董博

［摘? 要］ “懂而不會(huì)”現(xiàn)象在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在，分析其原因不難發(fā)現(xiàn)，這與教師的“教”息息相關(guān). 在教學(xué)中，教師要更新觀念，改變教法，多為學(xué)生提供一定的思考空間，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 懂而不會(huì)；思考空間；學(xué)習(xí)能力

在平時(shí)教學(xué)中，筆者經(jīng)常會(huì)聽(tīng)到同行抱怨種種不如意的現(xiàn)象，如許多問(wèn)題重復(fù)講、反復(fù)講，學(xué)生依然不會(huì)；學(xué)生參與課堂的積極性不高；上課注意力不集中，等等. 其實(shí)通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)課堂上的種種不如意后，教師要認(rèn)真思考產(chǎn)生這些問(wèn)題的根源，這樣才能找到行之有效的解決策略，以此化解教學(xué)中的種種不如意，提高教學(xué)有效性.

筆者從“懂而不會(huì)”這一教學(xué)現(xiàn)象入手，以期通過(guò)深度思考探尋這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，并結(jié)合實(shí)情尋找解決問(wèn)題的良方，以此提高教學(xué)有效性.

問(wèn)題呈現(xiàn)

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，現(xiàn)將邊AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，點(diǎn)A所落的位置（點(diǎn)D）恰好與點(diǎn)B和點(diǎn)C在一條直線上，連接AD，則tanD=______.

這是在“三角函數(shù)”習(xí)題課教學(xué)中引入的一道典型例題. 問(wèn)題給出后，教師帶領(lǐng)學(xué)生讀題，讀題后直接提問(wèn)：根據(jù)已知，你能求∠ABC的度數(shù)嗎？學(xué)生很快就給出了答案：∠ABC=45°. 教師繼續(xù)提問(wèn)：“若AC=k，你能用含k的代數(shù)式分別表示AB，BC，DB的長(zhǎng)度嗎？”教師話音剛落，很多學(xué)生就開始報(bào)答案了，“AB=k，BC=k，DB=k”. 分析至此，教師給出如下兩種解法讓學(xué)生辨析.

教師先給出解法1，部分學(xué)生掉入教師預(yù)設(shè)的“陷阱”，認(rèn)為解法1是正確的. 直到教師給出解法2后，部分學(xué)生才恍然大悟，只有很少的學(xué)生認(rèn)為解法1是正確的. 此時(shí)教師及時(shí)給予點(diǎn)評(píng)，并強(qiáng)調(diào)求三角函數(shù)值是在直角三角形中進(jìn)行的，以此消除學(xué)生的困惑，讓認(rèn)為解法1正確的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)因. 至此教師完成了該案例的講授，繼續(xù)開展其他題目的教學(xué).

課后，為了考查學(xué)生對(duì)例1的掌握情況，教師又給出了這樣一個(gè)問(wèn)題：

例2如圖2，已知E為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且△EBC為等邊三角形. 連接DE，若DE=2，求△CDE的面積S.

教師認(rèn)為根據(jù)例1的解答經(jīng)驗(yàn)和例2的已知條件，學(xué)生可以輕松得到△CDE是等腰三角形，且其頂角為30°. 又已知底邊DE=2，容易聯(lián)想到過(guò)頂點(diǎn)C作底邊DE的高，構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)正切值求出△CDE的高，繼而求出△CDE的面積S. 過(guò)程如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于F，則DF=DE=1，∠DCF=15°. 然后構(gòu)造含有特殊角的直角三角形，即以DC為一邊作∠CDG=15°，其中DG交CF于G，則∠DGF=30°，所以GF=，CG=DG=2，由此可得S=DE·CF=×2×（+2）=+2.

從學(xué)生解題反饋來(lái)看，本題基本上全軍覆沒(méi). 筆者也很疑惑，例2與例1的本質(zhì)是相同的，例1是利用構(gòu)造法求tan22.5°的值，例2是利用構(gòu)造法求tan15°的值，明明在講解例1時(shí)學(xué)生都聽(tīng)懂了，怎么到求解例2時(shí)就不會(huì)了呢？可見(jiàn)，課堂教學(xué)出現(xiàn)了“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象.

深度思考

為了能夠解除教學(xué)困惑，筆者從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等多方面進(jìn)行了深入研究.

