黎華斌

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)；大單元教學(xué)

前言

概率統(tǒng)計(jì)涉及的思想方法與其他模塊的數(shù)學(xué)知識(shí)相比有很大差別，即實(shí)用性強(qiáng)，教師如果在短時(shí)間內(nèi)上完全部課程，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的習(xí)題訓(xùn)練少，不能進(jìn)行客觀分析，解相關(guān)問(wèn)題時(shí)難以得分．基于此教師要優(yōu)化高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，以大單元教學(xué)的模式整合教學(xué)內(nèi)容，科學(xué)分配課時(shí)，讓學(xué)生能夠深入學(xué)習(xí)與思考概率統(tǒng)計(jì)方面的知識(shí)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

一、概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)要求

概率部分的知識(shí)在高中數(shù)學(xué)人教版教材必修二中有提及，要求學(xué)生在初中概率知識(shí)基礎(chǔ)上，深化理解概率的概念與性質(zhì)，如什么是樣本點(diǎn)、樣本空間、事件與它們之間的基本關(guān)系等，從數(shù)學(xué)的角度知道隨機(jī)現(xiàn)象，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．同時(shí)該部分內(nèi)容講解了概率的計(jì)算，并分別提出古典概型（使用計(jì)算原理排列數(shù)組合數(shù)分析）、乘法公式和加法公式（條件概率和全概率公式），提出幾種特殊的隨機(jī)變量中的均值方差、概率分布，隨機(jī)變量的分布等，此部分的內(nèi)容對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、建模與邏輯推理能力有重要意義．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)部分的知識(shí)要求學(xué)生在日常生活中學(xué)會(huì)數(shù)據(jù)的收集，能夠使用統(tǒng)計(jì)的基本方法進(jìn)行決斷，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，掌握統(tǒng)計(jì)部分的知識(shí)包括數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、直觀表示、數(shù)據(jù)的收集等，以及抽樣的方法、獲取數(shù)據(jù)的途徑、用樣本估計(jì)統(tǒng)計(jì)等知識(shí)，利用科學(xué)的方法分析數(shù)據(jù)，掌握一元線性回歸模型，使用2x2列聯(lián)表進(jìn)行檢驗(yàn)，

二、基于高考試卷對(duì)概率統(tǒng)計(jì)考題的分析

對(duì)近五年高考數(shù)學(xué)試卷中概率統(tǒng)計(jì)考題進(jìn)行分析，筆者發(fā)現(xiàn)試卷中以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與邏輯推理能力為主呈現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，主要內(nèi)容有排列內(nèi)容、計(jì)數(shù)原理、古典概型、多項(xiàng)式運(yùn)算、二項(xiàng)式定理、利用隨機(jī)變量分析事件、分布問(wèn)題、獨(dú)立性檢驗(yàn)等，注重學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的本源學(xué)習(xí)．例如，2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷中第2題就是考查頻率分布直方圖中讀取數(shù)據(jù)的知識(shí)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力：第10題考查的是排列組合問(wèn)題與古典概型的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力，第17題考查的是樣本頻率、獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查學(xué)生對(duì)不確定性問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)決斷能力．另外近幾年的考題也越來(lái)越體現(xiàn)生活化，不再固定于一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是利用實(shí)際生活情境引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)．

三、高中概率統(tǒng)計(jì)大單元教學(xué)的研究

（一）概率統(tǒng)計(jì)大單元教學(xué)的目標(biāo)

