于沛琳 陳建強(qiáng)

摘要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在教學(xué)中可以借助APOS理論促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，通過(guò)APOS理論的四個(gè)教學(xué)階段探尋高中生數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的心理過(guò)程，本文中以“指數(shù)函數(shù)的概念”教學(xué)為例，充分聯(lián)系學(xué)生的原有知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，幫助學(xué)生建構(gòu)更加完整系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu).

關(guān)鍵詞：APOS理論；指數(shù)函數(shù)；教學(xué)設(shè)計(jì)

由于概念本身的抽象性會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)難度增大，且數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)效果與學(xué)生在課堂上的主觀能動(dòng)性和主體地位息息相關(guān)，因此教學(xué)中要以學(xué)生的發(fā)展為出發(fā)點(diǎn)，探索高效的教學(xué)模式.本文中以“指數(shù)函數(shù)的概念”為例，結(jié)合APOS理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的探究.

1 APOS理論

APOS由Action，Process，Object和Schemas的首字母縮寫組成，它最初是由美國(guó)學(xué)者埃德·杜賓斯基在皮亞杰的反射抽象概念基礎(chǔ)上發(fā)明的.APOS理論指出，個(gè)體通過(guò)活動(dòng)階段、過(guò)程階段、對(duì)象階段和圖式階段四個(gè)環(huán)節(jié)，來(lái)掌握數(shù)學(xué)的基本原則，從而形成一個(gè)完整的、有機(jī)的、有意義的、有系統(tǒng)的、有規(guī)律的數(shù)學(xué)思維模型.

APOS理論是一種從學(xué)習(xí)者的角度分析學(xué)習(xí)者如何階段性地學(xué)習(xí)概念的學(xué)習(xí)理論.學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)過(guò)程一般要經(jīng)歷APOS理論的前三個(gè)階段.通過(guò)前三個(gè)階段和其他與模式相關(guān)的數(shù)學(xué)概念的構(gòu)成形成圖式，達(dá)到對(duì)問(wèn)題情境內(nèi)外的概念的理解.

如圖1，活動(dòng)階段是個(gè)體將對(duì)象轉(zhuǎn)換為外部對(duì)象，需要逐步說(shuō)明如何執(zhí)行活動(dòng).通過(guò)對(duì)活動(dòng)的反思，人可以將活動(dòng)內(nèi)化，并進(jìn)行稱之為過(guò)程的內(nèi)部心理建構(gòu)，個(gè)人可以在沒(méi)有外部刺激的情況下進(jìn)行轉(zhuǎn)變.當(dāng)個(gè)體將過(guò)程抽象為一個(gè)整體并且可以對(duì)這個(gè)過(guò)程執(zhí)行轉(zhuǎn)換時(shí)，即構(gòu)造了一個(gè)對(duì)象.最后，圖式是個(gè)人的活動(dòng)、過(guò)程、對(duì)象和其他圖式的集合，這些圖式由一些一般原則聯(lián)系起來(lái)，在個(gè)人的頭腦中形成一個(gè)連貫的框架.四個(gè)階段的教學(xué)應(yīng)該有條不紊，逐步深入，不可跨越.也就是說(shuō)，教學(xué)不應(yīng)該局限于具體的、直觀的階段，而應(yīng)該通過(guò)深入的思考和實(shí)踐，將數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為抽象的的知識(shí).

2 基于APOS理論的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在指數(shù)函數(shù)的教學(xué)提示中指出：“指數(shù)函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)關(guān)注指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪、再到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的拓展過(guò)程，掌握指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和變化規(guī)律.”

2.1 教材內(nèi)容與分析

在必修一人教A版第四章第二節(jié)“指數(shù)函數(shù)”第一課中，指數(shù)函數(shù)被視為一類關(guān)鍵的初等函數(shù)，它不僅可以幫助學(xué)生掌握對(duì)數(shù)函數(shù)和等比數(shù)列的基礎(chǔ)概念，還可以利用這些概念的學(xué)習(xí)更好地理解和掌握相關(guān)基礎(chǔ)概念.

2.2 學(xué)情分析

學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的過(guò)程可以說(shuō)是一個(gè)漫長(zhǎng)而復(fù)雜的過(guò)程，因?yàn)樾枰獜某踔芯烷_(kāi)始積累函數(shù)的基本概念，需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行更加系統(tǒng)的分析，以及更好地理解函數(shù)的特征、運(yùn)算規(guī)律與變換規(guī)律，這樣才能更好地掌握指數(shù)函數(shù)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，以及思考、分析、總結(jié)的能力，提升自身的綜合素養(yǎng).