1. 從教學(xué)內(nèi)容上分析

分析兩道例題的本質(zhì)不難發(fā)現(xiàn)，例1所求的為tan22.5°的值，例2所求的為tan15°的值. 從“課標(biāo)”要求來(lái)看，若直接求tan22.5°和tan15°的值確實(shí)超出了相應(yīng)要求，但是上述兩道例題并不是直接求值，而是將其放入了一定的情境中，這為問(wèn)題的解決提供了必要條件. 對(duì)于例1，其所考查的是正切值的概念，分析已知易得∠D所對(duì)應(yīng)的兩直角邊的長(zhǎng)，只要學(xué)生能夠正確應(yīng)用公式，問(wèn)題便可迎刃而解. 對(duì)于例2，其解題思路與方法和例1類似，教師如此安排可以起到鞏固強(qiáng)化的效果，何嘗不可呢？因此，以上問(wèn)題的設(shè)置并未超標(biāo)，符合學(xué)生的認(rèn)知水平.

2. 從方法上分析

部分教師認(rèn)為學(xué)生之所以課上聽(tīng)得懂而課下不會(huì)做，是因?yàn)槔?中需要添加兩條輔助線，第一條輔助線學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，而第二條輔助線學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)，可見(jiàn)對(duì)學(xué)生添加輔助線的要求較高，因此在解決例2時(shí)應(yīng)該給出一些提示和指導(dǎo)，那么實(shí)際上是否真的有必要呢？確實(shí)，如果沒(méi)有例1的鋪墊和引導(dǎo)，直接給出例2對(duì)學(xué)生的要求太高了. 但是課堂上對(duì)例1的講解為課后練習(xí)埋下了伏筆，因此解決例2時(shí)沒(méi)有必要再給出提示. 要知道，創(chuàng)設(shè)例2的目的就是考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力，若直接提示或告知輔助線的添設(shè)方法，則又如何達(dá)到例2的創(chuàng)設(shè)初衷呢？畢竟，考試不會(huì)為學(xué)生鋪設(shè)過(guò)多的臺(tái)階，這個(gè)困難必須學(xué)生自己去克服.

3. 從評(píng)價(jià)上分析

在例1的教學(xué)中，筆者沒(méi)有直接給出答案，而是帶領(lǐng)學(xué)生共同分析，并實(shí)時(shí)關(guān)注學(xué)生的反應(yīng). 在教學(xué)中，教師沒(méi)有讓學(xué)生直接求tanD的值，而是讓學(xué)生先求∠ABC的度數(shù)，從而得到△ABC為等腰直角三角形，為后面求出各邊的長(zhǎng)做鋪墊. 再如，教師讓學(xué)生用含k的代數(shù)式分別表示AB，BC，DB的長(zhǎng)后，也沒(méi)有讓學(xué)生直接求tanD的值，而是呈現(xiàn)了一對(duì)一錯(cuò)的兩種解法，通過(guò)預(yù)設(shè)“陷阱”深化學(xué)生對(duì)正切的概念的理解. 又如，教師給出解法1時(shí)，部分學(xué)生認(rèn)為答案是正確的，教師沒(méi)有給予點(diǎn)評(píng)，而是接著給出了解法2，通過(guò)對(duì)比讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題后再給予了評(píng)價(jià)，直至部分認(rèn)為“解法1正確”的學(xué)生表示懂了之后才進(jìn)行后面的教學(xué).

從教學(xué)反饋來(lái)看，以上教學(xué)活動(dòng)很好地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的參與積極性，學(xué)生也“聽(tīng)懂了”. 但是“聽(tīng)懂了”不等于“學(xué)會(huì)了”，若在教學(xué)中將“聽(tīng)懂了”作為教學(xué)目標(biāo)，則勢(shì)必造成“懂而不會(huì)”的情況. 例1是在教師的引導(dǎo)下求解的，教師為學(xué)生提供了思考路線，而例2是學(xué)生獨(dú)立思考求解的. 兩道例題既有一定的關(guān)系，又有本質(zhì)的區(qū)別，例2對(duì)學(xué)生思維的要求較高，全面考查學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 由此可見(jiàn)，在教學(xué)中不能僅停留在“聽(tīng)得懂”的層面，還要重視學(xué)生獨(dú)立思考、獨(dú)立探究能力的提升.