從逆向角度分析學(xué)生掌握的知識(shí)，大單元教學(xué)的目的是讓學(xué)生在概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，建立能夠用樣本估計(jì)總體與統(tǒng)計(jì)推斷的思想，進(jìn)而解答生活中與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的不確定的問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)的過(guò)程是需要學(xué)生在研究完基礎(chǔ)問(wèn)題之后，能夠合理使用調(diào)查方法，收集對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，然后通過(guò)數(shù)據(jù)的處理，對(duì)其進(jìn)行推斷．因此，概率統(tǒng)計(jì)大單元的教學(xué)目標(biāo)為：1．通過(guò)完整的統(tǒng)計(jì)推理過(guò)程，能夠了解問(wèn)題結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)有好有壞，而不是通過(guò)對(duì)與錯(cuò)判斷，基于此選擇適合的調(diào)查形式，有效整理數(shù)據(jù)的圖表；2．學(xué)習(xí)分層抽樣、隨機(jī)抽樣，讓學(xué)生能夠在不同的情境中選擇最正確的抽樣方法，抽取最有代表性的樣本，發(fā)展學(xué)生的抽象概念；3．學(xué)生學(xué)會(huì)使用概率分布直方圖，了解各種呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的圖標(biāo)的優(yōu)缺點(diǎn)，特別是扇形統(tǒng)計(jì)圖、頻率分布直方圖等；4.了解頻率分布直方圖，能夠正確計(jì)算并判斷數(shù)據(jù)的中位數(shù)、頻率、眾數(shù)、方差等，知道這些數(shù)據(jù)特征，建立分析數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；5．學(xué)會(huì)獨(dú)立性檢驗(yàn)，知道怎樣計(jì)算并利用其判斷產(chǎn)生相關(guān)問(wèn)題錯(cuò)誤的概率：6．了解相關(guān)性的定量分析方法與定性，知道散點(diǎn)圖分析數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，了解求解系數(shù)r的相關(guān)公式與對(duì)應(yīng)范圍，進(jìn)而正確計(jì)算出r的值：7．學(xué)會(huì)線性回歸方程，可以將非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從最小二乘法算線性回歸方程系數(shù)的角度，計(jì)算線性回歸方程系數(shù)，通過(guò)方程的轉(zhuǎn)化體會(huì)復(fù)雜問(wèn)題的解決；8.了解決定系數(shù)R2，了解判斷回歸模型好壞的幾種方法，如殘差平方和、殘差圖等，

在學(xué)生完成概率的部分知識(shí)學(xué)習(xí)后，如概率乘法公式、排列組合等，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)更有深度的知識(shí)內(nèi)容，用于更精準(zhǔn)地計(jì)算隨機(jī)變量的均值及方差：1．通過(guò)計(jì)數(shù)原理的分析，學(xué)會(huì)分類分析結(jié)果、分析結(jié)果，讓學(xué)生知道什么是分布計(jì)數(shù)原理，形成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2．學(xué)生通過(guò)組合數(shù)的計(jì)算與排列數(shù)的計(jì)算的學(xué)習(xí)，掌握概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)題型的解法，順利解答分配問(wèn)題、定序問(wèn)題等；3．學(xué)生學(xué)會(huì)二項(xiàng)式定理，可以從計(jì)數(shù)原理的角度理解二項(xiàng)式系數(shù)，并利用賦值的方法分析系數(shù)和問(wèn)題，形成數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)；4．學(xué)習(xí)概率的本質(zhì)定義；5學(xué)會(huì)概率的計(jì)算方法；6．學(xué)會(huì)特殊的隨機(jī)變量概率分布、均值方差計(jì)算方法．

（二）概率統(tǒng)計(jì)大單元課時(shí)設(shè)計(jì)

概率統(tǒng)計(jì)大單元教學(xué)設(shè)計(jì)的邏輯順序就是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜解釋清楚基本概念，引入復(fù)雜的情境培養(yǎng)學(xué)生基本概念的運(yùn)用能力．基于此課時(shí)的設(shè)計(jì)為：教授樣本空間、樣本點(diǎn)、隨機(jī)事件的基本概念（1課時(shí)），通過(guò)上節(jié)課講述的概念解釋古典概型，進(jìn)行復(fù)雜古典概型概率的計(jì)算（1課時(shí)）；教授概率的性質(zhì)，并事件、積事件、交事件的概念與其概率的計(jì)算（2課時(shí)）；獨(dú)立事件的概率運(yùn)算法則（1課時(shí)）；習(xí)題課（1課時(shí)）；頻率分布直方圖（1課時(shí)）；通過(guò)對(duì)頻率分布直方圖的分析，估計(jì)方差與平均數(shù)（1課時(shí)）；通過(guò)對(duì)頻率分布直方圖估計(jì)百分位數(shù)（1課時(shí)）；習(xí)題課（1課時(shí)）；計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)（2課時(shí)）．

