浙江省麗水市麗水學院教師教育學院(323000)胡吉振 康佳潔 李永桃

湖北省武漢市華中師范大學教育學院(430072)周東明

湖北省武漢市華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院(430072)胡典順

1.問題提出

一般人們會認為,古希臘哲學與數(shù)學或者說西方哲學與數(shù)學有著十分密切的聯(lián)系,西方很多數(shù)學家也是哲學家,例如泰勒斯、畢達哥拉斯、萊布尼茨、笛卡爾、羅素等等,而中國古代哲學與數(shù)學的關系是否密切就沒有下文了.因此這個“沒有下文”也是值得研究的.哲學與數(shù)學的關系是跨文化的密切,是放之四海而皆準的密切.其實中國古代數(shù)學與中國古代哲學也是有著密切的關系.古希臘數(shù)學與哲學的關系基本上是正相關的,中國古代哲學與數(shù)學的關系即使是負相關的,但是負相關也是相關,也能說明二者是有關系的,其實中國古代哲學與數(shù)學也有正相關的內(nèi)容.就像恩格斯所說:“不管自然科學家采用什么樣的態(tài)度,他們還是受到哲學的支配.問題只在于: 他們是愿意受某種壞的時髦哲學的支配,還是愿意受一種建立在通曉思維的歷史和成就的基礎上的理論思想的支配[1].”這就說明了中國古代數(shù)學家肯定受到中國古代哲學思想的影響,那么這種影響對他們研究數(shù)學即使具有負面的影響,但是影響畢竟是存在的.以上說明了中國古代數(shù)學也是受到其哲學思想影響的.

