田向紅

摘要：在高三復(fù)習(xí)備考中，有很多求簡(jiǎn)單多面體外接球表面積、體積的問題，這類題最終的落腳點(diǎn)就是求外接球的半徑，本文中結(jié)合歷年高考試題，重點(diǎn)介紹常用的補(bǔ)形法和交軌法兩種妙招.

關(guān)鍵詞：補(bǔ)形法；交軌法；多面體的外接球；立體幾何

簡(jiǎn)單多面體外接球問題是高考中的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，近年來在高考考查中呈上升的趨勢(shì)，涉及到的題型主要是求多面體外接球的表面積、體積以及球心到指定截面的距離等問題.

1 考情分析，明析方向

通過表1對(duì)2016-2023年全國(guó)卷高考試題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)關(guān)于棱錐（臺(tái)）的外接球問題基本上每年都會(huì)出現(xiàn)，題型集中在選擇題、填空題.試題有一定的綜合性，高考命題的角度主要有：求三棱錐（臺(tái)）外接球的體積、表面積以及球心到某個(gè)截面的距離等問題.解決此類問題的實(shí)質(zhì)是通過化歸與轉(zhuǎn)化思想，最終轉(zhuǎn)化為求外接球半徑R.這類題能有效培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，更好地加強(qiáng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).

2 妙招展示，解類旁通

下面給出求簡(jiǎn)單多面體外接球的兩個(gè)妙招.

妙招一：找支架

所謂找支架，就是把所給幾何體補(bǔ)形為一些比較容易求出外接球半徑的幾何體.該方法也叫補(bǔ)形法，適用的幾何體主要有正方體、正四面體、長(zhǎng)方體、墻角型三棱錐（三條側(cè)棱兩兩互相垂直）.求解此類題的要點(diǎn)是，正方體和長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為其外接球的直徑.

引例 已知長(zhǎng)、寬、高分別為3，4，5的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)都在同一球面上，求該球的表面積.