摘要：對于大學(xué)數(shù)學(xué)而言，提高教師的授課水平，培養(yǎng)學(xué)生的理性數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力，是當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的。本文通過對高等數(shù)學(xué)中比較典型的概念和案例等知識點分析探討，列舉出教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生舉一反三能力的方法。通過這些方法，教師要做到引導(dǎo)學(xué)生主動思考，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會對所學(xué)知識點遷移類推，從多角度分析問題，最終做到觸類旁通、舉一反三。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；教學(xué)；舉一反三

A?brief?discussion?on?cultivating?students'?ability?to?draw?inferences?from?one?case?in?the?teaching?of?higher?mathematics

Dong?Lihua

School?of?Physical?and?Mathematical?Science，?Nanjing?Tech?University，?JiangSuNanJing?211816

Abstract：?For?university?mathematics，?improving?the?teaching?level?of?teachers?and?cultivating?students'?rational?mathematical?thinking?and?innovation?ability?are?the?teaching?purposes?of?current?university?mathematics.?Through?the?analysis?and?discussion?of?typical?concepts?and?cases?in?higher?mathematics，?this?paper?lists?the?methods?for?teachers?to?cultivate?students'?ability?to?draw?inferences?from?one?case?to?another?in?the?teaching?of?higher?mathematics.?Through?these?methods，?teachers?should?guide?students?to?think?actively，?train?students?to?learn?to?transfer?analogies?to?the?knowledge?points?they?have?learned，?analyze?problems?from?multiple?angles，?and?finally?achieve?bypassing?and?drawing?inferences?from?one?example.

Keywords：?Higher?mathematics;?Teaching;?Draw?inferences

在教育部印發(fā)的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》明確指出對于理學(xué)和工學(xué)類專業(yè)課程，教師要在課程教學(xué)中提高學(xué)生正確認識問題、分析問題和解決問題的能力，平時要注重培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感，激發(fā)學(xué)生科技報國的家國情懷和使命擔(dān)當(dāng)。高等數(shù)學(xué)是高等院校理學(xué)和工學(xué)類相關(guān)專業(yè)的學(xué)生進行專業(yè)學(xué)習(xí)和研究的一門重要基礎(chǔ)理論課，它為學(xué)生提供了一種通用的思維方式，幫助他們學(xué)習(xí)和理解抽象的概念和復(fù)雜的系統(tǒng)，也潛移默化影響著學(xué)生的價值觀、人生觀和世界觀。對于教師而言，要牢牢抓住育人的主陣地即課堂教學(xué)，要在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，這樣不僅可以讓學(xué)生對該課程的知識點掌握的更快，理解的更深入，學(xué)得更輕松，還可以讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)獨特的理性思辨精神?！墩撜Z》：“舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也”。舉一反三是指從一件事物的情況、道理類推而知道許多事物的情況、道理。形容善于類推，能由此及彼。高等數(shù)學(xué)的舉一反三是從常見的舉措和想法入手，提煉想法背后的原理，并依此類推，尋找解決問題的替代方案或從不同角度探索更多的可能性。它不僅能夠提高學(xué)習(xí)效率和思維能力，而且可以提高解決學(xué)習(xí)和生活中問題的能力。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生“舉一反三”，是需要教師花時間下功夫?qū)Ｑ械?。接下來說明教師應(yīng)該如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力。

對于高等數(shù)學(xué)的所有知識點，教師首先必須了解并且知道相關(guān)定義和定理的來龍去脈即背后的原理。要培養(yǎng)學(xué)生的舉一反三的能力，教師本身自己得學(xué)會舉一反三。舉一，是要做到對高等數(shù)學(xué)這門課透徹理解，明白所有相關(guān)知識的來龍去脈，然后再清晰地傳授給學(xué)生，這是“反三”的基。比如一元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)和可微之間的關(guān)系以及二元函數(shù)這三者之間的關(guān)，教師必須對每個概念熟悉掌握，清楚理解它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，詳細比較一元函數(shù)和二元函數(shù)的微分學(xué)的相似和不同之處。只有教師吃透教材，深刻理解知識點，才能清楚的傳授給學(xué)生。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師首先不能機械的灌輸?shù)闹R，比如具體講授解題步驟時要著重介紹該題解法的原因，讓學(xué)生知其然也知其所以然。教師要多要求學(xué)生多問幾個為什么，不能只記住答案就行，要學(xué)會厘清思考問題，尋找答案背后的原理。其次，對于高等數(shù)學(xué)中相關(guān)知識的要點，教師也需要時刻點撥學(xué)生。要讓學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識要點的定義和概念了解清楚不能只知道大概，只有基礎(chǔ)知識牢固才能提高對問題的辨析能力，從而做到舉一反三。下面舉例說明。

案例1?證明?.

對于這個極限的證明，是利用無窮小和正弦函數(shù)的有界性得到，即無窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小。這個極限的證明或者類似極限是在高等數(shù)學(xué)內(nèi)容中經(jīng)常碰到，學(xué)生證錯的概率大。很多學(xué)生證得答案是1是錯誤地利用下面這個重要極限，即

=1.

這個重要極限是在高等數(shù)學(xué)極限章節(jié)非常重要的，因此教師在教學(xué)的過程中應(yīng)該把該極限證明過程詳細地解釋并且講解的過程中要引導(dǎo)學(xué)生主動對該問題進行引伸，比如探索當(dāng)變量??趨向于無窮大該極限的存在性等。這樣就可以避免學(xué)生只會記住結(jié)論而不會巧妙利用該結(jié)論去解決問題。

案例2?設(shè)函數(shù)??在區(qū)間??上可導(dǎo)，且?，?證明：對任意的?，?總存在?a，b），?使得

解?令?，??由已知條件，可得到??因為?，?由導(dǎo)數(shù)零點定理，存在?，?使得?，?即

該題稱為導(dǎo)數(shù)介值定理，它的證明方法本質(zhì)上是導(dǎo)數(shù)零點定理。在這里，需要注意的是連續(xù)函數(shù)的介值定理不適用，因為一階導(dǎo)數(shù)沒有假定連續(xù)。從而教學(xué)的過程中，教師應(yīng)讓學(xué)生明白每個定理使用的前提條件以及要求學(xué)生對這兩個定理進行對比，從而可以更深刻理解它們之間的區(qū)別。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要善于通過用反例進行教學(xué)。通過對相關(guān)性質(zhì)舉出反例，能夠加強學(xué)生對基本概念、定理的理解和掌握，能夠幫助打破習(xí)慣的思維定勢，能夠促進思考擴大知識面。巧用反例可以有效地提升學(xué)生的逆向思維能力，而這種逆向思維能力又往往會促進對學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培。學(xué)會反例構(gòu)造的思維方法可以幫助學(xué)生認識問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，從而做到觸類旁通，舉一反三。

案例3?若級數(shù)??收斂，則必有?=0.?那么若有?能否推出級數(shù)??收斂。若??則級數(shù)??必發(fā)散。同樣反之是否成立。

反例展示：調(diào)和級數(shù)??是發(fā)散的，但是??=0.?從而可得上述反之都不成立。

案例?4?偏導(dǎo)數(shù)存在的多元函數(shù)不一定可微。

解?反例：考察函數(shù)

易得??計算得到

可得

因此該函數(shù)在點??處不可微。從而可見多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在只是函數(shù)可微的必要條件。

在教學(xué)中，使用簡單明了的反例便于記憶，也可以幫助學(xué)生借助具體實例理解抽象的結(jié)論。在教學(xué)中多列舉出一些反例以及反例構(gòu)造的緣由是可以幫助學(xué)生認識知識的本質(zhì)，從而可以靈活運用知識，進而對其進行創(chuàng)新。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題，尋找多種解決問題的方法。對于同一個知識點，從不同的角度去講解，激發(fā)學(xué)生思考，擴大學(xué)生知識面。從問題的不同方面、不同角度思考，才能在掌握“一”的本質(zhì)下做到“反三”。

案例5?設(shè)?，?證明?<.