中國傳統(tǒng)數(shù)學優(yōu)點很多,例如郭書春說中國古代數(shù)學具有“數(shù)形結合”的優(yōu)點[2]2,但是任何事物都不是完美無缺的,任何事物有優(yōu)點就有缺點的,我們也應該看到中國古代數(shù)學的缺點.其中一個缺點就是中國傳統(tǒng)數(shù)學過分的依賴計算工具,“算籌”也好,老子在《道德經(jīng)》中所強調(diào)的“善算不用籌策”中的“籌策”也罷,還有宋元時期發(fā)明的“算盤”,甚至在上個世紀七八十年代中國很多的地方還是使用的算盤.這種把數(shù)學建立在具體計算工具的基礎上,不利于數(shù)學真正徹底的從現(xiàn)實生活中脫離出來或抽象出來.中國古代從春秋時期開始到中西數(shù)學融合的明清時期至少已有兩千多年的數(shù)學發(fā)展史,但是沒有把外在的計算工具的運算法則內(nèi)化為抽象的數(shù)學語言符號規(guī)則,沒有把數(shù)學有形的具體的計算工具內(nèi)化為無形的心智運算,僅僅使數(shù)學大部分的工作局限在實際的工具(例如算盤)技術操作層面,沒有把數(shù)學內(nèi)化為心智的科學,這就說明了中國古代數(shù)學的抽象度不是太高.例如元初數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》中用具體的漢字“天”、“地”、“人”、“物”表示未知數(shù),在《四元玉鑒》中仍然存在一些含有單位名稱的數(shù)字[2].雖然在宋元時期中國古代數(shù)學走向了抽象化和邏輯化[3]136-138,但是這種外在依賴計算工具的數(shù)學發(fā)展模式依然阻礙了中國傳統(tǒng)數(shù)學進一步朝著理論化和抽象化的方向發(fā)展.現(xiàn)代數(shù)學可以用一支筆,一張紙(有的數(shù)學分支要一臺計算機)就可以研究數(shù)學了.但是中國古代數(shù)學沒有擺脫器具作為計算工具的約束.從“形而上者謂之道,形而下之謂之器”的視角來講,中國古代數(shù)學就沒有上升到“道”的高度,僅僅局限于或停留在“器”的層面.難怪一些學者對中國傳統(tǒng)數(shù)學秉承一種輕視的態(tài)度,像南宋理學大家朱熹對數(shù)學秉承了一種歧視的態(tài)度[4]133,說數(shù)學是“九九賤技”.這就是說中國古代數(shù)學沒有達到“道”的高度,僅僅在停留在“技”的層面,而“技”是與具體的工具聯(lián)系在一起的.中國古代數(shù)學只有擺脫了外在器具的制約,才可能從現(xiàn)實生活中抽象出來,才可能變成一門心智的學問,數(shù)學的發(fā)展才可能獲得自由,才可能達到“道”的高度,數(shù)學才可能像古希臘數(shù)學一樣是純粹數(shù)學.也就是說數(shù)學的發(fā)展必須擺脫外在器具的使用,必須把數(shù)學從現(xiàn)實生活中抽象出來,必須把外在的計算工具內(nèi)化.在這之中老子的“善算不用籌策”是一個值得肯定的觀點;魏晉時期數(shù)學家劉徽說:“數(shù)而求窮之者,謂之情推,不用籌算”.(《九章算術注》商功篇)這些都是值得肯定的,但是這種觀念在中國古代數(shù)學史上是很稀少的.數(shù)學的這種沒有從現(xiàn)實生活中完全脫離出來成為一門單獨的數(shù)學學科的事實,不妨稱為數(shù)學的“半抽象性”,中國古代數(shù)學其實就是一種“半抽象性”的數(shù)學.這種“半抽象性”的數(shù)學當然無法嚴謹,更談不上有邏輯演繹的成分,更不可能有公理化體系,因為公理化體系中數(shù)學基本元素必須從現(xiàn)實生活中抽象出來,在現(xiàn)實生活中的數(shù)學就不是抽象的,而是具體的,具體的東西都要變化的,就很難成為萬世不變的公理,只有抽象的數(shù)學概念才能是萬世不變的.這種數(shù)學的“半抽象性”可以實現(xiàn)數(shù)學應用的廣泛性.說中國古代數(shù)學是“半抽象性”的,其實很典型的證據(jù)是以《九章算術》和秦九韶的《數(shù)書九章》為代表的數(shù)學著作是可見一斑的.幾乎所有的數(shù)學習題都是數(shù)學在現(xiàn)實生活中的應用.《九章算術》反映了在現(xiàn)實生活生產(chǎn)中遇到的問題,當然主要是關于我國古代農(nóng)業(yè)文明的一些問題,例如《九章算術》的第一卷是“方田”[5];第二卷是“粟米”[5]等就反映了中國農(nóng)業(yè)文明下的數(shù)學知識在一些現(xiàn)實生活中的應用;但是再反觀古希臘數(shù)學家歐幾里得的《幾何原本》其實是遠離他們的現(xiàn)實生活的,沒有一個是現(xiàn)實生活中的應用數(shù)學問題.這就是說他們的數(shù)學是比較徹底的從現(xiàn)實生活中抽象出來了,形成了一門理論數(shù)學或純粹數(shù)學,因此他們的數(shù)學不是“半抽象性”的,是徹底的從現(xiàn)實生活中抽象出來的.從數(shù)學的本質(zhì)是抽象的觀點來講,中國古代數(shù)學僅僅是“半抽象性”的數(shù)學.而秦九韶的《數(shù)書九章》有以下九類: 第一類是大衍類,雖然在中國數(shù)學史上是天文歷法的內(nèi)容,但是秦九韶卻用來解決現(xiàn)實生活中的利息、粟米、建筑等問題;第二類是天時類,關于降雪降雨量的測量;第三類是田域類,涉及到土地面積;第四類是測望類,這類似乎沒有實用價值,但是也是與現(xiàn)實生活密切相關的;第五類是賦役類;第六類是錢谷類;第七類是營建類,也就是建筑工程問題;第八類是軍旅類;第九類是市易類[3].

以上九類可以看出全是現(xiàn)實生活中的數(shù)學,數(shù)學就是圍繞現(xiàn)實生活轉(zhuǎn)的或者說就是以現(xiàn)實生活為中心的,數(shù)學就沒有真正的從現(xiàn)實生活中抽象出來獨立的成為一門學科.

