萬濤 倪軍

【摘要】中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的銜接是構(gòu)建整個(gè)義務(wù)教育體系的重要環(huán)節(jié)，是貫通核心素養(yǎng)表現(xiàn)的重要方式，是貫徹立德樹人的重要途徑．由于中小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)段目標(biāo)不同、要求不同、銜接不清晰等原因，導(dǎo)致部分學(xué)生進(jìn)入初中后，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)對(duì)知識(shí)不能自然過渡、對(duì)知識(shí)困惑不理解、對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不適應(yīng)等現(xiàn)象，因此，探索中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，搭建中小學(xué)數(shù)學(xué)之間的“橋”，把有關(guān)聯(lián)的知識(shí)進(jìn)行銜接，將中小學(xué)的核心素養(yǎng)貫通起來顯得至關(guān)重要．

【關(guān)鍵詞】銜接；教學(xué)模式；一致性；核心素養(yǎng)

1課標(biāo)分析

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》實(shí)施中，產(chǎn)生中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的連續(xù)性不明確，程度銜接不清晰等問題，如“雞兔同籠”和“三角形內(nèi)角和”等．在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）中提到：“核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同學(xué)段具有不同表現(xiàn)．小學(xué)階段側(cè)重對(duì)經(jīng)驗(yàn)的感悟，初中階段側(cè)重對(duì)概念的理解．”[1]學(xué)段不同，學(xué)段目標(biāo)的要求也不同，學(xué)段主題也有所不同．小學(xué)階段主要以數(shù)與運(yùn)算為主，初中階段主要以數(shù)與式、方程、不等式和函數(shù)為主．教學(xué)要依據(jù)學(xué)生從小學(xué)到初中在認(rèn)知、情感、社會(huì)性等方面的發(fā)展，合理安排不同學(xué)段內(nèi)容，體現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的連續(xù)性和進(jìn)階性，《課標(biāo)（2022年版）》極其關(guān)注不同學(xué)段之間的銜接與聯(lián)系.

2學(xué)情分析

部分學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)成績很好，可是當(dāng)進(jìn)入初中后，一方面，學(xué)段目標(biāo)變了，學(xué)習(xí)環(huán)境變了，教師的教學(xué)方式變了，這使部分小學(xué)畢業(yè)生未能很快適應(yīng)初中的學(xué)習(xí)環(huán)境和教學(xué)方式，以至于部分學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上出現(xiàn)了明顯不適應(yīng)；另一方面，由于小學(xué)數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)在內(nèi)容和目標(biāo)上存在銜接不清晰、不明確之處[2]．一些初中教師對(duì)小學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容、學(xué)段目標(biāo)和知識(shí)體系不熟悉，對(duì)小學(xué)和初中的數(shù)學(xué)知識(shí)不能有效進(jìn)行銜接，以至于部分學(xué)生不太適應(yīng)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，這說明中小學(xué)的數(shù)學(xué)教材和教學(xué)都存在銜接不清晰的現(xiàn)象，所以，初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時(shí)要關(guān)注學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)情，對(duì)中小學(xué)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有效銜接，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由“初等數(shù)學(xué)思維”向“高層次數(shù)學(xué)思維”的過渡，在促進(jìn)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容有效銜接的同時(shí)，構(gòu)建中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的連續(xù)性、整體性和一致性，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的自然性、合理性和必要性，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過程，明白知識(shí)的來龍去脈，有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神.

3備課思考

古代著名的數(shù)學(xué)趣題——“雞兔同籠”：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？意思是有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94只腳，問籠中分別有多少只雞和兔？本節(jié)課要通過這個(gè)趣題，搭建從小學(xué)算式通往初中方程的“橋”．

3.1為何搭建“橋”——銜接的必要性

小學(xué)生在蘇科版六年級(jí)下冊(cè)第三單元“解決問題的策略”中學(xué)習(xí)“雞兔同籠”，是以數(shù)和算式為主．由于一只雞的腳數(shù)和一只兔的腳數(shù)不同，學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)乘法時(shí)積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，會(huì)自然想到假設(shè)全是雞，也就是假設(shè)每只兔也有2只腳，這樣就會(huì)得到70只腳，但是題目給的是94只腳，少了24只腳，因?yàn)榧僭O(shè)每只兔有2只腳，少算了2只腳，少的24只腳，應(yīng)該是12只兔少的腳，所以籠中有12只兔和23只雞．當(dāng)然也有同學(xué)聯(lián)想到假設(shè)全是兔的方法，最后也得到有12只兔和23只雞（如圖1）．