改進(jìn)策略

在實(shí)際教學(xué)中，“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象是普遍存在的，那么到底是什么原因造成的呢？其實(shí)這與教師的“教”密切相關(guān). 在實(shí)際教學(xué)中，為了追求效率，大多數(shù)教師習(xí)慣于講授和引導(dǎo)，這樣使得學(xué)生對(duì)教師產(chǎn)生了依賴，因獨(dú)立思考過(guò)程的缺失影響了學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題能力的提升，限制了學(xué)生的發(fā)展. 要知道，學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)思維過(guò)程，而不是簡(jiǎn)單的記憶過(guò)程. 因此，在課堂中，學(xué)生單獨(dú)靠聽(tīng)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去思考，讓學(xué)生積極地參與課堂教學(xué)活動(dòng)，以此提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 在本節(jié)課教學(xué)中，雖然表面上學(xué)生也積極參與了課堂講解活動(dòng)，但并未引發(fā)學(xué)生深度思考，學(xué)生的“學(xué)”是被動(dòng)的，由此出現(xiàn)“不會(huì)”也就成了必然. 只有厘清了產(chǎn)生這一現(xiàn)象的因果關(guān)系，教師才能找到行之有效的解決方法.

基于前面思考，在教學(xué)中若想盡量避免“懂而不會(huì)”現(xiàn)象的發(fā)生，教師需要更新教學(xué)理念，改變教學(xué)方案，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)獨(dú)立思考的空間，改變被動(dòng)學(xué)習(xí)的局面，進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力，讓學(xué)生獲得最大程度的發(fā)展. 筆者認(rèn)為，在實(shí)際教學(xué)中可以從以下幾個(gè)方面去改進(jìn).

1. 放慢節(jié)奏，為獨(dú)立思考提供時(shí)間

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師為了追求“容量和速度”，課堂上很少為學(xué)生提供思考的時(shí)間，而是一味灌輸，這樣因獨(dú)立思考過(guò)程的缺失，難以引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí). 因此，教學(xué)中教師應(yīng)放慢教學(xué)節(jié)奏，為學(xué)生提供充足的思考時(shí)間，化被動(dòng)為主動(dòng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考.

例如，在本節(jié)課教學(xué)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生讀題后就讓學(xué)生求∠ABC的度數(shù)，接下來(lái)又讓學(xué)生用含k的代數(shù)式分別表示AB，BC，DB的長(zhǎng)度，雖然學(xué)生很快給出了答案，但因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷獨(dú)立思考的過(guò)程，所以學(xué)生難以體會(huì)例題編制的真正意圖，又如何去發(fā)現(xiàn)例1與例2的關(guān)系呢？因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)放慢教學(xué)節(jié)奏，讓學(xué)生感悟若想求22.5°角的三角函數(shù)值，需要構(gòu)造含45°角的直角三角形，這樣學(xué)生在求解例2時(shí)，自然能夠聯(lián)想到若想求15°角的三角函數(shù)值，需要構(gòu)造含30°角的直角三角形. 在解題教學(xué)中，教師不能單純地為了解題而解題，應(yīng)該留一定的時(shí)間讓學(xué)生思考：題目為什么這樣編寫？給出的條件有何深意？如在例1中，給出Rt△ABC這一條件是否多余呢？為什么不直接給出∠ACD=22.5°呢？這些條件是為什么服務(wù)的呢？等等. 通過(guò)諸如以上理性思考，學(xué)生一定會(huì)對(duì)題目形成一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)，能從整體上把握解題的脈絡(luò)，進(jìn)而為類似題目的探究提供參考依據(jù). 在教學(xué)中，表面上看放慢節(jié)奏會(huì)占用一定的課堂時(shí)間，但是學(xué)生能在“慢”中收獲更多.

2. 少些引導(dǎo)，為獨(dú)立思考提供空間

在平時(shí)教學(xué)中，部分教師認(rèn)為自己多講一些，學(xué)生就能多懂一些，為此常常將問(wèn)題打碎、嚼爛后“喂給學(xué)生吃”，這樣做導(dǎo)致學(xué)生課堂參與的積極性不強(qiáng)，限制了學(xué)生提出、分析和解決問(wèn)題能力的提升.

回顧以上教學(xué)過(guò)程，教師給出題目后就直接給出了針對(duì)性的問(wèn)題，教師為學(xué)生的思維鋪設(shè)了太多的臺(tái)階，無(wú)法讓學(xué)生體驗(yàn)探索所帶來(lái)的喜悅.

