趙薇 徐運閣

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》提出高中數(shù)學(xué)的課程目標之一就是發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，學(xué)者章建躍也提出“教好數(shù)學(xué)就是落實核心素養(yǎng)”.那么，六大核心素養(yǎng)怎樣才能落地生根？什么樣態(tài)的知識教學(xué)有利于學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展？學(xué)者李松林認為問題驅(qū)動的整合式教學(xué)有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，并提出學(xué)習(xí)即持續(xù)的自主建構(gòu)，學(xué)生的學(xué)習(xí)及核心素養(yǎng)的發(fā)展最終依靠的都是學(xué)生本身的內(nèi)源性學(xué)習(xí)力.因此，教師需要做的就是通過自己精心設(shè)計的教學(xué)來驅(qū)動學(xué)生的內(nèi)源性學(xué)習(xí)力，無疑問題驅(qū)動式教學(xué)就是有效的教學(xué)模式之一.

1 教材分析

三角恒等變換是高一學(xué)生需要掌握的重點內(nèi)容，兩角差的余弦公式是“三角恒等變換”這一節(jié)的基礎(chǔ)和出發(fā)點，也是前面所學(xué)三角函數(shù)知識的繼續(xù)與發(fā)展.由于和與差內(nèi)在的聯(lián)系性與統(tǒng)一性，教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，使公式的證明過程盡量簡潔明了，易于學(xué)生理解和掌握.教材沒有直接給出兩角差的余弦公式，因此可以利用問題驅(qū)動學(xué)生結(jié)合本章已學(xué)的知識與方法進行自主探究，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、小心求證，鼓勵學(xué)生發(fā)散思維、創(chuàng)新方法.

2 教學(xué)目標

（1）掌握兩角差的余弦公式，能正確運用公式進行簡單的求值運算；

（2）經(jīng)歷用平面直角坐標系、單位圓、兩點間的距離公式推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程，進一步體會平面直角坐標系和單位圓對于三角函數(shù)的重要作用；

（3）在探究過程中，體會“轉(zhuǎn)化與化歸”“分類討論”“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想方法，體會數(shù)學(xué)思維的合理性與條理性.

3 教學(xué)過程

3.1 課程引入，提出問題

問題1 某城市電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上（如圖1），沿著山坡有一條坡度為15°，長為200 m的小路可以從山底直達塔底，在小路最底端測得電視信號發(fā)射塔塔尖的仰角為60°，求塔尖到地面的距離.

師生活動：教師播放PPT展示情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)符號，將現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題——如圖2，在Rt△ABD中，∠BAD=60°，點C在BD上，AC=200 m，∠BAC=15°，求BD的長度.學(xué)生初步思考，教師引導(dǎo)：在Rt△ABC中，AB=AC×cos∠CAB=200cos 15°；在Rt△ABD中，BD=AB×tan∠DAB=2003cos 15°.

追問1：cos 15°=？

追問2：cos 15°=cos（60°-45°）=？

追問3：更一般地，對于任意角α，β，cos（α-β）=？

設(shè)計意圖：從實際問題出發(fā)，有利于強調(diào)數(shù)學(xué)與實際的聯(lián)系，使學(xué)生感受到研究差角公式

的必要性，讓學(xué)生經(jīng)歷將現(xiàn)實情境抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).強調(diào)用已知角表示未知角，讓學(xué)生體會將未知轉(zhuǎn)化為已知的轉(zhuǎn)化與化歸思想.

3.2 聯(lián)系舊知，形成猜想

問題2 同學(xué)們之前見過哪些兩角差的余弦呢？

師生活動：有學(xué)生提到誘導(dǎo)公式（預(yù)設(shè)），教師展示6組誘導(dǎo)公式，并從中提取出3個cos（α-β）形式的式子cos（-α）=cos α，cos（π-α）=-cos α，cos π2-α=sin α.發(fā)現(xiàn)由這3個誘導(dǎo)公式可以推出α=0時，cos（α-β）=cos（-β）=cos β；α=π時，cos（α-β）=cos（π-β）=-cos β；α=π2時，cos（α-β）=cos π2-β=sin β.下面同樣令β取這三個特殊值，學(xué)生利用誘導(dǎo)公式，得到β=0時，cos（α-0）=cos α；β=π時，cos（α-β）=cos（α-π）=-cos α；β=π2時，cos（α-β）=cosα-π2=sin α.

追問1：觀察這6個式子的結(jié)果，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

師生活動：學(xué)生回答，教師總結(jié).這6個式子的結(jié)果涉及到cos β，sin β，cos α，sin α這4個三角函數(shù)值，于是猜想cos（α-β）與cos β，sin β，cos α，sin α有關(guān)！

追問2：cos（α-β），cos β，sin β，cos α，sin α的數(shù)學(xué)意義是什么？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義回答.當角的始邊與x軸的非負半軸重合時，cos α與sin α；cos β與sin β分別是角α，β的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標；cos（α-β）是角α-β的終邊與單位圓交點的橫坐標.

設(shè)計意圖：該環(huán)節(jié)體現(xiàn)了從特殊到一般的思想，聯(lián)系以前學(xué)過的誘導(dǎo)公式，讓學(xué)生經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)的過程，而不是直接告訴學(xué)生結(jié)論.最后引導(dǎo)學(xué)生從最本質(zhì)的定義出發(fā)說出各三角函數(shù)值的數(shù)學(xué)意義，也意在提示學(xué)生要注重對數(shù)學(xué)定義的理解和記憶.

3.3 探究發(fā)現(xiàn)，得出結(jié)論

利用平面直角坐標系、單位圓，結(jié)合兩點之間的距離公式，推導(dǎo)兩角差的余弦公式.