初中生在蘇科版七年級(jí)上冊(cè)第4章“一元一次方程”中學(xué)習(xí)“雞兔同籠”，是以等量關(guān)系和方程為主，由于雞的頭數(shù)＋兔的頭數(shù)＝35頭，雞的腳數(shù)＋兔的腳數(shù)＝94足，設(shè)雞有x只，則兔有（35－x）只，則雞的腳數(shù)是2x，兔的腳數(shù)是4（35－x），由等量關(guān)系得到2x＋4（35－x）＝94，解方程得到x＝23，從而得到有12只兔和23只雞．

由于小學(xué)數(shù)學(xué)中字母表示數(shù)的內(nèi)容非常少，需要使用方程的場(chǎng)景也少，并且小學(xué)教材中并沒有過多強(qiáng)調(diào)方程的背景，幾乎都只是介紹了簡(jiǎn)易方程這種方法，比如：4＋x＝9，可能小學(xué)有這樣類似的背景：小明有4元錢，媽媽再給他多少元，小明就有9元？解決這樣的問題，本質(zhì)上需要的是減法運(yùn)算，沒必要用到方程，所以，學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程反而無法讓學(xué)生意識(shí)到學(xué)習(xí)方程的必要性．

學(xué)生在初學(xué)方程時(shí)，總覺得用小學(xué)的算式挺好理解的，為什么要用方程呢？用算式的方法和列方程的方法究竟是兩種不同的解題方法，還是從算式可以自然過渡到方程，兩者之間是否存在一定的關(guān)聯(lián)？這種關(guān)聯(lián)應(yīng)該怎么銜接？

小學(xué)的算式和初中的方程究竟有什么關(guān)聯(lián)，筆者調(diào)查了很多初一上學(xué)期的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)學(xué)生并不清楚，甚至有些學(xué)生給出了這樣的解釋：“小學(xué)只學(xué)過算式，當(dāng)然只能用算式來做，初中學(xué)習(xí)了方程，當(dāng)然采用方程來思考，如果在初中還用小學(xué)的方法，老師不會(huì)給分．”一些初中教師在教學(xué)過程中，也沒有把小學(xué)算式和初中方程這兩者之間進(jìn)行自然銜接，沒有搭建從小學(xué)的算式到初中的方程的“橋”，導(dǎo)致學(xué)生不知其所以然，只能被動(dòng)去接受知識(shí)，因此搭建從小學(xué)算式到初中方程的“橋”是非常有必要的[3]．

3.2怎樣構(gòu)思“橋”——銜接的連續(xù)性

要想通過“雞兔同籠”這節(jié)課，把小學(xué)的算式和初中的方程自然銜接起來，首先要了解小學(xué)生積累了哪些基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)90%以上的學(xué)生都自然聯(lián)想到整數(shù)乘法的學(xué)習(xí)，都采用假設(shè)全是雞或者假設(shè)全是兔的方法．而初中生學(xué)習(xí)方程后，解決“雞兔同籠”問題，采用的是尋找等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，然后解方程的方法．很顯然，兩者之間沒有必然的聯(lián)系，需要搭建一座“橋”把兩者銜接起來，打通兩者之間的關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的連續(xù)性．

銜接1代數(shù)式和方程的銜接

要想列出方程，前提是要找出等量關(guān)系，比如“雞兔同籠”中的等量關(guān)系：雞的頭數(shù)＋兔的頭數(shù)＝35只，雞的腳數(shù)＋兔的腳數(shù)＝94只，雞的頭數(shù)×2＝雞的腳數(shù)，兔的頭數(shù)×2＝兔的腳數(shù)，遇到雞的頭數(shù)，兔的頭數(shù)，雞的腳數(shù)，兔的腳數(shù)都不知道時(shí)，我們想到用字母來表示數(shù)，用代數(shù)式來表示這些未知量．

銜接2數(shù)和代數(shù)式的銜接

小學(xué)生大多都采用假設(shè)全是雞或者假設(shè)全是兔的方法，而初中的方程也是假設(shè)，只不過是設(shè)未知數(shù)，是假設(shè)有a只雞，有（35－a）只兔．當(dāng)然這里的a并不是35只雞，也不是0只雞，如何由假設(shè)全是雞（即35只雞）過渡到假設(shè)有a只雞呢？