在例1的教學(xué)中，教師可以刪掉那些引導(dǎo)性過(guò)強(qiáng)的問(wèn)題，給學(xué)生充分讀題、審題的時(shí)間，通過(guò)諸如“讀題后，你有什么想法？”“你認(rèn)為求tanD的值應(yīng)該知道些什么呢？”“你是否還有其他想法？”之類的問(wèn)題，為學(xué)生提供一個(gè)廣泛的思考空間，這樣學(xué)生的“學(xué)”就不再是簡(jiǎn)單的接受. 另外，在教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供一個(gè)展示的舞臺(tái)，以此充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力在“你一言，我一語(yǔ)”中獲得不同程度的提升，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，促進(jìn)學(xué)生更好地發(fā)展.

3. 重視反思，促進(jìn)知識(shí)融會(huì)貫通

在解題后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思解題過(guò)程，從而在回顧和反思的過(guò)程中提煉規(guī)律，總結(jié)方法，積累經(jīng)驗(yàn)，繼而達(dá)到“會(huì)一題通一類”的效果. 其實(shí)，在實(shí)際教學(xué)中，教師為了追求容量，常常將學(xué)生引入“題?！?，占用了學(xué)生回顧和反思的時(shí)間，這樣學(xué)生只能為了解題而解題，無(wú)法認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，影響了解題效率和解題質(zhì)量. 要知道，評(píng)價(jià)一堂課的好與壞不是看在本節(jié)課上講了多少道題，講了多少種解法，而是看學(xué)生到底收獲了多少. 因此，在教學(xué)中，教師必須給學(xué)生一定的時(shí)間和空間進(jìn)行反思和回顧，讓學(xué)生在反思和回顧中學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

例如，在本題教學(xué)中，如果解題后教師能夠讓學(xué)生進(jìn)行反思和回顧，也許學(xué)生就能體會(huì)到“等腰三角形的頂角相鄰的外角等于底角的兩倍”，這樣學(xué)生在求22.5°角的三角函數(shù)值時(shí)也許就能夠自然聯(lián)想到45°角，從而通過(guò)構(gòu)造特殊角解決問(wèn)題. 對(duì)于題目中的一些規(guī)律應(yīng)盡量讓學(xué)生自己去感悟和提煉，這樣才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化和知識(shí)的靈活遷移. 若教學(xué)中僅是“就題論題”地講授，則學(xué)生只會(huì)聽(tīng)，不會(huì)做. 因此，教師必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)和反思，進(jìn)而促進(jìn)知識(shí)的融會(huì)貫通.

4. 優(yōu)化設(shè)計(jì)，為獨(dú)立思考架橋鋪路

在教學(xué)中，例題教學(xué)往往是在教師引導(dǎo)下進(jìn)行的，而課后練習(xí)是學(xué)生獨(dú)立完成的，為此教師可以在例題教學(xué)中適當(dāng)?shù)卦黾右稽c(diǎn)難度，在課后練習(xí)中適當(dāng)?shù)亟档鸵稽c(diǎn)難度，為學(xué)生思維的發(fā)展創(chuàng)設(shè)臺(tái)階，讓學(xué)生在獨(dú)立解決問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)成功的樂(lè)趣，以此激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

例如，為了降低問(wèn)題的難度，教師可以對(duì)例2進(jìn)行如下改編.

變式：如圖4，已知E為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且△EBC為等邊三角形，連接BD，DE.

（1）求∠BED的度數(shù)；

（2）若BC=2，求四邊形BCDE的面積；

（3）若DE=2，求△CDE的面積.

這樣改編降低了問(wèn)題的難度，有利于提升學(xué)生的解題信心. 另外，通過(guò)求角度能夠提升學(xué)生對(duì)30°，45°，60°等特殊角，以及對(duì)15°，22.5°等一般角的敏感度，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

總之，教師要認(rèn)真思考教學(xué)中學(xué)生產(chǎn)生困惑的原因，并結(jié)合教學(xué)實(shí)際對(duì)教學(xué)流程進(jìn)行優(yōu)化，以此發(fā)揮課堂教學(xué)價(jià)值，推動(dòng)“教”與“學(xué)”的全面發(fā)展.