高凱亮 周沁

【摘要】整式的除法是整式的四則運(yùn)算內(nèi)容，各版本教材對(duì)該內(nèi)容的編寫有所不同，筆者所在地區(qū)使用的蘇科版教材“沒有”編排該內(nèi)容.為了給七年級(jí)的學(xué)生答疑解惑，對(duì)四個(gè)不同版本教材整式的除法內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比分析，在研究整式的乘法模塊后增加“整式的除法”內(nèi)容，并闡述對(duì)筆者的教學(xué)啟示.

【關(guān)鍵詞】整式的除法；教材對(duì)比；教學(xué)啟示

1緣于學(xué)生的一次“靈魂拷問”

整式的除法是整式的四則運(yùn)算內(nèi)容，筆者所在地區(qū)使用的是蘇科版教材，該教材對(duì)“式的運(yùn)算”研究順序分別是整式的加減、冪的運(yùn)算、整式的乘法、分式的四則運(yùn)算、二次根式的四則運(yùn)算，其中“沒有”編排整式的除法內(nèi)容.學(xué)習(xí)整式的乘法后就繼續(xù)研究因式分解，于是，學(xué)生向筆者發(fā)起了“靈魂拷問”：“老師，我們不學(xué)習(xí)整式的除法嗎？”眾所周知，如果將分式從運(yùn)算的角度來看，則是整式的除法運(yùn)算；七年級(jí)的學(xué)生沒有分式的知識(shí)儲(chǔ)備，這樣來給學(xué)生解釋顯然不行.實(shí)際上，同底數(shù)冪的除法是特殊的整式的除法；于是，筆者反問學(xué)生：“真的沒有研究過嗎？”當(dāng)天將問題反拋給學(xué)生思考，筆者并未直接回答.

筆者仔細(xì)分析學(xué)生提出的問題后，認(rèn)為非常合乎情理，學(xué)生小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過正整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則運(yùn)算.在小學(xué)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，七年級(jí)初期階段進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了負(fù)數(shù)，將數(shù)的范圍擴(kuò)充到有理數(shù)，完成了初中階段第一次數(shù)域擴(kuò)充，在此背景下繼續(xù)研究了有理數(shù)的四則運(yùn)算.從小學(xué)到初中，學(xué)生對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算已經(jīng)“根深蒂固”.因此，學(xué)生在研究了整式的加減、乘法后提出這樣的疑問屬于正?，F(xiàn)象.

2不同版本教材“整式的除法”內(nèi)容分析

2.1人教版教材內(nèi)容分析

人教版教材編排“式的運(yùn)算”順序分別是整式的加減、整式的乘法、分式的運(yùn)算.其中，整式的乘法分為3個(gè)模塊，先研究?jī)绲倪\(yùn)算（不包括除法），再研究整式的乘法，最后研究整式的除法.從課題的編寫來看，教材的課題中沒有整式的除法，該內(nèi)容的位置處于整式的乘法最后一個(gè)課時(shí)，教材在整式的除法引入時(shí)，明確指出“由于除法是乘法的逆運(yùn)算，因此我們可以利用整式的乘法來討論整式的除法”，因此，這可能是教材沒有單獨(dú)給出整式的除法課題的原因.但是，人教版教材對(duì)于有理數(shù)的除法、分式的除法都明確給出課題，若整式的除法內(nèi)容教材沒有單獨(dú)給出課題，學(xué)生在列復(fù)習(xí)提綱時(shí)便會(huì)忽略整式的除法運(yùn)算，不利于學(xué)生自主歸納、總結(jié)反思.從教材的內(nèi)容來看，“整式的乘法與因式分解”章引言中明確指出“我們可以類比數(shù)的運(yùn)算，以運(yùn)算律為基礎(chǔ)，得到關(guān)于整式的乘法運(yùn)算與因式分解的啟發(fā)”.可見，人教版教材沒有忽視學(xué)生已經(jīng)具備有理數(shù)的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，這也為筆者實(shí)施本節(jié)課的教學(xué)提供了一個(gè)明確的方向.

