鄭堯偉

【摘 要】“圓柱的練習(xí)”是蘇教版數(shù)學(xué)六年級下冊的一節(jié)練習(xí)課?！半p減”背景下，優(yōu)化課后作業(yè)的形式和內(nèi)容，成為教師關(guān)注的重點。練習(xí)課的作業(yè)設(shè)計需要具有挑戰(zhàn)性和趣味性。說題作為一種有效的課后作業(yè)形式，以學(xué)生思、說、評的方式代替機(jī)械單調(diào)的練習(xí)，來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，讓思維可視化。

【關(guān)鍵詞】練習(xí)課 作業(yè)設(shè)計 說題

一、案例背景

“雙減”背景下，優(yōu)化課后作業(yè)的形式和內(nèi)容，成為教師關(guān)注的重點。課后作業(yè)承擔(dān)著有針對性地鞏固學(xué)生課內(nèi)所學(xué)，科學(xué)提高學(xué)生思維能力的任務(wù)。課后作業(yè)的設(shè)計既要減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，也要發(fā)展學(xué)生的思考力和創(chuàng)造力。說題作為一種有效的課后作業(yè)形式，能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，讓思維可視化。筆者以一道練習(xí)題為例，談?wù)務(wù)f題的準(zhǔn)備和具體步驟。

二、案例描述

“圓柱的練習(xí)”作為一節(jié)練習(xí)課，主要是讓學(xué)生鞏固圓柱體積的計算方法，體會靈活運用圓柱體積公式解決實際問題的過程，從而提高學(xué)生的分析、比較和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生初步的空間想象能力，發(fā)展其空間觀念。而學(xué)生已經(jīng)了解了圓柱的基本特征，圓柱的側(cè)面積、表面積和體積的計算方法。教師選擇以這節(jié)課的題目來說題，讓學(xué)生用思、說、評的方式代替機(jī)械單調(diào)的練習(xí)，使作業(yè)具有了挑戰(zhàn)性和趣味性。所以，課后說題不僅可以提高學(xué)生的參與度，避免教師過多的講評，還有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。因此，筆者選擇利用單元題卡了解學(xué)生的實際掌握情況，確定說題方向，選擇說題內(nèi)容，設(shè)計說題步驟。

（一）確定說題方向

利用單元題卡了解學(xué)情，確定說題方向。單元題卡包含四道題，分別考查圓柱的底面積、體積和表面積等內(nèi)容。從完成的情況來看，學(xué)生基本能掌握圓柱的底面積、體積和表面積的計算方法，大部分學(xué)生能掌握知識點單一、與例題同類型的題目，而正確率較低的是屬于靈活運用范疇的一道題目。

設(shè)計意圖：教師要處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)之間的關(guān)系。受知識有限、解題能力不足、邏輯思維有待進(jìn)一步發(fā)展的影響，有難度的題目往往集中在一類或幾類問題上。而通過單元題卡，教師可以了解學(xué)生的學(xué)習(xí)難點，確定說題方向。

（二）選擇說題內(nèi)容

題目：在一個圓柱形儲水桶里，把一段底面半徑為5厘米的圓柱形鋼材全部放入水中，這時，水面上升9厘米；把這段鋼材豎著拉出水面8厘米，水面下降4厘米。求這段鋼材的體積。

從完成的情況來看，單元題卡中的這道題對學(xué)生來說普遍有難度，難度分為不同層級。層級一，讀不懂題目的意思，對解決問題沒有頭緒；層級二，能理解情境中的數(shù)量變化過程，但無法厘清問題中的數(shù)量關(guān)系；層級三，知道題目中包含的條件和數(shù)量關(guān)系，但是不知道如何解決問題。

師：這道題難在哪里？和其他題目有什么不一樣？

生：其他題目運用公式就能算出結(jié)果，這道題太復(fù)雜，把圓柱形鋼材放入水中，水面上升，把鋼材拉出水面一定高度，水面又下降，不知道從哪里開始解決。

設(shè)計意圖：題目的選擇要有代表性和普遍性。具有代表性的題目是指那些能體現(xiàn)通法通解的題目，是大部分學(xué)生存在困難的題目，是能啟迪學(xué)生思維的題目。教師要聚焦問題，選擇合適的內(nèi)容，從而讓學(xué)生通過說題掌握規(guī)律，舉一反三，有效地發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

（三）設(shè)計說題步驟

說題步驟，為學(xué)生課后說題提供了腳手架，也讓題目解決的過程可視化。教師通過具體步驟，可以發(fā)展學(xué)生分析、比較、推理的能力，提高學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。說題步驟具體分為：理解問題—分析問題—解答問題—問題歸類—整理反思。

1.理解問題，梳理關(guān)系

畫一畫：畫出圓柱形鋼材全部放入水中的過程。

水面上升，上升的水的體積相當(dāng)于鋼材的體積。把鋼材拉出水面的過程，下降的水的體積相當(dāng)于拉出水面的這部分鋼材的體積。已知條件有圓柱形鋼材的底面半徑為5厘米，此時，水面上升的高度為9厘米；拉出水面的高度為8厘米，此時，水面下降的高度為4厘米。要解決的問題是這段鋼材的體積。

理解問題是審題的過程，學(xué)生在梳理問題的過程中，不斷解讀題目中的條件和問題。對問題的理解，不僅是要讀懂題目表達(dá)的意思，而且要將問題轉(zhuǎn)化成易于理解的形式。題目描述了兩個過程，將鋼材放入水中和將一部分鋼材拉出水面的過程。教師可以讓學(xué)生用示意圖將其表示出來。用文字表述的題目是抽象的，但將文字轉(zhuǎn)化成形式，用圖形表征條件和問題，就可以使抽象的文字變得形象，降低學(xué)生思維的難度，這樣才有利于學(xué)生找到數(shù)量關(guān)系。

2.分析問題，突破難點

想一想：從出發(fā)點來看，小學(xué)階段解決問題的方式有兩種——從條件出發(fā)和從問題出發(fā)。從條件出發(fā)，就是由已知條件展開推導(dǎo)得到一些信息，看看得到的信息中哪些信息對解決問題有用。對解決問題有用的信息，往往就是解決實際問題的突破口。從問題出發(fā)，就是要知道問題的解決需要哪些信息？要想得到這些信息，往往要根據(jù)已知條件找到解決問題的突破口。

師：解決問題可以從條件出發(fā)，也可以從問題出發(fā)。先從條件出發(fā)能知道哪些信息呢？誰來分析一下鋼材放入水中的過程？

生：我們知道鋼材的底面半徑，但是不知道鋼材的高度，所以，只通過鋼材放入水中的過程是不能得到鋼材的體積的。

師：鋼材拉出水面的過程呢？能知道哪些信息？

生：鋼材拉出水面8厘米，還知道鋼材的底面半徑是5厘米，可以求出這部分鋼材的體積，是52×π×8。

師：在鋼材拉出水面的過程中，下降的水的體積相當(dāng)于拉出水面的這部分鋼材的體積，這個等量關(guān)系就是解決這個問題的突破口。這部分鋼材的體積求出來了，能知道更多的信息嗎？

生：那就知道了下降的水的體積，用體積除以4厘米，就算出了水的底面積。

師：水的底面積就是儲水桶的底面積。從條件出發(fā)，我們得到了這么多信息。接下來從問題出發(fā)，看看需要哪些信息才能算出這段鋼材的體積。

生：要知道鋼材的高度才行。

師：不知道鋼材的高度，就不能直接求出鋼材的體積。鋼材全部放入水中的過程，也有等量關(guān)系，該如何利用呢？

生：上升的水的體積相當(dāng)于鋼材的體積，用水的底面積乘高度9厘米，求出上升的水的體積，就是鋼材的體積。

至此，學(xué)生通過分析問題，發(fā)現(xiàn)題目中不僅包含四個條件，還存在兩個等量關(guān)系。水桶和鋼材都是圓柱體，鋼材被全部放入水中時，上升的水的體積相當(dāng)于鋼材的體積；鋼材被拉出水面時，下降的水的體積相當(dāng)于拉出水面的這部分鋼材的體積。所以，分析這道題，要先從條件出發(fā)，再從問題出發(fā)。先從條件出發(fā)，可以利用等量關(guān)系得到信息，篩選其中對解決問題有用的信息，再從問題出發(fā)，找到解決這道題必須知道的信息，及時利用等量關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化，間接求出這段鋼材的體積。學(xué)生利用理解問題時得到的條件分析問題，養(yǎng)成從條件出發(fā)或從問題出發(fā)的解題習(xí)慣，找到突破口，讓解題思路逐漸變得清晰。這樣的學(xué)習(xí)習(xí)慣可以為后續(xù)構(gòu)建解決問題的框架、培養(yǎng)建模思想做鋪墊。

3.解答問題，明確思路

列一列：列出解題過程，明確每一步的含義。

師：解決這道題，要先算什么，再算什么？

生：先算出拉出水面部分的鋼材體積，52×π×

8=200π（立方厘米）。

師：這部分體積就相當(dāng)于下降的水的體積。再算什么？

生：用水的體積和水面下降的高度，算出水桶的底面積，200π÷4=50π（平方厘米）。

師：這段鋼材的體積和上升的水的體積有什么關(guān)系？

生：它們是相等的，只要求出上升的水的體積，就能求出這段鋼材的體積。

師：怎樣才能求出上升的水的體積呢？

生：通過將鋼材放入水中的過程，知道水面上升了9厘米，可以算出上升的水的體積，50π×9=450π（立方厘米）。

師：誰來總結(jié)一下，我們是如何一步步算出這段鋼材的體積的？

生：先求出拉出水面的鋼材的體積，這部分鋼材的體積相當(dāng)于下降的水的體積，再求出水桶的底面積。鋼材放入水中時，上升的水的體積相當(dāng)于鋼材的體積，最后根據(jù)底面積和高求出水的體積，這就是鋼材的體積。

（師板書，并呈現(xiàn)思維導(dǎo)圖）

解答問題，不只是算出結(jié)果，更重要的是要結(jié)合對問題的理解和分析，明確先解決什么，再解決什么。理解問題和分析問題為解答問題做了充分的準(zhǔn)備，教師稍加點撥，學(xué)生便知道先求什么，再求什么。思維導(dǎo)圖可直觀展示思考的過程，幫助學(xué)生建構(gòu)解決問題的模型，從整體上感知問題的解決。高年級學(xué)生已經(jīng)具備了一定的抽象思維能力，擁有分析和推理的能力。在說題的過程中，教師可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點，滲透轉(zhuǎn)化思想，有意識地引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的已知問題，幫助學(xué)生利用突破口找到解決問題的最優(yōu)方法。

4.問題歸類，建構(gòu)模型

變一變：在一個底面半徑為10厘米的圓柱形玻璃缸中，水深8厘米?，F(xiàn)在要在缸中放入長和寬都是8厘米、高是15厘米的一塊鐵塊（水未溢出）。把鐵塊放在水中，那么，水面會上升幾厘米？

師：你想怎樣解決這道題？

生：從條件出發(fā)，可以算出玻璃缸里水的體積為π×102×8=800π（立方厘米），鐵塊的體積為8×8×15=

960（立方厘米）。從問題出發(fā)，把鐵塊放入水中，上升的水的體積等于鐵塊的體積，用鐵塊的體積除以玻璃缸的底面積即“960÷（π×102）”，就可以求出水面上升了幾厘米。

師：這位同學(xué)結(jié)合剛剛分析問題的方法，先從條件出發(fā)，再從問題出發(fā)就解決了這道題。你們的想法和他一樣嗎？

生：如果豎著放進(jìn)去，鐵塊有一部分是露在外面的。他考慮的只是橫著放進(jìn)去的情況。

師：橫著放進(jìn)去，鐵塊被水完全浸沒，豎著放進(jìn)去，鐵塊有一部分露在外面，怎么解決呢？

生：這時，實際上的底面積是玻璃缸的底面積去掉鐵塊的底面積。還是抓住浸在水中的鐵塊的體積等于上升的水的體積，用水的體積除以實際上的底面積得到實際高度，再減去原來的水深就能得到水面上升的高度。

師（小結(jié)）：解決這道題要分兩種情況：一種是橫著放進(jìn)水中，鐵塊被完全浸沒；另一種是豎著放進(jìn)水中，這時，鐵塊有一部分是露在外面的。看來有些問題要考慮全面，才能利用分析問題的方法來解決。

作為一道變式題，理解問題、分析問題和解決問題的過程與原題十分相近，不同的是，問題中隱藏了另一種情況，而學(xué)生容易考慮到橫著放的情況。教師還需要引導(dǎo)學(xué)生將思路遷移，考慮豎著放的情況，進(jìn)而將問題歸類，發(fā)展學(xué)生用一種思想解決一類問題的意識，培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力和建模意識。

5.整理反思，提煉總結(jié)

理一理：回顧剛剛的說題過程，我們是如何解決問題的？在解決問題的過程中，你有什么體會？對于以后的學(xué)習(xí)有哪些啟發(fā)呢？

梳理說題的過程，可以讓學(xué)生從整體上把握題目，回顧解決問題的環(huán)節(jié)。學(xué)生通過回顧，體會理解問題和分析問題的必要性，在解答問題的過程中體會思維導(dǎo)圖的重要性。教師通過問題歸類，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識和知識遷移能力。整理反思是說題的最后一步，旨在培養(yǎng)學(xué)生提煉總結(jié)、歸納整理的能力。

課后說題，通過確定說題方向，了解學(xué)生的難點；選擇說題內(nèi)容，聚焦具體的問題；設(shè)計說題步驟，為說題提供腳手架。學(xué)生應(yīng)在說題過程中梳理關(guān)系，突破難點，提高知識遷移能力，發(fā)展建模意識。說題不僅優(yōu)化了課后作業(yè)的內(nèi)容，還豐富了課后作業(yè)的形式。同時，學(xué)生在說題過程中發(fā)展了表達(dá)力、思考力，體會了學(xué)習(xí)的價值。

【參考文獻(xiàn)】

王柏.基于對話視角的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（31）.