師生活動：學(xué)生動手操作，將上述數(shù)學(xué)符號在圖中表示出來.有學(xué)生將角α，β的終邊畫在了一起（預(yù)設(shè)），此時α=β+2kπ（k∈Z），對應(yīng)cos（α-β）=1.接著探究一般情況，假設(shè)α，β的終邊不重合，也就是α≠β+2kπ（k∈Z），提示學(xué)生不必糾結(jié)角α，β終邊的位置問題，因為cos（α-β）=cos（β-α），為了研究方便這里將角α的終邊畫在角β終邊的上方，就可得到角α，β的終邊與單位圓交點的坐標分別為P1（cos α，sin α），A1（cos β，sin β）.

問題3 角α-β的始邊、終邊分別是什么？

師生活動：有學(xué)生提出∠A1OP1就是α-β（預(yù)設(shè)）.教師提示，根據(jù)角的減法，角α-β的始邊就是角β的終邊，角α-β的終邊就是角α的終邊，則α-β=∠A1OP1+2kπ（k∈Z），但此時∠A1OP1沒有在標準位置上，也就是始邊沒有與x軸的非負半軸重合，無法得到cos（α-β），所以將角α-β的始邊、終邊一起旋轉(zhuǎn)，使其始邊與x軸的非負半軸重合，則角α-β的終邊與單位圓交點P的坐標為（cos（α-β），sin（α-β）），令單位圓與x軸正半軸的交點為A（1，0）.

問題4 觀察圖3，并聯(lián)系剛才得到的點的坐標，可以得到什么等量關(guān)系？

師生活動：學(xué)生回答|AP|與|A1P1|長度相等（預(yù)設(shè)）.教師提示根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知∠AOP與∠A1OP1相等，即兩圓心角相等，那么它們對應(yīng)的弦長也就相等，所以|AP|與|A1P1|相等.由兩點間的距離公式，可得（cos α-cos β）2+（sin α-sin β）2=［cos（α-β）-1］2+sin2（α-β），然后化簡，即可得到cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β.

追問：到此我們的探究過程就結(jié)束了嗎？

師生活動：教師指出上述結(jié)果是在α≠β+2kπ（k∈Z）的前提下得到的，還需驗證α=β+2kπ（k∈Z）時等式是否成立.經(jīng)驗證，特殊情況下等式依然成立.因此，當α，β為任意角時，都有cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β.

設(shè)計意圖：在該環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生分類討論，體現(xiàn)數(shù)學(xué)證明的嚴謹性.同時，讓學(xué)生知道平面直角坐標系和單位圓在解決三角函數(shù)問題中的重要作用，而且證明過程環(huán)環(huán)相扣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯性，有利于培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng).

3.4 牛刀小試，加深理解

問題5 利用兩角差的余弦公式求cos 15°的值.

引導(dǎo)學(xué)生通過15°=60°-45°和15°=45°-30°兩種方式求解，具體過程如圖4.

解法一：

cos 15°=cos（60°-45°）

=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45°

=12×22×32×22

=6+24

解法二：

cos 15°=cos（45°-30°）

=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°

=22×32×22×12

=6+24

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生掌握兩角差的余弦公式的應(yīng)用，拓展數(shù)學(xué)思維，體會角拆分的多樣性決定了變換的多樣性，但是最后都殊途同歸.

追問：現(xiàn)在能解決“求電視信號發(fā)射塔塔尖到地面的距離”問題嗎？

師生活動：學(xué)生計算，教師播放PPT展示答案.

3.5 深入思考，更新認知

問題6 問題5中分別令α，β為特殊值來求得cos 15°的值，能否令α，β為其他形式，從而得到一些公式？

師生活動：教師提示，若令β=-β，則可以得到cos［α-（-β）］=cos（α+β）=cos αcos β-sin αsin β，這個公式叫做兩角和的余弦公式；還可以令β=-α，則可以得到cos［α-（-α）］=cos 2α=cos 2α-sin 2α，這個公式是二倍角的余弦公式.給出課后思考題——利用今天所學(xué)的兩角差的余弦公式推導(dǎo)剩下的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式.

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生理解α，β的任意性，同時理解公式不僅能正用、逆用，還能變形用.

3.6 課堂小結(jié)，鞏固知識

問題7 本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？

（1）兩角差的余弦公式：cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β.

（2）體會到了平面直角坐標系、單位圓在解決三角函數(shù)問題中的便利性.

（3）解決數(shù)學(xué)問題的一些思想和方法：轉(zhuǎn)化與化歸、由特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合.

4 教學(xué)反思

4.1 反思學(xué)生

學(xué)生雖有一定的認知基礎(chǔ)，但在單位圓中證明兩角差的余弦公式，容易犯思維不嚴密的錯誤.教學(xué)時，需要引導(dǎo)學(xué)生正確表述終邊與單位圓的各個交點，找到正確的等量關(guān)系，再結(jié)合兩點間距離公式計算差角終邊與單位圓交點間的距離并化簡.

4.2 反思教學(xué)

本節(jié)課的主要流程為“創(chuàng)設(shè)問題情境—抽象數(shù)學(xué)問題—形成猜想—驗證猜想—得出結(jié)論—解決問題—深化結(jié)論”，以問題鏈的形式驅(qū)動學(xué)生思考，以問題情境和學(xué)生的舊知（誘導(dǎo)公式）為出發(fā)點，利用研究三角函數(shù)的常用工具——平面直角坐標系和單位圓，不斷探究，自然“生長”出新的知識點——兩角差的余弦公式，然后回歸到最開始的問題情境解決問題，最后深化主題，將公式的變形應(yīng)用留作課后思考題，引發(fā)學(xué)生的進一步思考.整個教學(xué)過程讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，其間滲透了數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).