我們通過假設(shè)全是雞，最后得到籠子里并不全都是雞，這只是一個(gè)假設(shè)而已，那既然這樣，可不可以假設(shè)有34只雞和1只兔呢？通過這樣的問題引發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生通過計(jì)算并且同意這個(gè)假設(shè)后，再思考：可不可以假設(shè)有33只雞和2只兔呢？引發(fā)學(xué)生再次證實(shí)．這樣就慢慢搭建了從小學(xué)算式到初中代數(shù)式的“橋”，把數(shù)和代數(shù)式自然地銜接在一起（如表1）．

3.3何時(shí)搭建“橋”——銜接的合理性

“雞兔同籠”這節(jié)課何時(shí)上比較合適呢？小學(xué)生在很長一段時(shí)間接觸的都是具體的數(shù)，接觸字母表示數(shù)的內(nèi)容比較少．在初中學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)，學(xué)生逐漸理解由具體的數(shù)到抽象的式，能用代數(shù)式表示一些數(shù)量關(guān)系，接著又學(xué)習(xí)了整式的運(yùn)算，這時(shí)開展“雞兔同籠”這節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面，學(xué)生有了對(duì)數(shù)與式的理解，掌握了從具體到抽象的轉(zhuǎn)化思想和整式運(yùn)算的知識(shí)，這時(shí)候搭建從小學(xué)算式到初中方程的“橋”，是對(duì)學(xué)生從代數(shù)式到方程的銜接，具有明確的連續(xù)性，同時(shí)也為后面學(xué)習(xí)一元一次方程做好鋪墊，打好基礎(chǔ)．

“雞兔同籠”這節(jié)課是根據(jù)小學(xué)和初中內(nèi)容結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，找到兩者的銜接點(diǎn)，并且在合適的時(shí)候進(jìn)行銜接——學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了代數(shù)式的有關(guān)知識(shí)還沒有開始學(xué)習(xí)方程，這個(gè)時(shí)候?qū)W(xué)生開展“雞兔同籠”的探究是建立在小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，慢慢發(fā)展提升的，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)力提升的規(guī)律來設(shè)計(jì)這樣的課，這節(jié)課在時(shí)間上體現(xiàn)出銜接的合理性．

3.4怎樣搭建“橋”——銜接的自然性

小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)主要以數(shù)與運(yùn)算為主，初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)主要以代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)為主，兩者的內(nèi)容結(jié)構(gòu)不同，解決“雞兔同籠”的方法也有所不同．在小學(xué)用算式的方法，假設(shè)35只全是雞，得到只有70只腳，根據(jù)腳數(shù)變少了，可以推算出兔的只數(shù)，還有其他學(xué)生假設(shè)35只全是兔，得到有140只腳，根據(jù)腳數(shù)變多了，也可以推算出雞的只數(shù)，這是小學(xué)常用的算術(shù)方法，這節(jié)課筆者在此環(huán)節(jié)提出一個(gè)問題：我們一定要假設(shè)全是雞，或者假設(shè)全是兔嗎？解決這個(gè)問題，能假設(shè)不全是雞，或者不全是兔嗎？比如我們可不可以假設(shè)雞有34只，兔有1只呢？試試看．

學(xué)生之前并沒有想過這個(gè)問題，感到很好奇，有的學(xué)生開始嘗試：假設(shè)有34只雞，1只兔．34×2＝68，1×4＝4，68+4=72＜94，94－72＝22，少了22只腳，說明34只雞中，把一部分兔當(dāng)成了雞，由于一只兔當(dāng)成雞少2只腳，22÷2＝11，所以34只雞里有11只兔當(dāng)成了雞，再加上原來的1只兔，一共有12只兔，35－12＝23，所以雞有23只．有的學(xué)生接著嘗試：假設(shè)籠子里有33只雞，2只兔，用類似的方法，也得到12只兔和23只雞．

學(xué)生嘗試后，進(jìn)行了思考：我們假設(shè)全是雞，假設(shè)全是兔，假設(shè)有34只雞和1只兔和假設(shè)有33只雞和2只兔，最后都能算出是23只雞和12只兔（如表1）．也就是說，無論假設(shè)有多少只雞（只要小于或等于35只），都可以得到雞有23只，兔有12只.那我們就不需要一個(gè)一個(gè)去假設(shè)了，很自然地，學(xué)生想到用字母表示數(shù)，如果假設(shè)有a只雞，那么就有（35－a）只兔．則a只雞有2a只腳，（35－a）只兔有4（35－a）只腳，用含有a的代數(shù)式來表示．