（三）概率統(tǒng)計(jì)大單元教學(xué)過(guò)程分析

1．?dāng)?shù)據(jù)特征的教學(xué)

在初中學(xué)生初步學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，如幾何數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、頻率與平均數(shù)，了解了樣本與總體的概念．但是初中與高中對(duì)于這些數(shù)學(xué)要素的運(yùn)用在不同的情境，即初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)背景是直接的、靜態(tài)的，而高中階段相關(guān)數(shù)據(jù)的背景則是動(dòng)態(tài)的、估計(jì)的．高中教材中使用的是頻率分布直方圖為學(xué)生呈現(xiàn)數(shù)據(jù)特征與數(shù)據(jù)的計(jì)算，教師可以直接使用教材中給出的圖示創(chuàng)建情境，帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)對(duì)比判斷出數(shù)據(jù)特征，以此感受統(tǒng)計(jì)推斷中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維、不確定思維，同時(shí)知道對(duì)于統(tǒng)計(jì)判斷評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)是“好和壞”．教師可以在講授此部分內(nèi)容之后，再以此為情境直接教授學(xué)生抽樣方法：知道如何才可抽出適合的樣本，在學(xué)生學(xué)會(huì)此部分知識(shí)之后在教授后面的知識(shí)點(diǎn)．教師通過(guò)重新調(diào)整教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行大單元教學(xué)，讓學(xué)生了解初中與高中階段對(duì)于概念統(tǒng)計(jì)知識(shí)學(xué)習(xí)的差異，同時(shí)不會(huì)在后期學(xué)習(xí)時(shí)再重新復(fù)習(xí)之前的內(nèi)容，既能減少反復(fù)學(xué)習(xí)，又能幫助學(xué)生明確在統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí)中選擇合適方法的重要性，從而確定學(xué)習(xí)目標(biāo)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)數(shù)據(jù)特征的推斷與計(jì)算，選擇最適合的方法是概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域中比較重要的內(nèi)容，也是易錯(cuò)點(diǎn)，教師在此重新整合知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，可以簡(jiǎn)化教學(xué)流程，加強(qiáng)學(xué)生的理解．

2．雙變量數(shù)據(jù)分析的教學(xué)

高中階段的雙變量數(shù)據(jù)分析的教學(xué)主要內(nèi)容是相關(guān)性分析、地理性檢驗(yàn)、建立回歸方程預(yù)測(cè)等．此部分知識(shí)內(nèi)容是存在矛盾點(diǎn)的，如果從操作方法角度教學(xué)，只要學(xué)生正確計(jì)算、記住結(jié)論就能在考試中獲得滿分，基于此教師會(huì)將教學(xué)重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算上．但是這種教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的深入學(xué)習(xí)是有影響的．如果教師在建模與計(jì)算基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，還從根本上講述概念的由來(lái)，那么能夠更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)公式模型，加深記憶．但是這種方法對(duì)學(xué)生的要求較高，需要學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系，需要教師為學(xué)生提供更多自主思考與合作探究的時(shí)間內(nèi)化知識(shí)．雖然教材中將相關(guān)性的知識(shí)放在獨(dú)立性檢驗(yàn)的前面，但是經(jīng)過(guò)作者教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)相關(guān)性部分的內(nèi)容較多，且獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)點(diǎn)比較集中，兩者關(guān)聯(lián)性不大，所以也可以將獨(dú)立性檢驗(yàn)的內(nèi)容放在相關(guān)性部分前面進(jìn)行教學(xué)，所以教師先進(jìn)行對(duì)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的教學(xué)，然后具體研究相關(guān)性也是可以的．