在今天看來按照數(shù)學學科的性質(zhì),數(shù)學發(fā)展到一定程度就需要從現(xiàn)實生活中抽象出來或脫離出來形成理論數(shù)學,這是數(shù)學學科性質(zhì)決定的.但是中國古代數(shù)學發(fā)展了那么長的時間為什么沒有完全從現(xiàn)實生活中脫離或抽象出來呢? 對這個問題的解釋可能有很多方面的原因,但是筆者僅僅從中國古代一元論哲學觀的視角分析這個問題.就像何兆武所說:“中國哲學走的路始終都是一個世界,西方哲學走的路則是兩個世界.西方把世界分為兩個,一個是永恒不變的絕對的世界,還有一個可以說是形而下的世界.這個形而下的世界是我們感知的世界,這個世界是不斷變化的,不是絕對的,而是相對的.西方的兩個世界這點或者可能和他們的宗教信仰有關.因為中國(至少漢民族)沒有宗教信仰,只有一個現(xiàn)實世界,所以中國哲學講到最后總是不脫離人倫日用,也就是不脫離我們的現(xiàn)實生活[6].”前文講到了中國古代數(shù)學中沒有把數(shù)學外在的器具內(nèi)化為抽象的心智活動,中國古代數(shù)學也沒有完全從現(xiàn)實生活中脫離或抽象出來成為一門純粹的學問,其實這與中國古人一個世界的哲學觀念是有著密切的聯(lián)系.