2.3 教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn)：深入研究指數(shù)函數(shù)的定義、特性，以及在實(shí)際應(yīng)用中的具體表現(xiàn).

難點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)模型的理解.

3 教學(xué)過(guò)程

3.1 活動(dòng)階段（Action）——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，激發(fā)想象

“指數(shù)函數(shù)的概念”的內(nèi)容相對(duì)比較抽象，因此傳統(tǒng)教學(xué)的重點(diǎn)一直放在如何讓學(xué)生初步理解指數(shù)函數(shù)的概念之上，只有理解了指數(shù)函數(shù)到底是什么，學(xué)生才有可能將其與圖象、性質(zhì)等內(nèi)容結(jié)合起來(lái).在活動(dòng)階段，讓學(xué)生動(dòng)手參與活動(dòng)，比如，拿一張1 mm厚的紙，通過(guò)反復(fù)折疊分析折疊次數(shù)和折疊后紙張厚度的關(guān)系，進(jìn)而真切感受函數(shù)的存在.通過(guò)直觀感受和思考，學(xué)生很容易在活動(dòng)階段就獲得對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念的初步認(rèn)知，具備進(jìn)入過(guò)程階段的基礎(chǔ).

活動(dòng)1：把一張1 mm厚的紙對(duì)折1次，可以得到紙張的厚度為2 mm，對(duì)折2次得到紙張的厚度為4 mm，對(duì)折3次得到紙張的厚度為8 mm，如此下去，設(shè)第x次對(duì)折得到的紙張的厚度為y mm.

問(wèn)題1 紙張厚度y與對(duì)折次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是什么？如何描述這兩個(gè)變量之間的關(guān)系？

預(yù)設(shè)：y=2x.

活動(dòng)2：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），若年衰減率為p，把剛死亡生物體內(nèi)碳14含量理解為1.

問(wèn)題2 死亡生物體內(nèi)碳14的含量y與其死亡年數(shù)x存在什么樣的相關(guān)性？

預(yù)設(shè)：y=（1－p）x（0＜p＜1）.

設(shè)計(jì)意圖：一開(kāi)始，就清楚地指出要研究的是函數(shù)變量之間的相互影響.學(xué)生可以通過(guò)分析函數(shù)變量之間的關(guān)系，來(lái)理解指數(shù)函數(shù)的形成規(guī)律.

3.2 過(guò)程階段（Process）——抽象本質(zhì)，初步概括

過(guò)程階段是掌握概念的關(guān)鍵階段.這一階段中學(xué)生需要經(jīng)過(guò)反思活動(dòng)、抽象分析過(guò)程、組織數(shù)學(xué)語(yǔ)言、形成數(shù)學(xué)概念這四個(gè)環(huán)節(jié)，因此，要給學(xué)生足夠的思考時(shí)間.比如，在活動(dòng)階段，學(xué)生經(jīng)歷折紙活動(dòng)之后進(jìn)行思考，探究折疊后紙張的厚度和折疊的次數(shù)之間的抽象關(guān)系，并將這種抽象關(guān)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)，這一系列的過(guò)程就是對(duì)指數(shù)函數(shù)本質(zhì)概念的思考過(guò)程.一旦學(xué)生思考完畢，就可以形成自己的數(shù)學(xué)概念.由于學(xué)生在接觸指數(shù)函數(shù)之前己經(jīng)有一定的函數(shù)基礎(chǔ)，因此在思考的過(guò)程中能夠比較容易提煉出其中的數(shù)學(xué)關(guān)系.此時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)積極鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行歸納，可以采用列表法（如表1，表2）幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)概念.

問(wèn)題3 由示例得到的兩個(gè)關(guān)系式y(tǒng)=2x（x∈N）和y=（1－p）x（0＜p＜1），它們是函數(shù)嗎？

預(yù)設(shè)1：是函數(shù).

預(yù)設(shè)2：不是函數(shù).

師：經(jīng)過(guò)仔細(xì)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意一個(gè)x是都有唯一的y與之相對(duì)應(yīng)，所以它們是函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解并應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)，從而更好地掌握函數(shù)的概念和應(yīng)用，并能夠輕松地推斷出相關(guān)結(jié)果.

問(wèn)題4 這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式有什么共同特征？

預(yù)設(shè)：這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式的未知量x都在指數(shù)的位置.

師：非常好.我們通常把未知數(shù)x出現(xiàn)在指數(shù)位置的函數(shù)表達(dá)式稱為指數(shù)函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)比觀察，探究指數(shù)函數(shù)的各種特性，學(xué)生可以更好地理解它們的整體性質(zhì).

