尹海燕，崔海波

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是一門有重要應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)課程，是經(jīng)濟(jì)、生物和管理等眾多理工科專業(yè)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)事件應(yīng)對(duì)能力、理性處理事件的能力、數(shù)據(jù)分析處理與建模能力，以及提高學(xué)生的綜合素質(zhì)及思想政治水平等方面起著十分重要的作用。高校各專業(yè)都開(kāi)設(shè)了這門課程，甚至在中學(xué)教學(xué)中也涉及概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)。傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式，如啟發(fā)式、歸納類比式等教學(xué)模式，雖然能夠使學(xué)生掌握一些數(shù)學(xué)概念、公式和方法，但已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能跟上新時(shí)代、新工科和新文科的步伐，也不能滿足學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)需要，不能更好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和解決問(wèn)題能力。因此，在新時(shí)代、新工科和新文科背景下，課堂教學(xué)模式的改革是必然的，教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念和方法十分必要。教師需設(shè)計(jì)新的教學(xué)模式以適應(yīng)當(dāng)前和未來(lái)的教育，在實(shí)踐中創(chuàng)新教學(xué)方法、豐富課程內(nèi)涵、優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)、改進(jìn)課堂管理，在教學(xué)中結(jié)合學(xué)生的專業(yè)知識(shí)，準(zhǔn)確地把握這門課程與學(xué)生所學(xué)專業(yè)的結(jié)合點(diǎn)，不斷地滲透該課程的思想方法，突出其應(yīng)用性，不斷增加并調(diào)整教學(xué)實(shí)例，將理論與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)的知識(shí)解決具體實(shí)際問(wèn)題的能力，提高教學(xué)效率，從而讓學(xué)生從學(xué)習(xí)中獲得樂(lè)趣。本文結(jié)合“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程，討論翻轉(zhuǎn)課堂、數(shù)學(xué)建模和課程思政在該課程教學(xué)中的應(yīng)用。

一、翻轉(zhuǎn)課堂（顛倒課堂）在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)中的應(yīng)用

在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，由于該課程概念抽象且定義、公式和例子等知識(shí)點(diǎn)繁多、專業(yè)性強(qiáng)，所以采用傳統(tǒng)的課程教學(xué)［1］，學(xué)生易產(chǎn)生枯燥感，失去主動(dòng)學(xué)習(xí)和思考的能力及動(dòng)力。特別是學(xué)生的自主思考能力完全受到限制，幾乎沒(méi)有興趣更沒(méi)有時(shí)間自我審視學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而學(xué)習(xí)比較盲目，缺乏主動(dòng)性，方法單一。在新時(shí)代背景下，網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上的教學(xué)資源非常豐富，為教師、學(xué)生提供了各種方便。通過(guò)網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生可以輕松、方便地獲取學(xué)習(xí)資源，教師分析和了解學(xué)生的學(xué)習(xí)行為也更加方便。翻轉(zhuǎn)課堂是新時(shí)代的產(chǎn)物，顛覆了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，改變了以教師為中心“滿堂灌”的方式，為新時(shí)代教學(xué)提供了一種發(fā)展思路，為學(xué)生提供了自我審視的機(jī)會(huì)和針對(duì)性的補(bǔ)強(qiáng)機(jī)會(huì)。

另外，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程使用翻轉(zhuǎn)課堂具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，學(xué)生在課前完成自主學(xué)習(xí)，按照教師布置的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過(guò)觀看教師提前布置的微課視頻、網(wǎng)絡(luò)講座、播客、閱讀功能強(qiáng)的電子書或課本，在網(wǎng)絡(luò)上與其他同學(xué)討論，能隨時(shí)查閱所需材料，且把學(xué)習(xí)中遇到的難題記下來(lái)。