2.“半抽象性”和一個現(xiàn)實生活世界的觀念

中國古代哲學是一元論的哲學,中國古人是重視現(xiàn)實現(xiàn)世的生活,關注此岸的現(xiàn)實生活世界,沒有彼岸的來世世界的觀念.古代中國人雖然信了很多的神,但是從根本上講是沒有宗教信仰的,在這方面我們是一個早熟的民族.中國哲學基本上人生哲學,人生實踐是中國哲學的主題,這點與西方古代哲學是不同的[7]19-20.中世紀的歐洲人在宗教神學的統(tǒng)治之下,他們認為存在兩個世界,一個世俗的現(xiàn)實生活世界,另一個是天堂或天國的世界,只要信仰上帝,對上帝忠誠就可以在來世上天堂,這就是西方“兩個世界”的觀念.在這樣一個現(xiàn)實生活世界的觀念之下,是很難把中國古代數(shù)學的計算工具內(nèi)化為抽象觀念或抽象為符號語言,觀念的東西是遠離現(xiàn)實生活的,抽象的符號語言也是遠離現(xiàn)實生活的,但是作為具體計算工具的算籌和算盤卻是在現(xiàn)實生活之中的.一個世界的觀念就限制了用觀念或想象的世界來容納現(xiàn)實生活世界中的數(shù)學.純粹的數(shù)學是抽象的,是屬于精神世界的;而現(xiàn)實世俗世界是物質(zhì)的、是形象的、是具體的.如果讓數(shù)學脫離現(xiàn)實物質(zhì)生活世界成為純粹的學問,那么我們只有一個現(xiàn)實主義的生活世界,數(shù)學到何處去安身立命啊? 這就像一維的直線,是不能容納一個二維平面的.數(shù)學是抽象的,是從現(xiàn)實生活中抽象出的,抽象出來以后中國古人就不知道把數(shù)學放在何方? 按照中國古人一元的世界觀是沒有另外一個世界可以容納抽象的數(shù)學啊,因為我們只有這樣一個現(xiàn)實生活世界! 如果按照古希臘哲學家柏拉圖的“理念論”[8]47的觀點應該放在理念的世界中,但是中國古代文化是一元的文化,沒有類似于柏拉圖的“理念世界”.因此在中國人一元哲學觀念的影響下,數(shù)學是無法從現(xiàn)實生活中脫離出來的,但是數(shù)學的本質(zhì)又是抽象的,數(shù)學的本質(zhì)說明了數(shù)學為了更好的發(fā)展,必須從現(xiàn)實生活中抽象出來,這就形成了一個矛盾,也就是說一個世界的觀念與數(shù)學抽象性發(fā)展的趨向是矛盾的.這個矛盾的一個結果是中國古代數(shù)學有向抽象發(fā)展趨勢的可能性,但是一個現(xiàn)實生活世界的觀念在拉著中國古代數(shù)學家,無聲的告訴他們,不能脫離現(xiàn)實生活世界,否則數(shù)學靈魂的歸宿或精神的家園在哪里有著落啊! 于是中國古代數(shù)學家在理論數(shù)學與應用數(shù)學之間奔波,甚至像拔河比賽一樣來回在理論數(shù)學和應用數(shù)學之間拉鋸戰(zhàn),數(shù)學抽象脫離現(xiàn)實生活的本質(zhì)與中國古人熱愛現(xiàn)實生活的一元論哲學觀念是矛盾的,這個矛盾就形成了中國古代數(shù)學“半抽象性”的特征.中國古人都是偉大的現(xiàn)實主義者,人生就這一輩子,沒有來世.就像陸游所說:“死去元知萬事空”,人死去之后是沒有世界的.如果說數(shù)學在理念的世界,誰看得見或者說理念的世界在哪里? 現(xiàn)在看來的確不存在理念的世界,理念的世界是柏拉圖“騙人”的,但是有時候就是這樣,這個“騙人”的理念世界促進了古希臘數(shù)學的發(fā)展.所以說在這種觀念之下,中國古代數(shù)學是無法真正的從現(xiàn)實生活中脫離出來的,一個世界的觀念無法把抽象的數(shù)學從現(xiàn)實生活中抽象出來放在另一個理論的世界;但是兩個世界的世界觀是可以的;一個是世俗的世界,另一個是理念的世界.古希臘數(shù)學幾乎完全從現(xiàn)實生活中脫離出來,因為它秉承了兩個世界的哲學觀念,也可以說成一個是理論的世界,另一個是現(xiàn)實生活的世界或世俗的世界.西方人大多數(shù)在哲學上秉承了兩個世界的觀念,這就為他們的數(shù)學研究在精神上提供了安身立命的地方.中國傳統(tǒng)數(shù)學即使是到了宋元時期,中國古代數(shù)學在這個時期開始走向了抽象化和邏輯化,甚至數(shù)學家開始主動的創(chuàng)作數(shù)學[2]145,但是即使是朱世杰的《四元玉鑒》有很多的數(shù)學問題還是帶著單位名字的事物.這就顯示了中國傳統(tǒng)數(shù)學是沒有真正的脫離現(xiàn)實生活社會的數(shù)學.換句話說,中國人擺脫不了人倫日用,擺脫不了現(xiàn)實生活一個世界觀念的影響,數(shù)學同樣也是受到這種一元論哲學束縛的.中國古代的文化是和的文化,“和和美美”、“和氣生財”、“以和為貴”、“家和萬事興”、“天人合一”等等,這種和的觀念也可能是中國古代數(shù)學沒有徹底的從現(xiàn)實生活中抽象為理論高度的一個原因.當然也可以這樣理解,中國人太重視現(xiàn)實物質(zhì)世界的數(shù)學——應用數(shù)學,而不是太重視精神世界的數(shù)學——純粹數(shù)學.重視現(xiàn)實物質(zhì)生活的一個結果是,即使是書上的世界也是為現(xiàn)實生活世界服務的.陸游在《冬夜讀書示子聿》中告訴他兒子“紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行”,就是輕視“紙上”的理論世界,重視現(xiàn)實生活世界,這種對理論世界的輕視也是導致中國古代數(shù)學沒有完全從現(xiàn)實生活中脫離出來的原因.陸游在《示子遹》中對他的兒子說:“汝果欲學詩,工夫在詩外.”這些都是強調(diào)現(xiàn)實生活世界的重要性,而不是理論世界的重要性,從這個意義上講,中國傳統(tǒng)數(shù)學就很難從現(xiàn)實生活中抽象出來,而像古希臘數(shù)學一樣研究純粹的數(shù)學知識.在這種傳統(tǒng)文化的影響下中國古代數(shù)學要想存在出路就是生活化,出路就是與現(xiàn)實生活密切的聯(lián)系起來,就是研究數(shù)學要有務實精神,否則研究理論數(shù)學可能會遭到更大的阻礙.數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系在中國古代社會是這種一元論哲學發(fā)展的必須趨勢和結果.