獨(dú)立性檢驗(yàn)，就是檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否有關(guān)系，兩個(gè)變量是獨(dú)立的前提下，這兩個(gè)變量無(wú)論怎樣取值也都是互相獨(dú)立的，再根據(jù)獨(dú)立事件的概率計(jì)算進(jìn)行倒推，得到頻數(shù)的估計(jì)值，若此與對(duì)應(yīng)的實(shí)際統(tǒng)計(jì)值相近，則表明這兩個(gè)變量是獨(dú)立的，如果與對(duì)應(yīng)的實(shí)際統(tǒng)計(jì)值相差較多，則表示兩個(gè)變量是有關(guān)系的，假設(shè)不成立．這種說(shuō)法有一定風(fēng)險(xiǎn)，即在互相獨(dú)立的時(shí)候的確可能出現(xiàn)差距較大的問(wèn)題，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)的不確定性特點(diǎn)，小概率事件發(fā)生的可能性小，但也會(huì)發(fā)生，在講述完上述知識(shí)點(diǎn)之后，學(xué)生一般都能理解，并根據(jù)此推理，可知頻數(shù)估計(jì)值與實(shí)際統(tǒng)計(jì)值的差值有四個(gè)，怎樣將這幾個(gè)差值組成一個(gè)能夠進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量？小概率事件發(fā)生的可能性是多少？這兩個(gè)問(wèn)題是學(xué)生在學(xué)習(xí)此部分知識(shí)之后仍然會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)．下面教師來(lái)幫助學(xué)生答疑解惑：差值能夠確定正負(fù)號(hào)，若使用差值的方法分析，可以將其標(biāo)準(zhǔn)化，即將差值的平方和都除以對(duì)應(yīng)的頻數(shù)估計(jì)值，將上面四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的差值相加，組成新的統(tǒng)計(jì)量x2，此處所說(shuō)的“標(biāo)準(zhǔn)化”，是對(duì)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化，根據(jù)方差與均值的性質(zhì)，能夠推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)化后的值Z是0，方差為1．而此處的偏差也服從正態(tài)分布，所以標(biāo)準(zhǔn)后的差值則服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以近似服從自由度是1的X2分布，因?yàn)檫@部分內(nèi)容不是高中生必須掌握的，所以教師通過(guò)表格為學(xué)生呈現(xiàn)局部概率的分布數(shù)據(jù)，但是這種簡(jiǎn)單的描述還不能讓學(xué)生對(duì)知識(shí)形成透徹地了解，根據(jù)相關(guān)性的分析來(lái)說(shuō)，如果學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)不足，教師可以嘗試直接給出幾個(gè)關(guān)鍵的形式，例如高中階段涉及的X2概率分布圖，教師可以直接講解，只要學(xué)生了解就可以，并能根據(jù)表格中的X2概率的關(guān)系進(jìn)行正確判斷．這一過(guò)程強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)整個(gè)發(fā)展過(guò)程的理解，弱化個(gè)別知識(shí)點(diǎn)的深入了解．

獨(dú)立性檢驗(yàn)講解之后再進(jìn)行相關(guān)性知識(shí)的教學(xué)就簡(jiǎn)單得多，只要學(xué)生能夠判斷出變量的相關(guān)性，并能在散點(diǎn)圖中計(jì)算r值．在計(jì)算方面能夠根據(jù)殘差平方和、殘差圖中計(jì)算r，R2等值；在建模方面可通過(guò)構(gòu)建非線性回歸方程、線性回歸方程．教學(xué)重點(diǎn)是能夠根據(jù)計(jì)算進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判斷，難點(diǎn)是理解公式概念、精準(zhǔn)計(jì)算．例如，相關(guān)系數(shù)的范圍是-1≤r≤1，對(duì)相關(guān)系數(shù)范圍的理解，可總結(jié)為“多維向量夾角的余弦值角度”，另外線性回歸系數(shù)的公式推導(dǎo)依據(jù)是最小二乘法，可以理解為差值是用差的完全平方進(jìn)行處理的．人教版高中數(shù)學(xué)教材中對(duì)于∑的運(yùn)算性質(zhì)理解，可以通過(guò)求導(dǎo)的形式讓學(xué)生加強(qiáng)理解，需要教師為學(xué)生講述清楚，并單獨(dú)使用一節(jié)課講解概念，在學(xué)生們理解了之后再專門(mén)開(kāi)展一節(jié)建模課，如此才能讓學(xué)生更扎實(shí)地掌握知識(shí)，對(duì)于非線性回歸方程的內(nèi)容，此部分雖然是難點(diǎn)，但是原理比較簡(jiǎn)單，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生多練習(xí)，在解題中理解本質(zhì)．