通過(guò)對(duì)比兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，幫助學(xué)生更好地理解它們之間的差異，從而順利歸納總結(jié)出指數(shù)函數(shù)的一般表達(dá)式.

問(wèn)題5 如何用一般形式來(lái)表達(dá)剛才提到的函數(shù)？

預(yù)設(shè)：y=ax.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)的深入研究，學(xué)生可以更清晰地理解其一般形式，從而更好地掌握指數(shù)函數(shù)的基本概念.

3.3 對(duì)象階段（Object）——加強(qiáng)鞏固，概念深化

當(dāng)學(xué)生能夠自由地把“過(guò)程”作為一個(gè)整體進(jìn)行轉(zhuǎn)換和活動(dòng)的時(shí)候，就已經(jīng)進(jìn)入到了對(duì)象階段.在“活動(dòng)”和“過(guò)程”的基礎(chǔ)上，“對(duì)象”的出現(xiàn)，使得抽象的概念得到了具體的表達(dá)，并且變得更加形式化、精確，從而讓學(xué)生能夠更好地掌握與之相關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算.

問(wèn)題6 指數(shù)函數(shù)y=ax中的底數(shù)a的取值是否受到限制？a取任何數(shù)都可以嗎？

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)底數(shù)a分三種情況進(jìn)行討論：

（1）若a＜0，會(huì)有什么問(wèn)題？

（2）若a=0，會(huì)有什么問(wèn)題？

（3）若a=1，又會(huì)怎么樣？

預(yù)設(shè)：（1）若a＜0，對(duì)于x=12，14，……，ax無(wú)意義.

（2）若a=0，x＞0時(shí)，ax=1，x≤0時(shí)，ax無(wú)意義.

（3）若a=1，ax=1是常量，沒(méi)有研究的必要.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)數(shù)形結(jié)合和小組討論，幫助學(xué)生關(guān)注并思考底數(shù)的取值范圍，并通過(guò)實(shí)際操作來(lái)驗(yàn)證結(jié)論，最終得出底數(shù)的取值范圍是a＞0且a≠1.

3.4 圖式階段（Schemas）——初步建構(gòu)，形成圖式

對(duì)象階段只是意味著學(xué)生對(duì)于指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識(shí)的掌握，而對(duì)相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用才是教學(xué)的最終目的.知識(shí)的靈活運(yùn)用需要學(xué)生將指數(shù)函數(shù)的知識(shí)與自己原有的函數(shù)知識(shí)體系統(tǒng)一起來(lái)，形成一個(gè)初步的概念圖式.這樣學(xué)生在之后遇到任何與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，都會(huì)首先考慮這些問(wèn)題與自己的圖式是否有相似之處，是否能夠利用自己的圖式來(lái)解答這一問(wèn)題.因此，在圖式階段，教師需要用具體的實(shí)例來(lái)幫助學(xué)生強(qiáng)化運(yùn)用能力.

在這個(gè)階段，我們的目標(biāo)是幫助學(xué)生從已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取出新的概念，并幫助他們建立綜合的心理模型，擴(kuò)展這些概念的范圍，以便更好地理解和運(yùn)用新的知識(shí).在這個(gè)階段，一方面通過(guò)綜合訓(xùn)練，幫助學(xué)生將新的概念與他們現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行綜合思考；另一方面通過(guò)課堂總結(jié)，幫助他們使用簡(jiǎn)單的思維導(dǎo)圖或結(jié)構(gòu)圖來(lái)鞏固對(duì)新概念的定義和本質(zhì)特征的理解.

例1 判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)：

（1）y=2x；? （2）y=（－2）x；

（3）y=2x+1；

（4）y=2－x；? （5）y=2x+1.

例2 已知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1），

且f（3）=π，求f（0），f（1），f（－3）的值.

通過(guò)深入研究發(fā)現(xiàn)，圖式階段不僅是將概念應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程，而且還能幫助學(xué)生更好地掌握指數(shù)函數(shù)的知識(shí)及應(yīng)用.

APOS理論的四個(gè)步驟可以幫助我們更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，從而更好地運(yùn)用它們解決問(wèn)題.使用APOS理論來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)課堂，除了充分利用具體的案例幫助學(xué)生掌握指數(shù)函數(shù)的定義外，還需根據(jù)課堂的具體情況，充分發(fā)揮APOS理論的優(yōu)勢(shì)，靈活運(yùn)用，進(jìn)而更好地指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí).