范韋莉

【摘 要】“做數(shù)學(xué)”是手腦協(xié)同、做思共生、融創(chuàng)一體的建構(gòu)活動，強調(diào)通過“做”獲得親身感悟，形成數(shù)學(xué)知識“是什么”的本體論認(rèn)知，產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識“為什么是這樣”的方法論感悟，獲得對數(shù)學(xué)知識“可以向哪兒去”的精神追求。小學(xué)“做數(shù)學(xué)”的課堂建構(gòu)涉及多個因素，其中，學(xué)習(xí)素材是開展“做數(shù)學(xué)”的前提和基礎(chǔ)。開發(fā)“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)素材應(yīng)遵循既“有趣”又“燒腦”、既“合力”又“合智”、既“成功”又“成長”的原則。

【關(guān)鍵詞】做數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)素材 教學(xué)設(shè)計

“做數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，在學(xué)生的認(rèn)知心理與抽象的數(shù)學(xué)知識之間搭建了橋梁。在實施“做數(shù)學(xué)”的過程中，教師是否能設(shè)計概括出概念和為發(fā)現(xiàn)性質(zhì)所需的學(xué)習(xí)素材、提供豐富且真實的應(yīng)用問題，顯得尤為重要。這些是學(xué)生能否理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的重要基礎(chǔ)。

一、“做數(shù)學(xué)”的基本內(nèi)涵

美國匹茲堡大學(xué)在QUASAR研究項目成果中提到，“做數(shù)學(xué)”是高認(rèn)知水平層次的任務(wù)，它要求學(xué)生探索和理解數(shù)學(xué)觀念、過程和關(guān)系的本質(zhì)，在多種表達(dá)形式之間建立聯(lián)系，教師至少在一開始時不會介入，需要學(xué)生獨立分析任務(wù)并找出對問題解決策略可能起限制作用的因素。

董林偉認(rèn)為，“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生運用材料和工具，在動手、動腦相協(xié)同的過程中，通過操作體驗、數(shù)學(xué)實驗、綜合實踐等活動，理解數(shù)學(xué)知識、探究數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的一種范式。

結(jié)合教學(xué)實踐，筆者認(rèn)為，“做數(shù)學(xué)”在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一種在實際操作過程中發(fā)現(xiàn)式與探究式的學(xué)習(xí)方式，其本身是學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)事實、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法和手段，也是滲透數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要載體?！白鰯?shù)學(xué)”分為兩個層次：一是學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的問題情境下調(diào)動各種感官參與數(shù)學(xué)認(rèn)知活動，通過觀察、操作、實驗、猜想、計算、推理、歸納、遷移等活動獲得抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理的直接體驗，在大腦里產(chǎn)生直覺、形成邏輯鏈；二是在掌握了足夠多的知識后，學(xué)生能主動探索未知的數(shù)學(xué)世界，并能運用數(shù)學(xué)工具和掌握的數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)事實或關(guān)聯(lián)，從而創(chuàng)造性地解決問題。

“做數(shù)學(xué)”在小學(xué)階段有很多任務(wù)類別，包含數(shù)據(jù)收集、方案設(shè)計、定期觀察、動手制作、實驗操作、數(shù)學(xué)游戲、探索規(guī)律等。需要指出的是，無論哪種類型，“做數(shù)學(xué)”絕不僅僅是對實物進(jìn)行操作，而是發(fā)展學(xué)生手腦協(xié)同、做思共生、融創(chuàng)一體的建構(gòu)活動，尤其在那些看上去簡單但處于基礎(chǔ)地位的核心概念、原理的學(xué)習(xí)上，更要強調(diào)學(xué)生通過動手“做”獲得親身感悟，形成數(shù)學(xué)知識“是什么”的本體論認(rèn)知，產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識“為什么是這樣”的方法論感悟，獲得對數(shù)學(xué)知識“可以向哪兒去”的精神追求。更為重要的是，學(xué)生能夠在通過“做數(shù)學(xué)”主動參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中獲得理性精神、創(chuàng)新意識及實踐能力的持續(xù)發(fā)展。

二、小學(xué)“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材的特征

澳大利亞墨爾本大學(xué)教授約翰·哈蒂曾對138項教學(xué)因素按照影響力進(jìn)行綜合分析，得出一個重要的結(jié)論：影響學(xué)生學(xué)業(yè)成就最重要的一個因素就是一定要讓學(xué)生產(chǎn)生對自己的挑戰(zhàn)性期望。的確，學(xué)生所投入的思維水平?jīng)Q定了他們將會學(xué)到什么，若提供的學(xué)習(xí)素材較為熟悉或簡單，學(xué)生就能以常規(guī)的方式完成一個熟記于心的程序任務(wù)，長此以往，學(xué)習(xí)則缺失了一種思維的高峰體驗。這與新課標(biāo)所倡導(dǎo)的學(xué)生應(yīng)具備在真實情境下解決復(fù)雜問題的能力的理念背道而馳。

