jí)計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分的全過(guò)程呢？

【教學(xué)片段5】“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法運(yùn)算”教學(xué)

1.學(xué)生試做：86÷4（豎式中的前兩次試商如圖6所示）。

圖6 86÷4的試商過(guò)程

2.難點(diǎn)揭示：在圖6所示算式中，余數(shù)2不夠除4怎么辦？

3.策略思考：為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以在余數(shù)2的后面添“0”，繼續(xù)進(jìn)行除法運(yùn)算。

4.明晰算理：余數(shù)2表示2個(gè)一。在其后面添加1個(gè)“0”，可以將2個(gè)“一”看作20個(gè)“0.1”。用20個(gè)0.1除以4，商是5個(gè)0.1，即0.5。為了正確表述結(jié)果，需要在21的后面點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，再寫5。

5.圖式表征：如圖7所示，通過(guò)畫圖解釋整個(gè)計(jì)算過(guò)程。

圖7 “86÷4”算理表征過(guò)程

6.教師總結(jié)提煉：在余數(shù)2后面添加1個(gè)“0”，表示將2個(gè)一轉(zhuǎn)化成20個(gè)0.1，也就是把計(jì)數(shù)單位“一”細(xì)分成10個(gè)“0.1”。這種將“高級(jí)計(jì)數(shù)單位”細(xì)分成“低級(jí)計(jì)數(shù)單位”的做法，確保了小數(shù)除法運(yùn)算的順利進(jìn)行。這與整數(shù)除法具有一致性。

【教學(xué)片段6】“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)運(yùn)算”教學(xué)

1.學(xué)生嘗試解答：[78÷35]。

2.理解多種算法。

3.解讀關(guān)鍵算法③：[78÷35=3540÷2440=35÷24=3524]。

師：用方法③解答的同學(xué)是怎么思考的呢？

生：由于[78]和[35]的分母不同，所以可以先通分，把[78÷35]轉(zhuǎn)化為“[3540÷2440]”，這就相當(dāng)于求“35個(gè)[140]是24個(gè)[140]的幾倍”，通過(guò)計(jì)算35÷24得出商。

師：你能把這個(gè)過(guò)程用畫圖的方式表達(dá)清楚嗎？

（師生合作，共同完成算理表征過(guò)程，如圖8所示）

圖8 “算法③”算理表征過(guò)程

4.師生共同提煉算理：對(duì)于異分母分?jǐn)?shù)的除法，可以先通分，將它們轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)再相除。在這一過(guò)程中，對(duì)被除數(shù)和除數(shù)的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行細(xì)分是關(guān)鍵。當(dāng)它們的計(jì)數(shù)單位相同時(shí)，分子相除的結(jié)果即為異分母分?jǐn)?shù)相除的商。

5.與算法相溝通：上述過(guò)程可以表示為等式：[78÷35=7×540÷3×840=7×5×140÷3×8×140=7×5÷3×8=7×58×3＝78×53＝3524]。由此，得出分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，就等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

【教學(xué)片段7】“除法運(yùn)算的復(fù)習(xí)和整理”教學(xué)

1.整體呈現(xiàn)三類除法算式。

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2.歸納算式的共性，理解運(yùn)算的一致性。

教師提問(wèn)：“整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)三類除法運(yùn)算有哪些共同之處？”

師生共同歸納：這三類除法運(yùn)算在本質(zhì)上是一致的。它們都涉及“高級(jí)計(jì)數(shù)單位的細(xì)分”過(guò)程，依靠計(jì)數(shù)單位的不斷細(xì)分逐步推進(jìn)。比如：在整數(shù)除法52÷2中，將余數(shù)1個(gè)“十”細(xì)分成10個(gè)“一”；在小數(shù)除法86÷4中，將余數(shù)2個(gè)“一”細(xì)分成20個(gè)“0.1”；在分?jǐn)?shù)除法[78÷35]中，將7個(gè)“[18]”和3個(gè)“[15]”細(xì)分成35個(gè)“[140]”和24個(gè)“[140]”。教師根據(jù)學(xué)生的回答隨機(jī)板書，如圖9所示。