對(duì)于初一的學(xué)生來說，這雖然不是一種新的方法，但是確是一個(gè)新的提法，或者是一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)新的解決問題的思路，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生好奇心.不管怎么假設(shè)，都可以仿照小學(xué)的方法把它算出來，由此可知，無論對(duì)雞的只數(shù)怎么假設(shè)，結(jié)果永遠(yuǎn)是不會(huì)變的．很自然地，學(xué)生就能從小學(xué)的計(jì)算漸漸地想到雞的只數(shù)其實(shí)是可以任意假設(shè)的，既然可以任意假設(shè)，那么可以怎么假設(shè)呢？這與初中剛學(xué)到的用字母表示數(shù)聯(lián)系起來，學(xué)生自然地會(huì)想到一種方法，假設(shè)雞有a只，兔有（35－a）只，a只雞有2a只腳，（35－a）只兔有4（35－a）只腳，全部用含有a的代數(shù)式來表示．這樣就形成了從算式到代數(shù)式非常自然的過渡．

（1）如果2a＋4（35－a）＜94，說明有一部分兔當(dāng)成了雞，由于一只兔當(dāng)成一只雞少2只腳，94－2a－4（35－a）＝2a－46，（2a－46）÷2＝a－23，所以有（a－23）只兔子當(dāng)成了雞，再加上原來的（35－a）只兔，a－23＋35－a＝12，所以一共有12只兔．

（2）如果2a＋4（35－a）＝94，說明正好有a只雞，（35－a）只兔，直接算出a即可．

（3）如果2a＋4（35－a）＞94，說明有一部分雞當(dāng)成了兔，由于把一只雞當(dāng)成一只兔多2只腳，2a＋4（35－a）－94＝46－2a，（46－2a）÷2＝23－a，所以有（23－a）只雞當(dāng)成了兔，再加上原來的a只雞，一共有雞23－a＋a＝23只．

然后，學(xué)生觀察（1）2a＋4（35－a）＜94；（2）2a＋4（35－a）＝94；（3）2a＋4（35－a）＞94．發(fā)現(xiàn)第（2）個(gè)最直接，最簡(jiǎn)明．因?yàn)檎檬莂只雞，（35－a）只兔，第（2）個(gè)是等式，這是描述實(shí)際問題中的相等關(guān)系較為簡(jiǎn)明的一種形式，含有等號(hào)的式子是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，這就是方程．這樣就形成了從代數(shù)式到方程非常自然和合理的過渡．

3.5搭“橋”的目的——銜接的整體性

把義務(wù)教育階段的核心素養(yǎng)進(jìn)行有機(jī)銜接，這是教育者需要研究的一個(gè)問題.在《課標(biāo)（2022年版）》中，數(shù)學(xué)課程和目標(biāo)的描述強(qiáng)調(diào)整體性，課程目標(biāo)的整體性決定了課程實(shí)施過程中，教師必須具備整體性視角，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看作具有內(nèi)在一致性的整體結(jié)構(gòu).整體性視角是教師分析教材和設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)過程的一個(gè)新的視角，可以幫助學(xué)生更好地理解學(xué)習(xí)，使得學(xué)生學(xué)得有趣、學(xué)得輕松、學(xué)得深刻．

“雞兔同籠”這節(jié)課，目的在于通過搭建小學(xué)算式到初中代數(shù)式，再到初中方程的“橋”，有了“橋”就產(chǎn)生了知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，就形成了知識(shí)的整體架構(gòu)（如圖2）．教師教學(xué)沒有一個(gè)整體觀，學(xué)生對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)浮于表面，不會(huì)進(jìn)行融會(huì)貫通，主要原因之一就是教學(xué)的“碎片化”，忽視知識(shí)之間內(nèi)在的關(guān)聯(lián)．所以，教師教學(xué)要注重知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，要具有整體觀，要把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，引發(fā)學(xué)生感受并體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性．

3.6搭“橋”的好處——銜接的一致性

從教材的編排來說，大多采用螺旋上升的方式編排，漸進(jìn)式深入，后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)都是在先前知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，知識(shí)之間存在一致性．