因此，提供給學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材往往具備一定的挑戰(zhàn)性。起初，學(xué)生可能會產(chǎn)生擔(dān)心或者焦慮的心態(tài)，因為這樣的學(xué)習(xí)素材并沒有提供一條明顯的解決問題的途徑，也就是沒有一個可以直接得到答案的步驟可以用于解決整個問題。學(xué)生無法直接套用現(xiàn)有的知識，而是需要用算法化的復(fù)雜思維。這類學(xué)習(xí)素材要求學(xué)生能深層次地探索和理解概念，其重點在于學(xué)生能夠獨立或者在教師適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)下找到內(nèi)隱的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在歷盡“千辛萬苦”后才能到達(dá)成功的彼岸。

三、小學(xué)“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材的開發(fā)原則

反觀目前的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師衡量學(xué)生成功與否的標(biāo)準(zhǔn)主要是測試的分?jǐn)?shù)，而對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)動機(jī)、學(xué)習(xí)信念等關(guān)注不夠，由此造成了教學(xué)形式單一、學(xué)習(xí)過程乏味等問題。要打破這一常態(tài)，教師可以依托“做數(shù)學(xué)”，開發(fā)與課程內(nèi)容相契合且符合學(xué)生發(fā)展規(guī)律的學(xué)習(xí)素材，以此豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)歷程。考慮到教材的邏輯結(jié)構(gòu)、學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)狀以及不同年齡段學(xué)生的思維特點，筆者總結(jié)了以下開發(fā)策略。

（一）既“有趣”又“燒腦”

形式要“有趣”。保護(hù)好學(xué)生的好奇心是教師的首要責(zé)任。因此，素材的選取首先要考慮的就是素材本身要簡明易懂，學(xué)生不需要花大量的時間在閱讀和理解題意上；其次要新穎有趣，能極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、引發(fā)學(xué)習(xí)的好奇、調(diào)動學(xué)習(xí)的熱情，使學(xué)生以一種積極的態(tài)度浸入“做數(shù)學(xué)”的多重活動中。

內(nèi)容要“燒腦”。由“迷惑”到“頓悟”有時只在一念之間，“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材在這一念之間提供了更完整的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生在想象性的嘗試中不斷重構(gòu)認(rèn)知。教師可以設(shè)計層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生用一種放慢了的節(jié)奏去體味數(shù)學(xué)，通過操作將外部活動轉(zhuǎn)化成思維活動和心智活動，引領(lǐng)學(xué)生在“求而不得、迷霧繚繞”中發(fā)展高階思維。需要指出的是，“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材與一般的綜合實踐素材要有所區(qū)別，應(yīng)突出對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解。

例如，在學(xué)習(xí)完蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊第一單元“長方體和正方體”之后，教師通過創(chuàng)設(shè)“包裝多米諾骨牌”的情境，設(shè)計了“怎樣包裝，表面積最小”的“做數(shù)學(xué)”素材：一塊多米諾骨牌長3cm、寬1cm、高5cm，小致想送三塊多米諾骨牌給小遠(yuǎn)，可以怎樣包裝呢？這樣的活動既有較強的實踐性，又有一定的趣味性。學(xué)生通過實物操作和數(shù)據(jù)分析，初步感知包裝的表面積與重疊面的大小有關(guān)。

接著研究：如果小致送四塊多米諾骨牌給小遠(yuǎn)，可以怎樣包裝呢？這樣的活動可以為學(xué)生發(fā)現(xiàn)內(nèi)隱的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)積累經(jīng)驗，同時促使學(xué)生感受包裝方法的多樣性。（如圖1）

通過觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：重疊面越大，表面積越小。要想接著往下研究，必然要深入數(shù)學(xué)的內(nèi)核。然而，由形到數(shù)的分析非?！盁X”，需要教師引導(dǎo)學(xué)生有序地將這些圖形的表面積按從大到小的順序排一排。學(xué)生在數(shù)據(jù)分析中提出猜想：在體積一定的前提下，長、寬、高越接近，表面積越小。

（二）既“合力”又“合智”

“做數(shù)學(xué)”是一種共同合作、共同協(xié)商的活動，它強調(diào)了“做”的主體多元性與形式多樣性的特點。

首先，“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材要有利于學(xué)生采用分組的方式探究，構(gòu)建“伙伴式”學(xué)習(xí)共同體，推動學(xué)生通過合作、會話、協(xié)商等多維度交互的方式共同參與“做數(shù)學(xué)”活動。

其次，“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材要能適合不同學(xué)習(xí)風(fēng)格的學(xué)生，使其能夠最大限度地發(fā)揮長處和優(yōu)勢，建立學(xué)習(xí)自信。

最后，“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)交流與共享的平臺，允許學(xué)生的觀點在和其他學(xué)生以及教師共同建立的社會協(xié)商環(huán)境中受到質(zhì)疑與評論，討論的結(jié)果有可能使原來確定的、與當(dāng)前認(rèn)知有關(guān)的屬性增加或減少，在汲取眾人智慧后使復(fù)雜局面逐漸明朗一致起來。

例如，在上述“怎樣包裝，表面積最小”一課中，對“如果小致想送六塊多米諾骨牌給小遠(yuǎn)，要想用的包裝紙最少，你推薦他用哪種？”展開了探究。教師提供了八種方案（如圖2）。有的學(xué)生計算每種圖形的表面積，通過比較得出結(jié)論；有的學(xué)生基于已有經(jīng)驗，將目光聚焦于其中的幾種；還有的學(xué)生憑借數(shù)學(xué)直覺，直接探尋方法7和方法8。然而，交流中出現(xiàn)了爭議，有的學(xué)生覺得方法7所拼的圖形表面積最小，有的學(xué)生則認(rèn)為方法8的圖形表面積最小。由此，學(xué)生自發(fā)組建學(xué)習(xí)共同體，在協(xié)同性探究中進(jìn)一步尋找使用包裝紙最少的情況。經(jīng)過計算與比較、拼搭與推理，學(xué)生發(fā)現(xiàn)方法7與方法8都是使用包裝紙最少的情況。學(xué)生還通過希沃白板的克隆功能進(jìn)一步驗證，在分析拼擺的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種方法都重疊了相同個數(shù)的“3×5”的面，再次說明兩種方法都是表面積最小的情況。學(xué)生通過“合力”“合智”，從數(shù)與形兩個方面對探究活動做出了解釋與說明。

（三）既“成功”又“成長”

“做數(shù)學(xué)”的最終目的不只是滿足于完成某一項任務(wù)或獲取某些事實性的科學(xué)原理，還應(yīng)該更注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的各種能力、認(rèn)識現(xiàn)實世界的一般方法以及隨之而來的對數(shù)學(xué)價值的體悟和積極的態(tài)度與熱情等。具體表現(xiàn)為以下兩點：

1.在步步推進(jìn)中實現(xiàn)意義建構(gòu)。“做數(shù)學(xué)”可以讓學(xué)生體會操作材料的價值。這就要求教師設(shè)計的學(xué)習(xí)素材，應(yīng)符合不同思維水平的學(xué)生，使其在獲得成就感的同時，能感受到自我知識的局限性，產(chǎn)生進(jìn)一步研究的欲望，實現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“個性化”發(fā)展，最終完成對研究問題的意義建構(gòu)。

2.在完善認(rèn)知中增強數(shù)學(xué)情感?！白鰯?shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材還應(yīng)幫助學(xué)生從由教師指導(dǎo)下進(jìn)行學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向更自覺的學(xué)習(xí)，并有可能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得一些積極良好的情感體驗，在共享集體思維成果的基礎(chǔ)上對當(dāng)前所學(xué)形成較為全面、正確的理解，在徐徐展開的過程洗禮下獲得精神的成長與人格的提升。

上述課例中，學(xué)生經(jīng)歷了一系列的“做數(shù)學(xué)”活動，最終得出了結(jié)論：體積一定時，重疊的面越大，拼成長方體的長、寬、高越接近，表面積就越小。然而，教學(xué)不能只停留在操作層面，更要幫助學(xué)生根據(jù)所接受的準(zhǔn)則關(guān)注解決問題的一般化策略，促使學(xué)生對現(xiàn)有知識的學(xué)習(xí)走向“思維中的具體”。

學(xué)生體會到若增加小長方體的個數(shù)，不能每次都擺一擺，這樣太麻煩了，由此自發(fā)產(chǎn)生“在體積一定的前提下，想找出長、寬、高最接近的情況，有沒有什么更好的方法？”的訴求。以“包裝六塊多米諾骨牌最少需要90cm2”為例，構(gòu)建90＝（ ）×（ ）×（ ）這樣簡潔的表達(dá)方式。學(xué)生將五年級學(xué)習(xí)的分解質(zhì)因數(shù)遷移至此，通過先拆數(shù)再組合，最終找到90可以拆成3、5、6這三個比較接近的數(shù)的乘積。具備了這樣的解決問題的策略，無論包裝多少塊多米諾骨牌，學(xué)生都可以在不動手操作的情況下快速找到表面積最小的情況，真正地實現(xiàn)了“做”是為了“不做”。此環(huán)節(jié)更強調(diào)方法的習(xí)得和科學(xué)精神的養(yǎng)成，使學(xué)生形成鍥而不舍的鉆研精神和探究能力。

總之，“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材應(yīng)該為學(xué)生提供現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，為學(xué)生形成數(shù)學(xué)的思維方式提供有效載體。在今后的實踐中，筆者也將根據(jù)“做數(shù)學(xué)”和問題解決之間的循環(huán)反復(fù)過程統(tǒng)整開發(fā)學(xué)習(xí)素材。在此，筆者也呼吁廣大一線教師能夠關(guān)注到“做數(shù)學(xué)”，助力“做數(shù)學(xué)”真正成為課堂教學(xué)的常態(tài)。

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注：本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期重點自籌課題“小學(xué)數(shù)學(xué)‘動手做欄目的開發(fā)設(shè)計與案例研究”（編號：2021JY14-ZB37）的階段性研究成果。