在課堂上，教師則采用講授法和協(xié)作法以滿足學(xué)生的需要并促成他們的個(gè)性化學(xué)習(xí)。例如，教師把學(xué)生分成若干小組，要求學(xué)生以小組討論的形式討論教師布置的任務(wù)及課前學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題，并及時(shí)把結(jié)果反饋給教師。在課后，學(xué)生把課堂知識(shí)和課前任務(wù)相結(jié)合，邊看邊琢磨復(fù)習(xí)課堂上的問(wèn)題。翻轉(zhuǎn)課堂可以讓學(xué)生提前學(xué)習(xí)，自主規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)節(jié)奏、風(fēng)格和呈現(xiàn)知識(shí)的方式，培養(yǎng)了學(xué)生的時(shí)間管理能力和自我控制能力，增強(qiáng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。例如，在《方差》這一節(jié)，如果僅依靠課堂的教學(xué)時(shí)間傳授知識(shí)，那么很難在有限的時(shí)間把內(nèi)容高效率地傳達(dá)給學(xué)生，難以滿足教學(xué)要求，并且不能兼顧所有學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。為了增加這一節(jié)應(yīng)用性和學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，教師可以采用翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)方式。如課前教師分組布置任務(wù)，提前精心準(zhǔn)備微視頻，要求學(xué)生查找文獻(xiàn)，尋找并說(shuō)明期望（中心位置）相同但集中程度不同的實(shí)際例子，并提出問(wèn)題：（1）為什么使用X 和X 的期望之差的平方的期望，而不使用X 和X 的期望之差的期望？也不使用X 和X的期望絕對(duì)值之差的期望？（2）為什么又引入均方差，量綱的作用是什么？（3）如何計(jì)算離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的方差？（4）方差和期望有什么區(qū)別和聯(lián)系？再結(jié)合微課視頻，學(xué)生可以隨時(shí)隨地地觀看視頻，還可以邊看邊琢磨這些問(wèn)題；教師創(chuàng)新設(shè)置微課長(zhǎng)度，課程內(nèi)容要保證10～15分鐘，不能照本宣科，內(nèi)容要全面精致，質(zhì)量要達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)要求；設(shè)計(jì)附有詳細(xì)答案解析的微課配套習(xí)題及難度不同的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生課前預(yù)習(xí)微課視頻和書本內(nèi)容，收集遇到的難題。在課中，教師把學(xué)生分成若干小組，鼓勵(lì)學(xué)生之間以小組討論形式進(jìn)行學(xué)習(xí)；教師和學(xué)生充分討論課前學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題，再結(jié)合計(jì)算類的例子來(lái)說(shuō)明方差在隨機(jī)變量中的意義。教師就某一難題或該難題下若干問(wèn)題進(jìn)行分組，要求每組該一名學(xué)生上臺(tái)講授問(wèn)題的解決方法，然后臺(tái)下其他學(xué)生可以對(duì)該學(xué)生的講授內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充和點(diǎn)評(píng)，教師對(duì)所有學(xué)生的講解做點(diǎn)評(píng)并給出解法。在這個(gè)實(shí)施過(guò)程中，由于學(xué)生需要自己查找資料，與同學(xué)互相討論，與教師溝通交流，并且通過(guò)上臺(tái)講授可以感受教師的角色，所以在無(wú)形當(dāng)中，學(xué)生查閱文獻(xiàn)的能力、交際溝通能力、語(yǔ)言表達(dá)能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力等都會(huì)得到提高。最后，在作業(yè)設(shè)置環(huán)節(jié)，教師針對(duì)實(shí)際學(xué)習(xí)情況布置作業(yè)，讓學(xué)生帶著問(wèn)題思考習(xí)題，完成作業(yè)，將這些作業(yè)作為問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，從而促使學(xué)生更加深入地了解方差的知識(shí)點(diǎn)，與此同時(shí)，教師處于一種共同學(xué)習(xí)、共同思考的關(guān)系中，也參與了整個(gè)思考過(guò)程。