2.2蘇科版、翼教版教材內(nèi)容分析

蘇科版、翼教版教材編排“式的運(yùn)算”順序一致，分別是整式的加減、冪的運(yùn)算、整式的乘法、分式的四則運(yùn)算、二次根式的四則運(yùn)算，兩種教材都沒有系統(tǒng)地研究整式的除法運(yùn)算.兩種教材在研究分式時(shí)都是從實(shí)際問題進(jìn)行引入，但是，翼教版教材在“分式和分式方程”章學(xué)習(xí)中，第一課時(shí)分式的概念給出后，教材的提示框中明確指出“分式的分母必須含有字母，分式也可以看做兩個(gè)整式相除（除式中含有字母）的商”，蘇科版教材沒有在分式的概念給出后從運(yùn)算的角度進(jìn)行說明.兩種教材在本章的學(xué)習(xí)中都涉及到分式的約分；蘇科版教材在分式一章的學(xué)習(xí)中從始至終沒有從除法運(yùn)算的角度認(rèn)識(shí)分式等相關(guān)知識(shí)，翼教版教材僅在分式的第一課時(shí)從除法運(yùn)算的視角認(rèn)識(shí)分式，后續(xù)也沒有從除法運(yùn)算的視角“認(rèn)識(shí)”分式的約分.事實(shí)上，從運(yùn)算類型來看，分式的約分是在進(jìn)行整式的除法運(yùn)算，這樣“簡(jiǎn)約”而不簡(jiǎn)單的教材內(nèi)容凝練出編寫者的智慧.整式的乘法、分式的四則運(yùn)算分別都在兩種教材的七年級(jí)、八年級(jí)，間隔時(shí)間較遠(yuǎn)，需要學(xué)生、教師、讀者用心揣摩編寫者的意圖，否則會(huì)造成教材“漏寫”的錯(cuò)覺[1].

2.3北師大版教材內(nèi)容分析

北師大版教材編排“式的運(yùn)算”順序分別是整式的加減、冪的運(yùn)算、整式的乘除、二次根式的四則運(yùn)算、分式的四則運(yùn)算.從課題名稱來看，該版本教材對(duì)式的運(yùn)算類型概括得較為全面，有助于學(xué)生復(fù)習(xí)階段快速列出復(fù)習(xí)提綱，更有助于學(xué)生系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)式的運(yùn)算.整式的除法這一課時(shí)的情境引入開門見山，直接讓學(xué)生計(jì)算三個(gè)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的題目，并闡述理由.教材提示框中指出“可以用類似于分?jǐn)?shù)約分的方法來計(jì)算”，目的是采用“數(shù)式通性”思想研究本節(jié)課的內(nèi)容.

綜上所述，各版本教材各有權(quán)衡與側(cè)重，為了解答學(xué)生的“靈魂拷問”，筆者結(jié)合七年級(jí)學(xué)生的心理特征與認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，在七年級(jí)下冊(cè)蘇科版教材第九章整式的乘法模塊研究后，增加“整式的除法”內(nèi)容，目的有三個(gè)：第一，在七年級(jí)研究整式的乘法后繼續(xù)完善整式的運(yùn)算類型;第二，再次深刻感悟“數(shù)式通性”思想;第三，為后續(xù)從不同視角認(rèn)識(shí)分式等相關(guān)知識(shí)埋下伏筆.筆者作了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)與各位同仁交流、研討.

3教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1學(xué)情分析

學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)研究過有理數(shù)的運(yùn)算、整式的加減、冪的運(yùn)算，并系統(tǒng)地研究過整式的乘法，分別從單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開研究.整式的除法目前主要研究?jī)煞N類型——單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式和多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，其中，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式可以轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算.學(xué)生對(duì)之前研究數(shù)與式的經(jīng)驗(yàn)為本節(jié)課系統(tǒng)地研究整式的除法奠定了基礎(chǔ)，符合學(xué)生的認(rèn)知水平.

3.2教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析

3.2.1教學(xué)目標(biāo)

（1）類比整式的乘法類型構(gòu)建出整式的除法類型，明確研究路徑.

（2）理解單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則，會(huì)用法則進(jìn)行計(jì)算.

（3）經(jīng)歷單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的形成過程，發(fā)展運(yùn)算能力，體會(huì)類比、轉(zhuǎn)化思想.

3.2.2目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是能類比整式的乘法運(yùn)算類型寫出整式的除法運(yùn)算類型，通過類比有理數(shù)的除法運(yùn)算發(fā)現(xiàn)哪些類型的整式除法“好”算，確立本節(jié)課主要研究單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式兩種類型，滲透“數(shù)式通性”思想.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是學(xué)生能通過具體實(shí)例描述單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算過程，應(yīng)用運(yùn)算法則計(jì)算時(shí)分為“三步走”：系數(shù)相除、同底數(shù)冪相除、只在被除式里含有的字母連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是通過觀察、類比等過程，歸納出單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，推導(dǎo)法則的過程中感受從特殊到一般和轉(zhuǎn)化思想.

3.3教學(xué)過程

3.3.1課前熱身

計(jì)算：

（1）525÷3；

（2）（13－56＋79）÷（－118）；

（3）（－118）÷（13－56＋79）.

3.3.2構(gòu)建運(yùn)算類型，確定研究路徑

問題1本節(jié)課繼續(xù)研究整式的運(yùn)算——整式的除法，應(yīng)該怎么展開研究呢？

追問1：課下有部分同學(xué)提出疑問，為什么不學(xué)習(xí)整式的除法呢？對(duì)于這個(gè)問題大家怎么看？真的沒有學(xué)習(xí)過嗎？（同底數(shù)冪的除法）

追問2：應(yīng)該如何對(duì)整式的除法展開研究呢？有什么經(jīng)驗(yàn)可以借鑒？（整式的乘法）

追問3：請(qǐng)寫出一些整式的除法算式，類型盡可能豐富一些.（展示學(xué)生的素材后，并對(duì)其進(jìn)行分類，分為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式）

追問4：先選擇一種類型研究，應(yīng)該選擇哪一種呢？（通過直觀感受單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的“式結(jié)構(gòu)”最簡(jiǎn)潔，再結(jié)合整式的乘法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，確定先研究單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，形成結(jié)構(gòu)化的板書，如圖1）

3.3.3類比歸納，生成法則

問題2計(jì)算：（1）x5y÷x2；（2）8m2n2÷2m2n；（3）a4b2c÷3a2b.

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立嘗試完成3個(gè)計(jì)算題，在完成的過程中教師再分步適時(shí)介入指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生分別從分?jǐn)?shù)約分的方法、乘法與除法是互逆運(yùn)算兩個(gè)角度獲得計(jì)算結(jié)果，再引導(dǎo)學(xué)生類比“單乘單”的運(yùn)算法則得到“單除以單”的運(yùn)算法則.特別注意，8m2n2÷2m2n是指（8m2n2）÷（2m2n）的意思.

追問1：如何計(jì)算x5y÷x2？（方法1是將式子轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)”的形式，即x5y÷x2＝x5yx2，再通過類似于分?jǐn)?shù)約分的方法得到計(jì)算結(jié)果x3y；方法2是通過除法與乘法是互逆運(yùn)算的角度得到計(jì)算結(jié)果，并讓學(xué)生把推理的過程嘗試寫下來，如圖2.）

追問2：類似地，請(qǐng)從兩種視角計(jì)算8m2n2÷2m2n；a4b2c÷3a2b.

追問3：你能歸納出單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則嗎？有什么經(jīng)驗(yàn)可以借鑒？（引導(dǎo)學(xué)生類比“單乘單”的運(yùn)算法則，歸納出“單除以單”的運(yùn)算法則，并將兩種法則進(jìn)行對(duì)比（表1））

追問4：接下來，應(yīng)該研究哪種類型的整式除法？（多除以單）

追問5：為什么不是單除以多呢？（引導(dǎo)學(xué)生回顧課前熱身中（13－56＋79）÷（－118）、（－118）÷（13－56＋79），這兩個(gè)題目是怎么計(jì)算的？第一題“化除為乘”比較簡(jiǎn)便；第二題先算括號(hào)里的，再算除法；通過類比數(shù)的運(yùn)算可感受到“多除以單”比“單除以多”易算，因此，確定第二種研究類型為“多除以單”）

問題3計(jì)算：（12a3b－6a2）÷3a.

師生活動(dòng)：?jiǎn)栴}3部分學(xué)生也會(huì)遷移有理數(shù)的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，“化除為乘”解決，但是之前討論的“倒數(shù)”是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，此時(shí)3a是一個(gè)“式”，這種方法從嚴(yán)謹(jǐn)性上來說有待商榷，筆者認(rèn)為這是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的直覺，值得鼓勵(lì)[2].教師可根據(jù)乘法與除法是互逆運(yùn)算引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算問題3，并讓學(xué)生嘗試寫出推理過程（圖3），歸納出“多除以單”可轉(zhuǎn)化為“單除以單”進(jìn)行計(jì)算，生成“多除以單”的運(yùn)算法則，滲透轉(zhuǎn)化思想.

師：經(jīng)過剛才的探討，我們知道單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式“不好”計(jì)算.類似地，多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式也“不好”計(jì)算，是不是就不能計(jì)算了呢？例如，計(jì)算3a÷（12a3b－6a2），我們可以將它寫為“分?jǐn)?shù)”的形式，觀察這個(gè)“式結(jié)構(gòu)”，你猜想結(jié)果會(huì)有怎樣的特點(diǎn)呢？

生1：除不盡？有余式？

追問1：還有不同的看法嗎？

生2：結(jié)果可能像“分?jǐn)?shù)”，分母中含有字母.

師：這兩種整式的除法類型是我們后續(xù)要研究的內(nèi)容，目前我們只研究“單除以單、多除以單”兩種類型.

3.3.4從數(shù)到式，再次感悟由特殊到一般

問題4已知多項(xiàng)式6x5－15x4＋3x3－3x2＋x＋1除以3x2，得余式x＋1，求商式.

師生活動(dòng)：?jiǎn)栴}4先“放手”讓學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視的過程中注意觀察學(xué)生是否能夠?qū)ⅰ皵?shù)”的研究經(jīng)驗(yàn)正遷移至“式”，感悟“數(shù)式通性”思想.

3.3.5從數(shù)到式，談?wù)劯形?/p>

問題5本節(jié)課研究了整式的除法，再回首有理數(shù)的運(yùn)算、冪的運(yùn)算、整式的運(yùn)算，你有哪些感悟？

師生活動(dòng)：本環(huán)節(jié)讓學(xué)生暢談感悟，最終落腳點(diǎn)是數(shù)與式的關(guān)系上，感悟從特殊到一般研究問題的路徑，為后續(xù)分式運(yùn)算、二次根式運(yùn)算的研究路徑埋下一顆“種子”.

3.3.6作業(yè)設(shè)計(jì)

（1）必做題（略）.

（2）選做題：我們知道由數(shù)到式是特殊到一般的關(guān)系，解決“數(shù)”或“式”的問題時(shí)，思想方法上往往是相通的，請(qǐng)以“由數(shù)到式的奇妙之旅”為題，寫一篇300字左右的短文（提示：可以談?wù)勛约旱膶W(xué)習(xí)感悟，也可以通過具體題目進(jìn)行說明自己的收獲）.

4教學(xué)啟示

4.1以生為本，尊重認(rèn)知發(fā)展規(guī)律

“生本教育”理念是郭思樂教授創(chuàng)建的一種教育思想和方式，倡導(dǎo)教育教學(xué)中要以“一切為了學(xué)生”為核心，將學(xué)生的終身發(fā)展作為教育教學(xué)的終極目標(biāo).通過上文各版本教材對(duì)比分析可知，蘇科版、翼教版教材“沒有”編排整式的除法內(nèi)容，學(xué)生自然也就缺失一次從特殊到一般研究問題的機(jī)會(huì).筆者在中國知網(wǎng)數(shù)據(jù)庫以“整式的除法”為主題檢索時(shí)，沒有發(fā)現(xiàn)對(duì)蘇科版、翼教版“整式的除法”內(nèi)容進(jìn)行研討的相關(guān)文獻(xiàn).部分教師看來，教材在整式的乘法之后沒有編排整式的除法內(nèi)容是理所當(dāng)然，這種理解是教師已經(jīng)具備了分式的相關(guān)知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)之上，對(duì)于七年級(jí)的學(xué)生提出這樣的疑問自然也是合情合理.因此，筆者在學(xué)生提出疑問后增加了整式的除法內(nèi)容，既給學(xué)生答疑解惑，又一次讓學(xué)生感悟“數(shù)式通性”思想.這樣的教學(xué)筆者認(rèn)為是非常有意義的，學(xué)生從真正意義上實(shí)現(xiàn)了“解決問題”到“問題解決”的轉(zhuǎn)變，教師也實(shí)現(xiàn)了“教教材”到“用教材教”的轉(zhuǎn)變.

