李天竹 肖業(yè)亮 陳昊 嚴(yán)維軍

摘?要：發(fā)散思維是一種從不同層面分析問題、從多個(gè)維度尋求答案的一種開放性思維，是思維結(jié)構(gòu)的核心，具有流暢性、變通性和獨(dú)特性三個(gè)主要特征.在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，使學(xué)生具有較高的思維品質(zhì)和思維能力是教學(xué)改革的一個(gè)重要課題.本文利用插項(xiàng)法、遞推法、定積分公式、Dirichlet核、歐拉公式和留數(shù)定理等知識(shí)給出定積分∫π0sinnxsinxdx（n=0，1，…）的多種解法.通過一題多解，提升學(xué)生思維的發(fā)散性與系統(tǒng)性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和創(chuàng)新能力.

關(guān)鍵詞：一題多解;發(fā)散思維；定積分

一、概述

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)之一是提升學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，而創(chuàng)新思維的一個(gè)重要組成部分即為發(fā)散思維.發(fā)散思維又稱為開放式思維，是指人們?cè)谶M(jìn)行科學(xué)研究、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、發(fā)明創(chuàng)造等活動(dòng)時(shí)，針對(duì)要解決的問題，突破思維定勢(shì)的局限，對(duì)已有的知識(shí)重新組合，探索多種解決問題方案的思維形式［1］.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一題多解是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力的一種重要方法和手段［2］.所謂一題多解，指的是從不同角度、多渠道和大范圍去剖析同一問題中的各種關(guān)系，促使問題解決系統(tǒng)向目標(biāo)狀態(tài)運(yùn)轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)用不同解法求出相同的結(jié)果.一題多解可以加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論和求解方法的嫻熟運(yùn)用，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)各知識(shí)塊間的整體聯(lián)系，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和批判性，激發(fā)學(xué)生去發(fā)明、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造.本文對(duì)定積分In=∫π0sinnxsinxdx（n=0，1，…）的多種解法進(jìn)行了探究，并對(duì)其予以拓展.

二、一題多解

（一）插項(xiàng)法

解法一：

sin（2n－1）x=∑n－1k=1sin（2k+1）x－sin（2k－1）x+sinx

=sinx（1+2∑n－1k=1cos2kx），n=2，3，….（1）

同理，

sin2nx=2sinx∑nk=1cos（2k－1）x，n=1，2，….（2）

于是，

I2n－1=∫π01+2∑n－1k=1cos2kxdx=π，n=2，3，….（3）

被積函數(shù)fn（x）=sinnxsinx（n=2，3，4，5）

在積分區(qū)間［0，π］上的圖像

I2n=2∫π0∑nk=1cos（2k－1）xdx=0，n=1，2，….（4）

又I0=0，I1=π，所以

In=0，當(dāng)n取非負(fù)偶數(shù)時(shí);π，當(dāng)n取正的奇數(shù)時(shí).（5）

（二）遞推公式

解法二：

In=∫π0sin（n－1）xcosx+cos（n－1）xsinxsinxdx

=12∫π0sinnx+sin（n－2）xsinxdx

=12（In+In－2），n=2，3，…，（6）

即

In=In－2，n=2，3，….（7）

又I0=0，I1=π，結(jié)合（7）式知，（5）式成立.

解法三：

In=∫π0sin（n－2）x+2cos（n－1）xsinxsinxdx

=∫π0sin（n－2）xsinxdx+2∫π0cos（n－1）xdx

=In－2，n=2，3，….（8）

由解法二知，（5）式成立.

解法四：

利用（1）式，當(dāng)n=2，3，…時(shí)，

In+In－1=∫π0sinnx+sin（n－1）xsinxdx

=∫π02sin（n－12）xcosx22sinx2cosx2dx

====x=2t2∫π20sin（2n－1）tsintdt

=2∫π201+2∑n－1k=1cos2ktdt=π.（9）

于是，當(dāng)n=3，4，…時(shí)，

In=－In－1+π=－（－In－2+π）+π=In－2.（10）

因I0=I2=0，I1=π，由解法二知，（5）式成立.

（三）定積分公式

解法五：

積分區(qū)間對(duì)稱原理［3］：設(shè)函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，則

∫baf（x）dx=12∫baf（x）+f（a+b－x）dx.（11）

積分區(qū)間折半公式［4］：設(shè)函數(shù)g（x）在0，2a上連續(xù)，則

∫2a0gxdx=∫a0gx+g2a－xdx.（12）

當(dāng)n=0，1，…時(shí)，根據(jù)（11）式，

I2n=12∫π0sin2nxsinx+sin2n（π－x）sin（π－x）dx=0.（13）

當(dāng)n=1，2，…時(shí)，利用（12）式，

I2n－1=∫π20sin（2n－1）xsinx+sin（2n－1）（π－x）sin（π－x）dx

=2∫π20sin（2n－1）xsinxdx（14）

=2∫π20sin2nx+sin2（n－1）xsin2xdx

====x=t2∫π0sinnt+sin（n－1）tsintdt=In+In－1.（15）

因I1=π，I2=0，I3=I2+I1=π，利用（13）（15）式，并根據(jù)第二數(shù)學(xué)歸納法可證得

I2n－1=π（n=1，2，…）.（16）

結(jié)合（13）（16）式知，（5）式成立.

