楊興 武慧虹 錢淑渠

【摘 要】文章在分析多元表征理論和APOS理論內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，尋找其相容性和互補性，建立兼顧多元表征的APOS循環(huán)模型來刻畫概念學(xué)習(xí)的心理過程。兼顧多元表征的APOS數(shù)學(xué)概念教學(xué)包括一個前提“分析概念的表征系統(tǒng)”和四個環(huán)節(jié)“創(chuàng)設(shè)問題情境、抽象概念程序、凝練數(shù)學(xué)對象、完善概念意象”。

【關(guān)鍵詞】APOS理論；多元表征；概念教學(xué)；數(shù)學(xué)概念意象

新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問題更重要。新授課的概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域的熱點。美國學(xué)者杜賓斯基提出APOS理論，認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷活動（Actions）、程序（Processes）、對象（Objects）、圖式（Schemas）四個階段。該理論刻畫了學(xué)生學(xué)習(xí)概念的心理過程和概念建構(gòu)的層次性而被廣泛運用于數(shù)學(xué)概念教學(xué)中［1］。由于學(xué)生經(jīng)驗背景的差異，不同學(xué)生對同一概念有不同表征，有些學(xué)生喜歡言語性材料的學(xué)習(xí)，有些學(xué)生則喜歡空間性材料的學(xué)習(xí)［2］。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)應(yīng)是多元化的，但基于APOS概念教學(xué)的現(xiàn)有研究中，很少關(guān)注概念的多元表征。Font等人指出數(shù)學(xué)教育界的一個特點是理論觀點的多樣性，我們需要找到理論之間的聯(lián)系，以便找出是否具有潛在結(jié)構(gòu)能聯(lián)系各理論［3］。近年來已有學(xué)者以APOS理論、多元表征理論與變式教學(xué)理論為基礎(chǔ)，嘗試探尋三者的共同特征與聯(lián)系，將三者“凝聚”于數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計之中［4］。研究發(fā)現(xiàn)，多元表征理論與APOS理論之間存在一定聯(lián)系與區(qū)別，將兩種理論取長補短，并進(jìn)行適切融合，既能提升教學(xué)的效果，也有利于教育理論的發(fā)展。因此，各取兩種理論所長，兼顧多元表征，改進(jìn)基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。

一、多元表征理論與APOS理論的相容性和互補性

（一）兩種理論的相容性

兩種理論的相容性指的是兩者沒有矛盾沖突的地方，并且在某些方面存在一致性，可以相互協(xié)調(diào)，融合發(fā)展。本文所指的“相容性”體現(xiàn)在都強調(diào)概念意象的形成。Tall和Vinner最早將概念定義和概念意象進(jìn)行區(qū)分并用來描述學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解［5］。事實上，我們在理解和應(yīng)用概念時，往往用的是概念意象而不是概念定義，例如，當(dāng)談到矩形的概念時，我們首先想到的不是“一個角為直角的平行四邊形是矩形”，而是在頭腦里浮現(xiàn)一個四個角是直角的四邊形。簡言之，相對于概念定義而言，概念意象是一個更加具體、隨意且靈活的綜合心理表征，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目標(biāo)不只是對數(shù)學(xué)概念定義的簡單記憶和運用，更要幫助學(xué)生建構(gòu)屬于學(xué)生自己的數(shù)學(xué)概念意象。

多元表征理論下的概念教學(xué)就是基于學(xué)生已有的概念意象呈現(xiàn)不同的概念表征形式，通過表征間的轉(zhuǎn)換，從不同角度豐富對概念的理解，建立新的概念意象。例如上文提到的矩形概念，不僅是讓學(xué)生掌握矩形的各種標(biāo)準(zhǔn)定義，還要在頭腦里形成矩形的圖象、符號化表征。而APOS理論指出了學(xué)生建構(gòu)概念圖式的層次，從多元表征的角度可以把圖式理解為一個包含了數(shù)學(xué)概念的操作、情境、圖象、符號、定義等多元表征的系統(tǒng)。換言之，概念圖式可以理解為概念意象，概念圖式的建立依賴于概念表征之間的相互轉(zhuǎn)換。由此可見，兩種理論對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目標(biāo)是一致的，都強調(diào)建立數(shù)學(xué)概念意象，教師可以結(jié)合兩種理論來分析數(shù)學(xué)概念的教與學(xué)。