圖9 三類除法計(jì)算題“細(xì)分計(jì)數(shù)單位”

上述三個(gè)教學(xué)片段構(gòu)成了一個(gè)逐步深入的整體。在“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法運(yùn)算”的教學(xué)中，教師通過(guò)分小棒的直觀演示，讓學(xué)生看到計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分后，兩數(shù)相除的商既可以用整數(shù)表示，也可以用小數(shù)表示。在“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)運(yùn)算”的教學(xué)中，教師同樣借助形的直觀，讓學(xué)生看到從計(jì)數(shù)單位細(xì)分的角度出發(fā)，可以解釋分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則。在“除法運(yùn)算的復(fù)習(xí)和整理”的教學(xué)中，則通過(guò)對(duì)三類除法計(jì)算題共性的歸納，讓學(xué)生理解計(jì)數(shù)單位細(xì)分是推進(jìn)除法運(yùn)算的關(guān)鍵，從而構(gòu)建除法運(yùn)算一致性的結(jié)構(gòu)。

通過(guò)教學(xué)實(shí)踐不難發(fā)現(xiàn)，“計(jì)數(shù)單位”在打通四則運(yùn)算一致性的過(guò)程中確實(shí)起到了至關(guān)重要的作用。為了進(jìn)一步聚焦這一核心概念，需要對(duì)它及其相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行深入探討。

第一，如何使學(xué)生深刻理解“計(jì)數(shù)單位”這一概念？“計(jì)數(shù)單位”是計(jì)算教學(xué)的核心概念，學(xué)生對(duì)它的理解程度將直接影響后續(xù)學(xué)習(xí)的效果。事實(shí)上，對(duì)計(jì)數(shù)單位的理解與“數(shù)概念一致性”的教學(xué)是密切相關(guān)的。例如，“3表示3個(gè)一，0.3表示3個(gè)0.1，[34]表示3個(gè)[14]”等，就是從計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)這個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的一致性的表現(xiàn)。因此，夯實(shí)“數(shù)概念一致性”的教學(xué)，可以幫助學(xué)生深刻理解“計(jì)數(shù)單位”這一概念，進(jìn)而為感悟四則運(yùn)算的一致性提供保證。

第二，用“計(jì)數(shù)單位”打通四則運(yùn)算一致性的本原是什么？在回答這個(gè)問(wèn)題前，可以先回顧一下四則運(yùn)算一致性的具體表現(xiàn)：只要找到了相同的計(jì)數(shù)單位，小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算就可以將相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加減的過(guò)程轉(zhuǎn)化為一道整數(shù)加減法計(jì)算題；只要知道了因數(shù)相乘所產(chǎn)生的新計(jì)數(shù)單位，小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算就可以將求新計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的過(guò)程轉(zhuǎn)化為一道整數(shù)乘法計(jì)算題；只要掌握了高級(jí)計(jì)數(shù)單位細(xì)分的方法，小數(shù)和分?jǐn)?shù)的除法運(yùn)算就可以將求商的過(guò)程轉(zhuǎn)化為一道整數(shù)除法計(jì)算題。由此可見，“轉(zhuǎn)化”是用“計(jì)數(shù)單位”打通四則運(yùn)算一致性的數(shù)學(xué)本原。

綜上所述，“計(jì)數(shù)單位”在感悟整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算一致性的過(guò)程中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。在“數(shù)概念一致性”的教學(xué)中，應(yīng)突出“計(jì)數(shù)單位”的核心地位，加深學(xué)生對(duì)這一概念的理解。在“數(shù)運(yùn)算一致性”的教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)以“計(jì)數(shù)單位”為內(nèi)核，消除整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算之間的隔閡，強(qiáng)調(diào)“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。

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（浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)教育發(fā)展研究中心）