3．計(jì)數(shù)原理的教學(xué)

在解答隨機(jī)變量的概率分布問(wèn)題的時(shí)候，學(xué)生可能出現(xiàn)的障礙就是在隨機(jī)變量中各個(gè)取值包含的事件，事件的概率是使用什么方法分析的？用概率的性質(zhì)計(jì)算還是用等可能結(jié)果的分析，這兩種方法總結(jié)為樣本空間的分析．學(xué)生在解答這部分知識(shí)相關(guān)問(wèn)題的時(shí)候，容易出現(xiàn)結(jié)果分析不準(zhǔn)確的情況，作為計(jì)算原理的基礎(chǔ)運(yùn)用知識(shí)的講解，教師需要結(jié)合本班學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)情，思考講解到哪個(gè)深度，如果學(xué)生們數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高，教師就可帶領(lǐng)學(xué)生深入分析；如果學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)一般，就只簡(jiǎn)單介紹樣本空間的分析，緊扣分布技術(shù)原理分析，必要時(shí)可借助樹(shù)狀圖進(jìn)行演示教學(xué)，讓學(xué)生了解排列與組合的順序性與無(wú)序性．

4．實(shí)際情境分析

順序是學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理的重難點(diǎn)，需要教師為學(xué)生展示，并引入情境展示．如分配情境、定序情境等．而教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深入分析的時(shí)候可以不以順序展開(kāi)，直接引入多樣化的情境帶領(lǐng)學(xué)生分析，體會(huì)排列數(shù)組合數(shù)的工具性，讓學(xué)生在實(shí)際情境中獲得感悟．

教師借助實(shí)際情境可以帶領(lǐng)學(xué)生在具體的情境中進(jìn)行邏輯推理與數(shù)據(jù)分析．例如，歷史中分賭金的問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析求值，因?yàn)槭穷A(yù)測(cè)，可以體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)推斷的意義：另外通過(guò)高爾頓板與保險(xiǎn)問(wèn)題，n次傳球后小明拿到球的概率等，利用學(xué)生感興趣的事件讓其使用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解答問(wèn)題，內(nèi)化知識(shí)點(diǎn)，能夠達(dá)到對(duì)知識(shí)的一般認(rèn)知到形式認(rèn)知．

總的來(lái)說(shuō)，大單元教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、理性思維能力、建模能力、計(jì)算能力．例如，解二項(xiàng)式定理問(wèn)題的時(shí)候需要用到數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)模型；在解排列組合問(wèn)題的時(shí)候需要學(xué)生綜合地進(jìn)行推理判斷；在解概率問(wèn)題的時(shí)候要運(yùn)用推理與模型思想等．另外在本單元的教學(xué)中教師還要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維，例如，樣本空間就是抽象的概念，需要學(xué)生將已有經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為新知，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．

結(jié)論

綜上，高中概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)很重要，是學(xué)生后期學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，但是學(xué)生要想完全掌握概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)是不容易的，需要有更多知識(shí)做基礎(chǔ)．所以教師在教授概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的時(shí)候要結(jié)合學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)循序漸進(jìn)地展示概率基本概念與本質(zhì)，逐漸深化內(nèi)涵，讓學(xué)生慢慢了解難度更大的知識(shí)．教師要先設(shè)置明確的大單元教學(xué)目標(biāo)，然后整合高中階段概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，能夠有的放矢地合理安排課時(shí)，輔助學(xué)生深度理解概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，