（二）兩種理論的互補性

一方面，APOS理論既指明了概念學(xué)習(xí)的層次，即由淺入深，由具體到抽象，從動態(tài)到靜態(tài)，也突出了概念學(xué)習(xí)的最終結(jié)果，即建立概念意象，著眼于整個概念教學(xué)過程，側(cè)重概念建構(gòu)的中觀層面。Borji等人認(rèn)為APOS理論與其他認(rèn)知理論一樣，它僅限于對構(gòu)成該理論的心理結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)測和描述，這些似乎不能充分說明所研究的現(xiàn)象［6］。由于學(xué)生認(rèn)知風(fēng)格的差異性，不同學(xué)生在每個階段的概念表征方式不同，而APOS缺乏對概念表征微觀層面的關(guān)注，從而導(dǎo)致基于APOS理論的概念教學(xué)效果各異。另一方面，多元表征理論強調(diào)數(shù)學(xué)概念意象的操作、圖象、情境、語言、符號等具體表征之間的轉(zhuǎn)換，著眼于概念教學(xué)的局部操作，側(cè)重概念建構(gòu)的微觀層面，但對概念學(xué)習(xí)過程的整體性關(guān)注不夠，也沒有體現(xiàn)各表征轉(zhuǎn)換的層次性和循序漸進(jìn)性。

可見，微觀層面的多元表征理論與中觀層面的APOS理論相輔相成。在學(xué)習(xí)概念的多元表征時，教師可以借助APOS理論明晰學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)，從而設(shè)計合理的數(shù)學(xué)表征。在運用APOS理論設(shè)計概念教學(xué)時，兼顧概念的多元表征，有利于不同認(rèn)知風(fēng)格的學(xué)生提升學(xué)習(xí)效果，此外，多元表征間的轉(zhuǎn)換也能促進(jìn)圖式的完善。因此，著眼于概念教學(xué)局部的多元表征理論需要整體性的引導(dǎo)，著眼于概念教學(xué)整體的APOS理論也需要局部性的支撐，整合多元表征理論和APOS理論的概念教學(xué)是符合部分和整體的辯證關(guān)系。

二、兼顧多元表征的APOS循環(huán)模型

眾所周知，教育教學(xué)活動應(yīng)考慮學(xué)生的心理過程，既然多元表征理論與APOS理論存在一定相容性和互補性，都強調(diào)數(shù)學(xué)概念意象的建構(gòu)，尊重學(xué)生概念表征的差異，那么在兼顧多元表征的APOS數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，概念學(xué)習(xí)的心理過程是怎樣的呢？筆者在APOS循環(huán)的基礎(chǔ)上，結(jié)合多元表征理論設(shè)計了兼顧多元表征的APOS循環(huán)模型（如圖1）。該模型刻畫了學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時腦海里涉及的心理結(jié)構(gòu)和心理機制，以及多元表征對形成相應(yīng)心理結(jié)構(gòu)的作用。

首先，由“活動—程序—對象”組成的APOS循環(huán)揭示了概念建構(gòu)的層次，是學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時的思維主線；其次，概念的多元外在表征促進(jìn)外在操作活動內(nèi)化為心理操作程序，再通過多元內(nèi)在表征的精簡進(jìn)一步“壓縮”為一個數(shù)學(xué)對象，初步獲得數(shù)學(xué)概念（定義）；再次，多元表征間的轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)了“活動—程序—對象”的真正循環(huán)，包括正向和反向的；最后，在生成概念的基礎(chǔ)上，形成概念的表征系統(tǒng)，并通過不同表征間的轉(zhuǎn)換建構(gòu)起圖式，即概念意象。

三、兼顧多元表征的APOS數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計

不同于概念定義的一成不變，概念意象處在不斷地變化、發(fā)展和完善的過程中，不可能通過一兩次的教學(xué)就能幫助學(xué)生建立概念意象。因此，借鑒喻平教授提出的概念域和概念系［7］，完善概念意象的教學(xué)至少還包括兩個方面：一是掌握這個概念所有的等價定義并建立它們之間的聯(lián)結(jié)；二是建立這個概念與相關(guān)概念之間的聯(lián)結(jié)。這個過程可以在“圖式”階段實施，也可以作為后續(xù)完善概念意象的教學(xué)。