解法一?令?（-）-2?可得

以及

由于??可推出??再根據(jù)??得到??因為??所以??則有?<.

解法二?令??由微分中值定理，?使得??因為

，?所以?，?故有

對于該題，教師應(yīng)該總結(jié)出關(guān)于兩個常數(shù)的不等式通用的方法。一個是使其中一個變量為變量??構(gòu)造輔助函數(shù)，利用單調(diào)性證明。另外一個常用的方法就是微分中值定理。對于同一個問題，從不同角度思考，尋找不同解決方法，歸納總結(jié)其中原理，才可以觸類旁通，舉一反三。

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師講解的過程中要用啟發(fā)式，由淺入深，循循善誘，啟發(fā)學(xué)生對問題進行推廣，引申或發(fā)。這樣才會使得學(xué)生懂得一個問題推廣到熟悉一類問題，即個別類推到一般。這可以讓學(xué)生在掌握該知識的基礎(chǔ)上對其進行遷移類推并且創(chuàng)新，從而做到活學(xué)活用。

案例6?求??之值。

解?===5.

對于該題，教師在講解時可以引導(dǎo)學(xué)生進行推廣和引申，提出下面的例子。求??之值和??之值。這兩個例子和案例5解法類似。對案例5進行這種推廣，學(xué)生對該問題也會有更全面的認識，思考問題也會更加深入透徹。

案例?7?討論反常積分??的斂散性?.

解?由于??則??是被積函數(shù)在積分區(qū)間??中唯一瑕點。計算可得

故得到這個反常積分發(fā)散。

同樣對于該題，教師在講解時可以引導(dǎo)學(xué)生把它引申到一般，提出下面的例子。

案例?8?求反常積分??的斂散性?（，?且??）.

解法和案例?6類似，立即可得

故當(dāng)??時，這個反常積分發(fā)散。當(dāng)?1?時，這個反常積分收斂。

總的說來，上述列舉的在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)舉一反三能力的方法本質(zhì)上是同步挖掘出思考的深度和廣度。這里的深度是垂直思考，廣度是發(fā)散性思考即舉一反三的能力。垂直思考是一種邏輯式思考，講究順序嚴謹、邏輯推理的合理性。也就是思考的深度，養(yǎng)成追根究底的精神，運用判斷力一步步地進行，每一個步驟都必須說得出原因，而且要正確。強調(diào)深入問題找出答案，并把焦點放在找出最好的方法上。發(fā)散性思考也就是水平思考，意思就是加大思考的廣度，突破自我設(shè)限的思考。在思考的過程中強調(diào)通過自由聯(lián)想讓思考像脫韁野馬一樣，想到什么寫什么。強調(diào)思考的數(shù)量與流暢度，想得越多越好。這種能力，在我們解決問題時，并不是只找出一個正確答案。思考不是一種單向或者是單層次的思考，而是形成一種思考的網(wǎng)絡(luò)。在解決問題時，應(yīng)該避免完全依賴垂直思考，要結(jié)合輔助以水平思考方法。

結(jié)語

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力是教師教學(xué)的任務(wù)之一。但是這不是一蹴而就的事情，需要師生持之以恒。教師在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式上多琢磨，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，讓學(xué)生學(xué)會對所學(xué)知識點遷移類推，從多角度分析問題。當(dāng)然，學(xué)生自己也要主動多和教師交流，學(xué)會獨立思考和自主探索，自己尋找解決問題的方法。只有這樣學(xué)生終將在高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成舉一反三的習(xí)慣。

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作者簡介：董麗華（1991—?），女，漢族，江西撫州人，博士，講師，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。