注：在推導(dǎo)積分結(jié)果（16）式時(shí)，我們借用了I2n（n=0，1，…）的計(jì)算公式（13）.若題目只是要求計(jì)算I2n－1（n=1，2，…），則上述解法顯然不夠直接.為此，可使用下面的方法求解I2n－1.

解法六：

令Jn=∫π20sinnxsinxdx（n=1，2，…），由（12）式，

J2n－1=∫π20sin（2n－1）xsinxdx

=∫π40sin（2n－1）xsinx+sin（2n－1）（π2－x）sin（π2－x）dx

=∫π40sin（2n－1）xsinx+－1n－1cos（2n－1）xcosxdx

=2∫π40sin2n－1+－1n－1xsin2xdx

====x=t2∫π20sinn－1+－1n2tsintdt

=Jn，當(dāng)n為正的奇數(shù)時(shí);Jn－1，當(dāng)n為正的偶數(shù)時(shí).（17）

因J1=π2，利用（17）式，并結(jié)合第二數(shù)學(xué)歸納法，得

J2n－1=π2（n=1，2，…）.（18）

根據(jù)（14）（18）式知，（16）式成立.

（四）Dirichlet核的性質(zhì)

解法七：

設(shè)函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，則［5］

∫baf（x）dx=====x=a+b2+t∫b－a2－b－a2fa+b2+tdt.（19）

于是，當(dāng)n=0，1，…時(shí)，

I2n=∫π2－π2sin2n（π2+t）sin（π2+t）dt

=－1n∫π2－π2sin2ntcostdt

=0.（20）

我們知道，Dirichlet核

Dn（t）=sinn+12t2sint2（t≠2kπ，k∈Z，n∈N）（21）

具有下面的性質(zhì)［6］：

∫x0Dn（t）dt=x2+∑nk=1sinkxk（x∈（0，2π））.（22）

于是，當(dāng)n=1，2，…時(shí)，利用（22）式，

I2n+1====x=t2∫2π0sin（n+12）t2sint2dt

=x2+∑nk=1sinkxkx=2π

=π.（23）

又I1=π，綜上知，（5）式成立.

（五）歐拉公式

解法八：

由歐拉公式eix=cosx+isinx，當(dāng)n=3，4，…時(shí)，

sinnxsinx=（eix）n－（e－ix）neix－e－ix=∑nk=1ei（n－2k+1）x

=1+2∑m－1j=1cos2jx，當(dāng)n=2m－1時(shí);2∑mj=1cos（2j－1）x，當(dāng)n=2m時(shí).（24）

因?yàn)椤姚?coslxdx=0（l∈N），又I0=I2=0，I1=π，易知（5）式成立.

（六）留數(shù)定理

解法九：

設(shè)函數(shù)f（x）在－a，a上連續(xù)，則［4］

∫a－afxdx=∫a0fx+f－xdx.（25）

根據(jù)（25）式，當(dāng)n=1，2，…時(shí)，

∫π-πsinnxsinxdx=∫π0sinnxsinx+sinn（－x）sin（－x）dx=2In.（26）

易知I0=0.令z=eix=cosx+isinx.

當(dāng)n=1，2，…時(shí)，根據(jù)（26）式及留數(shù)定理［7］，

In=12∫π－πsinnxsinxdx

=12∫z=1zn－z－nz－z－1dziz

=12i∫z=1∑nk=1zn－2kdz

=0，當(dāng)n為正的偶數(shù)時(shí);π，當(dāng)n為正的奇數(shù)時(shí).

三、拓展

通過一題多解的訓(xùn)練，學(xué)生在思維的廣度和靈活性方面會(huì)有較大的進(jìn)步和提高.為了提升學(xué)生認(rèn)知的高度和思維的深度，可通過一題多變對(duì)原題做如下拓展：

（1）計(jì)算∫kπ0sinnxsinxdx，其中n∈N，k=12或k∈Z.

（2）求極限limn→

四、反思

以上我們給出了定積分In（n=0，1，…）的九種計(jì)算方法.從中可以看出，使用一題多解的方法從多維度、多視角、多方位對(duì)典型的數(shù)學(xué)題進(jìn)行剖析，不僅能使學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)模式題的通用解法，還能實(shí)現(xiàn)同一學(xué)科各部分知識(shí)之間的串聯(lián)與并聯(lián)，以及不同學(xué)科之間的滲透與綜合，達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的目的.一題多解方法的恰當(dāng)使用不僅有助于提升學(xué)生思維的廣度、高度與深度，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索能力.

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［7］盧玉峰，劉西民，李崇君.復(fù)變函數(shù)：第3版［M］.北京：高等教育出版社，2020.

資金資助：遼寧省教育科學(xué)規(guī)劃“十四五”項(xiàng)目“高校創(chuàng)新型教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)研究與實(shí)踐”（編號(hào)：JG22DB047）;遼寧省教育科學(xué)規(guī)劃“十四五”項(xiàng)目“新時(shí)代應(yīng)用型本科公共基礎(chǔ)課混合式教學(xué)研究”（編號(hào)：JG22DB055）

作者簡介：李天竹（1989—?），女，遼寧大連人，碩士，研究方向?yàn)槿斯ど窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)。