因此，兼顧多元表征的APOS數(shù)學(xué)概念教學(xué)是以“分析數(shù)學(xué)概念的表征系統(tǒng)”為前提，將該表征系統(tǒng)與兼顧多元表征的APOS循環(huán)適切融合，以完善數(shù)學(xué)概念意象為目標(biāo)，以教師呈現(xiàn)概念的多元表征形式和學(xué)生掌握概念的多元表征為落腳點，形成以“創(chuàng)設(shè)問題情境—抽象概念程序—凝練數(shù)學(xué)對象—完善概念意象”為單元的循環(huán)過程，如圖2所示。

（一）分析概念的表征系統(tǒng)

在教學(xué)設(shè)計之前，教師可結(jié)合學(xué)生已有知識經(jīng)驗和數(shù)學(xué)概念的特征，分析概念的表征系統(tǒng)，包括內(nèi)在表征和外在表征。圖3是橢圓三種定義構(gòu)成的橢圓概念的表征系統(tǒng)，以第一定義引入為例展開教學(xué)。

（二）創(chuàng)設(shè)問題情境

根據(jù)概念表征系統(tǒng)的外在表征創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的外在表征形式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、操作，初步建立新概念與已有知識經(jīng)驗之間的聯(lián)結(jié)，形成對數(shù)學(xué)概念的感性認(rèn)識。

情境1：太陽光下球的影子、行星繞太陽運行的軌跡、用一個不垂直于圓錐的平面截圓錐……這些是什么圖形/軌跡/曲線？

情境2：讓學(xué)生用細(xì)繩和鉛筆畫橢圓（過程略）。畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？

情境3：教師用幾何畫板或GeoGebra軟件演示形成橢圓的動畫，注意引導(dǎo)學(xué)生觀察變與不變的量。你有什么發(fā)現(xiàn)？當(dāng)動點滿足什么條件時，它的軌跡是橢圓？

【設(shè)計意圖】以上三種情境涉及橢圓的圖形表征和操作表征，需要學(xué)生在直觀感知橢圓形狀的基礎(chǔ)上，動手繪制橢圓，借助動畫演示觀察橢圓，形成對橢圓概念的感性認(rèn)識。

（三）抽象概念程序

教師組織學(xué)生通過自主思考、合作探究等方式，從活動情境中反思數(shù)學(xué)概念的形成過程，抽象出數(shù)學(xué)概念的形成程序，實現(xiàn)數(shù)學(xué)活動的內(nèi)化，將數(shù)學(xué)概念的外在表征轉(zhuǎn)換為內(nèi)在表征。

師：橢圓上的點滿足的幾何條件是什么？小組討論交流。

生：橢圓上的點到兩定點的距離之和為常數(shù)。

師：你能用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出這一數(shù)量關(guān)系嗎？請寫出你的表達(dá)式并與你的同桌進(jìn)行交流，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：[MF1]+[MF2=2a]（[a>c]）。

（在實際教學(xué)中，學(xué)生的表達(dá)式可能各不相同，需要教師糾正、統(tǒng)一。）

【設(shè)計意圖】教師組織學(xué)生進(jìn)行討論和探究，思考橢圓的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生概括出橢圓上點的幾何性質(zhì)，從而抽象出橢圓定義的自然語言表征，再用符號進(jìn)行表示，從而得到橢圓定義的符號化表征，將橢圓形成的外部活動內(nèi)化為抽象的代數(shù)程序。

（四）凝練數(shù)學(xué)對象

教師讓學(xué)生用數(shù)學(xué)符號語言翻譯數(shù)學(xué)概念的形成程序，并進(jìn)行運算和化簡，從而將數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在表征精簡為一個更簡潔、更具有知識結(jié)構(gòu)的符號化心理對象。例如教師可引導(dǎo)學(xué)生比較、討論各自推導(dǎo)的方程形式，從而解決以下問題：（1）怎樣建系？（2）如何運算、化簡？（3）焦點在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程怎樣推導(dǎo)？它們有何聯(lián)系？