4.2借助知識(shí)遷移，助力知識(shí)“生長(zhǎng)”

葉圣陶先生曾說“教是為了不教”，這句話既道出了教學(xué)的終極目標(biāo)，也給教師指引了正確的教學(xué)方向.本節(jié)課在五個(gè)核心問題的引領(lǐng)下促進(jìn)學(xué)生深度思考，從“課前熱身；構(gòu)建運(yùn)算類型，確定研究路徑；類比歸納，形成法則；從數(shù)到式，再次感悟由特殊到一般；從數(shù)到式，談?wù)劯形颉蔽鍌€(gè)循序漸進(jìn)的環(huán)節(jié)展開教學(xué).課堂上，每當(dāng)學(xué)生沒有思路時(shí)，筆者總會(huì)追問“有什么經(jīng)驗(yàn)可以借鑒嗎？”目的是讓學(xué)生將相關(guān)知識(shí)的研究經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行正遷移.例如，學(xué)生在問題4的探討過程中，由于已經(jīng)具備了有理數(shù)除法的研究經(jīng)驗(yàn)，因此學(xué)生對(duì)于題目中“余式、商式”兩個(gè)關(guān)鍵詞的理解并不困難，教師借機(jī)讓學(xué)生想想如果此題是“數(shù)”的題目，該如何解？此時(shí)是“式”的問題又該如何變通？甚至課后還可以引導(dǎo)學(xué)生思考問題2中8m2n2÷2m2n能否用除法豎式計(jì)算；解決這些問題的過程中有助于學(xué)生從“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變.

4.3為知識(shí)“生長(zhǎng)”留下“萌芽”

眾所周知，植物的生長(zhǎng)需要經(jīng)歷萌芽期、生長(zhǎng)期、硬化期，知識(shí)的習(xí)得過程也是如此，教師需要特別注意為學(xué)生的知識(shí)生長(zhǎng)創(chuàng)造空間，留下知識(shí)生長(zhǎng)的萌芽.例如，本節(jié)課問題1筆者執(zhí)教時(shí)并未直接將整式的除法算式呈現(xiàn)給學(xué)生，而是先讓學(xué)生寫出不同類型的整式除法算式，再進(jìn)行分類，自然而然就會(huì)產(chǎn)生四種類型的整式除法算式，這樣習(xí)得知識(shí)的過程更符合構(gòu)建主義理論.即便七年級(jí)階段不具備研究“單除以多、多除以多”的條件，但是筆者執(zhí)教過程中還是讓學(xué)生大膽猜想計(jì)算結(jié)果會(huì)有怎樣的特征，學(xué)生根據(jù)有理數(shù)的除法學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可感受到“除不盡，有余式，結(jié)果的分母中可能含有字母”，這是對(duì)“數(shù)”的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)遷移，也是后續(xù)從除法認(rèn)識(shí)分式等相關(guān)知識(shí)的視角，更是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的一種直覺.數(shù)學(xué)直覺是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界，正如伊恩·斯圖加特教授所說“直覺是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西”.

參考文獻(xiàn)

[1]印冬建.“14.1.4整式的乘法”（第4課時(shí)）修訂建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（02）：24－27.

[2]楊鶴云.數(shù)學(xué)直覺思維的一些思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（08）：29－32.

作者簡(jiǎn)介高凱亮（1995—），男，貴州六盤水人，中學(xué)二級(jí)教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究；發(fā)表多篇論文.

周沁（1985—），女，貴州六盤水人，中學(xué)高級(jí)教師;貴州省“最美勞動(dòng)者”，貴州省六盤水市“優(yōu)秀名班主任”，貴州省六盤水六枝特區(qū)“骨干教師”;主要從事初中班主任工作管理及數(shù)學(xué)教學(xué)研究．