以上是理論的推導,下面我們從中國古代數(shù)學著作中來進一步驗證數(shù)學是不是存在于一個現(xiàn)實生活世界之中.《孫子算經(jīng)序》中說:“夫算者,天地之經(jīng)緯,群生之元首,五常之本末,陰陽之父母,星辰之建號,三光之表里,五行之準平,四時即始終,萬物之祖宗,六藝之綱紀.”這種觀念就是說“數(shù)”存在于萬事萬物之中,它是不能脫離具體的事物而單獨存在的,這就說明了數(shù)學是沒有脫離現(xiàn)實生活世界.這種觀念與中國一元論的現(xiàn)實生活世界觀念是一致的.魏晉數(shù)學家劉徽在《九章算術注序》中說:“以通神明之德,以類萬物之情.”劉徽沒有說數(shù)學存在于何方,但是可以看出數(shù)學存在于“神明之德”之中,存在于“萬物之情”之中,也就是說數(shù)學蘊含在物質(zhì)生活世界之中,這就是現(xiàn)實生活的一元論哲學對劉徽的影響.南宋數(shù)學家楊輝在《日用算法序》中說:“萬物莫逃乎數(shù),是數(shù)也,先天地而已存,后天地而已立,蓋一而二,二而一也.”其譯文為:“世界上一切事物沒有能離開數(shù)而存在的,數(shù)在天地產(chǎn)生之前就已經(jīng)存在了,在天地產(chǎn)生以后就什么也離不開它了,天地和數(shù)是一個事物的兩個方面,它們實際上就是同一個東西.”從以上也可以看出,數(shù)存在于萬物之中,數(shù)存在的世界就是我們現(xiàn)實生活的世界,數(shù)是不可能在其他世界存在的,這就是說楊輝受到中國傳統(tǒng)哲學一元論的影響.在我們傳統(tǒng)文化觀念中,數(shù)或數(shù)學無法存在于一個所謂柏拉圖的理念世界里,只有回歸到現(xiàn)實生活之中,只有存在于現(xiàn)實生活的萬事萬物之中,這也造就了中國古代數(shù)學主要是現(xiàn)實生活的應用數(shù)學.以上這些數(shù)學家一元論的觀點與中國古代哲學中的“體用不二”、“道在器中”、“道氣一體”等哲學觀念也是類似的或相同的,這也充分說明了中國古代數(shù)學家是受到一個現(xiàn)實生活世界觀念影響的.

3.對當代數(shù)學教育的啟示

一個民族的數(shù)學發(fā)展是受到這個民族文化影響的,尤其是受到它的哲學觀念的影響,中國古代數(shù)學也是如此.中國傳統(tǒng)數(shù)學的優(yōu)點很多,但是一個致命的缺點是它從來沒有擺脫有形計算工具的束縛,換句話說沒有把計算工具內(nèi)化為抽象的數(shù)學符號.這就說明了中國傳統(tǒng)數(shù)學沒有完全從現(xiàn)實生活中分離出來或抽象出來,成為一門純粹的理論學科.追究其原因在于,受到本民族一元論的現(xiàn)世主義哲學的影響.中華民族在哲學觀念上秉承的是“體用不二”或“道器一體”的一元論文化觀念,一個現(xiàn)實主義世界的觀念下無法容納另一個完全脫離現(xiàn)實生活純粹理論的存在.在一個現(xiàn)實生活世界中如果抽象出純粹的數(shù)學,那么在中國古人看來,從現(xiàn)實生活世界抽象出來的數(shù)學就沒有其他世界提供它容身或安身立命的地方,于是本來可以從現(xiàn)實生活中抽象出來的數(shù)學只有又回歸于現(xiàn)實生活,這也是中國古代數(shù)學為什么是以應用數(shù)學為主,而沒有像古希臘數(shù)學那樣是以純粹數(shù)學或理論數(shù)學為主的原因之一.