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)橢圓的對稱性建立合適的直角坐標(biāo)系，將橢圓定義的符號化表征[MF1]+[MF2=2a]（[a>c]）翻譯為代數(shù)表達(dá)式[（x+a）2+y2]+[（x-a）2+y2=2a]，進(jìn)而化簡得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，建立橢圓的幾何特征與數(shù)量關(guān)系的有機聯(lián)系。

（五）完善概念意象

該教學(xué)環(huán)節(jié)主要有兩個方面：一是教師可以設(shè)計變式訓(xùn)練、概念辨析等環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生鞏固、應(yīng)用所學(xué)概念，建立這個概念與相關(guān)概念之間的聯(lián)結(jié)；二是根據(jù)概念的等價定義創(chuàng)設(shè)新的教學(xué)情境，從不同角度得到同一個概念，從而完善學(xué)生的概念域和概念系。

例如，橢圓第三定義的教學(xué)有兩個角度。一是從一個特殊軌跡來尋找它的方程。

設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-[49]，求點M的軌跡。

二是從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)來研究軌跡。

將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程[x2a2+y2b2]=1（a[>]b[>0]）進(jìn)行適當(dāng)變形得到[yx+a·yx-a=-b2a2]（x[≠±a]）。你能解釋這個表達(dá)式的幾何意義嗎？

【設(shè)計意圖】經(jīng)過前面三個階段，學(xué)生已建立起與橢圓第一定義相關(guān)的概念表征。接下來需要進(jìn)一步完善概念意象，掌握形成橢圓的各種方式，理解各種橢圓定義之間的區(qū)別和聯(lián)系，靈活選擇條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

四、結(jié)語

以橢圓為例，基于橢圓的三種定義建立概念表征系統(tǒng)，根據(jù)第一定義創(chuàng)設(shè)問題情境，抽象出橢圓定義的符號化表征，進(jìn)而凝練橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后通過變式訓(xùn)練、概念辨析和等價定義完善橢圓的概念意象。當(dāng)然，橢圓概念意象的完善不僅限于此，還需要把握橢圓概念與其他相關(guān)概念之間的關(guān)系，比如橢圓與圓有何關(guān)系？如何通過圓上動點得到橢圓的軌跡？探究類似問題亦可作為完善橢圓概念的途徑。

近年來，數(shù)學(xué)教育理論不斷推陳出新，單元教學(xué)、深度學(xué)習(xí)、項目合作學(xué)習(xí)等教育改革，都在努力踐行素質(zhì)教育理念，希望實現(xiàn)減負(fù)增效提質(zhì)。但沒有一種理論可以涵蓋所有的教學(xué)情境，每一種教育理論都有其優(yōu)勢與獨到之處。因此，兼顧多元表征的APOS數(shù)學(xué)概念教學(xué)不在于提供一整套教學(xué)模式，而在于讓大家關(guān)注多元表征與APOS相輔相成，即根據(jù)數(shù)學(xué)概念表征的差異和數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理過程，設(shè)計滿足學(xué)生不同認(rèn)知風(fēng)格的教學(xué)過程，提供所有學(xué)生參與學(xué)習(xí)的機會。只有不斷挖掘各教育理論之間的聯(lián)系，才能讓我們的教學(xué)游刃有余，學(xué)生的學(xué)習(xí)如魚得水。

參考文獻(xiàn)：

［1］鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［2］喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.南寧：廣西教育出版社，2004.

［3］FONT V，TRIGUEROS M，BADILLO E，et al. Mathematical objects through the lens of two different theoretical perspectives：APOS and OSA［J］. Educational studies in mathematics，2016（1）：107-122.

［4］李彩紅，李祎.基于三種學(xué)習(xí)理論整合的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計［J］.數(shù)學(xué)通報，2014（5）：19-23.

［5］TALL D，VINNER S. Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity［J］. Educational studies in mathematics，1981（2）：151-169.

［6］BORJI V，ERFANI H，F(xiàn)ONT V. A combined application of APOS and OSA to explore undergraduate students’ understanding of polar coordinates［J］. International journal of mathematical education in science and technology，2020（3）：405-423.

［7］喻平，單墫.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003（1）：12-16.

（責(zé)任編輯：陸順演）