從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度來說，很多數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)具有一致性，比如：數(shù)與式的一致性，線段和角的一致性，三角形和四邊形的一致性，方程和函數(shù)的一致性等等．

從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來說，很多數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)也具有一致性，比如：“雞兔同籠”這節(jié)課，無論是從算式到代數(shù)式，還是從代數(shù)式到方程，讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并不散亂，而是具有規(guī)律性和一致性．

通過算式計(jì)算和通過代數(shù)式計(jì)算是一致的，小學(xué)生從假設(shè)全是雞的計(jì)算和初中學(xué)生假設(shè)有a只雞的代數(shù)推理計(jì)算可以說是完全一致的，不同之處在于一個(gè)是數(shù)的運(yùn)算，一個(gè)是式的運(yùn)算；一個(gè)是具體的，一個(gè)是抽象的；一個(gè)是特殊的，一個(gè)具有一般性．

從代數(shù)式到方程的過程中，出現(xiàn)從不等式到等式，其本質(zhì)也具有一致性，代數(shù)式2a＋4（35－a）與94的關(guān)系：2a＋4（35－a）＞94，2a＋4（35－a）＝94，2a＋4（35－a）＜94．發(fā)現(xiàn)只有把不等式轉(zhuǎn)化為等式，解決問題才最簡(jiǎn)單方便，當(dāng)然解不等式和解方程的過程也具有一致性．

4教學(xué)反思

“雞兔同籠”這節(jié)課，學(xué)生親歷從算式到代數(shù)式，再從代數(shù)式到方程的過程，學(xué)生積極主動(dòng)去思考去探索，最后自然總結(jié)出：算式是由已知得到未知，是倒推，是逆向思維，一步只能得到一個(gè)結(jié)果，步驟比較多，比較復(fù)雜；代數(shù)式更具有一般性，它可以表示所有的假設(shè)，代數(shù)式計(jì)算和數(shù)的計(jì)算是一致的；而方程需要設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系，理解題意比較容易，它把未知和已知都參與列方程中，列方程比較簡(jiǎn)單，方程是把很多步算式進(jìn)行的一個(gè)整合；用方程比較方便、簡(jiǎn)明、清晰．這節(jié)課，無論是從算式到代數(shù)式，還是從代數(shù)式到方程，通過這樣的必要性、連續(xù)性、合理性、自然性、整體性、一致性的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生在教學(xué)中主動(dòng)去體驗(yàn)和探索新問題，理解了知識(shí)間的來龍去脈，找到了知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，提升了學(xué)生的代數(shù)推理能力，培養(yǎng)了學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，通過搭建的一座座“橋”把學(xué)生的舊知和新知有效銜接起來．

學(xué)生的學(xué)習(xí)是教育的最終目標(biāo)，也是核心目標(biāo)，教師在教學(xué)過程中，遇到知識(shí)內(nèi)容、目標(biāo)、表述上銜接不清晰、不明確，知識(shí)銜接不自然的時(shí)候，要深挖教材，找到知識(shí)發(fā)生發(fā)展的根源，為學(xué)生搭建通往新知的“橋”，為學(xué)生的學(xué)習(xí)助力，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)．

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：5-6．

[2]曹一鳴．新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)（2022年版）[M]．北京師范大學(xué)出版社，2022.8：12-14．

[3]萬濤．理清困惑，使教學(xué)更自然——對(duì)“因式分解”一課的教學(xué)體驗(yàn)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（12）：24-28．

作者簡(jiǎn)介萬濤（1984—），男，安徽臨泉人，中學(xué)高級(jí)教師;南京市鼓樓區(qū)初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)帶頭人，多次獲得南京市教育案例一等獎(jiǎng)和鼓樓區(qū)青年教師基本功大賽一等獎(jiǎng);主要從事初中數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)和模式研究.

倪軍（1967—），男，江蘇寶應(yīng)人，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，江蘇省優(yōu)秀教育工作者，江蘇省教學(xué)新時(shí)空名師課堂特聘專家，江蘇省鄉(xiāng)村教師培育站初中數(shù)學(xué)專家指導(dǎo)組成員;主要從事數(shù)學(xué)教育和研究工作;主持多項(xiàng)省重點(diǎn)規(guī)劃課題，發(fā)表多篇論文．