中國古代數(shù)學家沒有完全把數(shù)學從現(xiàn)實生活中抽象出來,這在一定程度上解釋了中國古人在數(shù)學上的抽象思維是欠缺的,這就說明了抽象思維在我們民族文化中不是太發(fā)達的,在民族文化基因中是缺少抽象思維能力的,這是由于中國古代數(shù)學具有“半抽象性”決定的,因此我們必須直面正視這個事實,而不是回避這個事實.這就啟示數(shù)學教育界在今天的中小學數(shù)學教育中,要重點的培養(yǎng)學生的抽象思維,抽象思維應該是中小學數(shù)學教育培養(yǎng)的主要目標.中國傳統(tǒng)數(shù)學是以應用為主的數(shù)學,這種數(shù)學的應用性在我們民族的血液中和文化遺傳基因中是永恒存在的.但是從以上分析可以看出,在中小學數(shù)學教學中不能過分的強調(diào)數(shù)學與生活的聯(lián)系,過分的強調(diào)數(shù)學與生活的聯(lián)系就是強調(diào)數(shù)學的應用性,強調(diào)數(shù)學的應用性在某種程度上就是強調(diào)數(shù)學是一門形象思維的科學,就是強調(diào)數(shù)學不是抽象的科學,這時候應用的數(shù)學是背離數(shù)學抽象的本質(zhì),因此我們就不應該在中小學數(shù)學教育中過多提倡數(shù)學生活化,更應該強調(diào)數(shù)學的抽象性,更應該以培養(yǎng)學生的抽象思維能力為主.抽象思維才是我們民族文化中稀缺的資源,因為在傳統(tǒng)文化中沒有抽象思維的遺傳文化基因,在數(shù)學教育中要加倍強調(diào)抽象思維培養(yǎng)的重要性和重視數(shù)學理論的建構.數(shù)學生活化的具體內(nèi)涵就應該從數(shù)學自身的特點出發(fā),數(shù)學的生活“化掉”的不應該是數(shù)學的特點.生活化的過渡導致了只見“生活”不見“數(shù)學”,例如在教學中把數(shù)學的抽象性、嚴謹性生活“化掉”了,那還是數(shù)學教學嗎?“數(shù)學生活化的邊界”雖然可能是模糊的,是一個動態(tài)的概念,但是最重要的一點是不能把數(shù)學的本質(zhì)或特點生活“化掉”! 數(shù)學畢竟不是生活的全部,數(shù)學有它自身的本質(zhì)屬性,就像周東明所說,在正確理解“加強數(shù)學教學與生活的聯(lián)系”的同時要堅持數(shù)學教學的“數(shù)學性”,數(shù)學教學如果沒有“數(shù)學性”,這樣的教學是不可取的[9].胡典順、趙軍進行了理性的反思,也提出了數(shù)學不能過渡生活化的思想[10].

在中國文化中缺少的不是形象思維,而是抽象思維.從一元論的哲學觀念來看,中國古人熱愛火熱的現(xiàn)實生活,而現(xiàn)實生活不是抽象的,不是邏輯的,不是嚴謹?shù)?不是看不見的;而是形象的,是具體的,是可以看得見,摸得著的.從這個意義上講,在現(xiàn)代數(shù)學教育中不要過多的強調(diào)培養(yǎng)學生的形象思維的重要性.在每個中國人文化血管中流淌的是形象思維的血液.我們的漢字也可以培養(yǎng)我們的形象思維.因此,在中小學數(shù)學教學中可以縮小對學生形象思維培養(yǎng)的力度,把更為多的時間與精力用在學生抽象思維能力的培養(yǎng),這是很有必要的;毋庸置疑形象思維是我們民族優(yōu)秀的文化傳統(tǒng),當然需要很好的繼承下去.教育就要結合本民族的文化特點與放眼世界的基礎上尋找“中間地帶”,而不是物極必反的走向一個極端.從這個意義上講,中國古代圣人孔子的“中庸”觀念是值得提倡的,也是具有永恒普世價值的.

4.結語

任何一個民族的哲學與它的數(shù)學都是有著密切的聯(lián)系,中國古代數(shù)學與哲學的關系也是如此.中國古代數(shù)學沒有完全從現(xiàn)實生活中抽象出來形成純粹的理論數(shù)學,這與中國古人只有一個世界的哲學觀念是有著十分密切的聯(lián)系.一個現(xiàn)實生活的世界觀念,就無法把現(xiàn)實生活中的數(shù)學抽象出來讓它在另一個世界存在,這就造成了中國古代數(shù)學是生活化的數(shù)學,是應用形態(tài)為主的數(shù)學,這也造成了中國古代數(shù)學抽象度不高.從中國古代數(shù)學這種“半抽象性”的實際情況出發(fā),在一定程度上揭示了中國古人的抽象思維還不是太發(fā)達.基于這種文化基因的影響,在今天的數(shù)學教育中,更要重視對學生抽象思維能力的培養(yǎng),不要過渡提倡數(shù)學的生活化.