二、數(shù)學(xué)建模在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中的應(yīng)用

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的模型化就是把所考慮的具體實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，首先構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究，然后轉(zhuǎn)化為概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，從而解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)的三大思想之一［2，3］，是解決一些實(shí)際問(wèn)題的重要工具。在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中建立數(shù)學(xué)模型，是為了針對(duì)具體的實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行科學(xué)合理的分析和計(jì)算。在授課時(shí)注重模型的引入，既提供了理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的平臺(tái)，又可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)新意識(shí)，避免了學(xué)生“只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)林”的短期效應(yīng)及“學(xué)數(shù)學(xué)沒(méi)有用途”的偏見(jiàn)。教師可以結(jié)合生活實(shí)例，運(yùn)用“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的提升與轉(zhuǎn)移。實(shí)際問(wèn)題中很大一部分可以用概率模型進(jìn)行描述，如等可能概型（古典概型）、伯努利概型（二項(xiàng)分布）、泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布等。根據(jù)所考慮的問(wèn)題，構(gòu)建抽象模型，反映考慮隨機(jī)問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律，選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答?！案怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)”教學(xué)應(yīng)重視對(duì)概率模型的理解，并且淡化繁雜的計(jì)算，使學(xué)生感受從多個(gè)實(shí)例中概括具體概率模型的過(guò)程，體會(huì)這些實(shí)例的共同點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生建立模型的能力，因此，探討應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想是十分必要的。

在《數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用》這一節(jié)，教師一般先引入例子或者通過(guò)引入期望的歷史由來(lái)說(shuō)明考慮期望的必要性。如果這一節(jié)僅依靠課堂的教學(xué)時(shí)間傳授知識(shí)，那么很難在有限的時(shí)間把內(nèi)容高效率地傳達(dá)給學(xué)生，難以滿足教學(xué)要求，并且不能兼顧所有學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。為了增加這一節(jié)應(yīng)用性和學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，教師可以采用考慮先引入一個(gè)具體的例子，如銷售利潤(rùn)最大化問(wèn)題。例如，某超市按季節(jié)出售的某種應(yīng)時(shí)商品，每售出1kg獲利6 元，如到季末尚有剩余商品，則每千克凈虧損2元，設(shè)某商店在季節(jié)內(nèi)這種商品的銷售量X（以kg計(jì)）是一隨機(jī)變量，X在區(qū)間（8，16）內(nèi)服從均勻分布，問(wèn)商店應(yīng)進(jìn)多少貨，使商店所獲利潤(rùn)最大？對(duì)于類似這樣的問(wèn)題，首先建立具體函數(shù)模型，即利潤(rùn)和進(jìn)貨量、銷售量的函數(shù)關(guān)系，然后考慮利潤(rùn)最大。

三、課程思政元素在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中的應(yīng)用

習(xí)近平總書記在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上指出：“要堅(jiān)持把立德樹(shù)人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過(guò)程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人，……其他各門課都要守好一段渠、種好責(zé)任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)?！保?］所以，立德樹(shù)人是高校立身之本。課堂教學(xué)是育人主渠道［5-7］。在課程思政理念下，作為“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教師應(yīng)從育人的本質(zhì)要求出發(fā)，提高自身的育德意識(shí)和育德能力，圍繞立德樹(shù)人這一根本任務(wù)，充分發(fā)掘和運(yùn)用“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中蘊(yùn)含的思想政治教育資源，凸顯其在知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)和品質(zhì)塑造等方面的教育價(jià)值，通過(guò)融入社會(huì)主義核心價(jià)值觀的精髓要義，引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀，發(fā)揮思想政治教育作用。“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程在開(kāi)展課程思政教學(xué)上有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)引入大量的生活常識(shí)與耳熟能詳?shù)闹V語(yǔ)、搭建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系等教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生用概率的眼光解讀未知的世界，用統(tǒng)計(jì)的方法指導(dǎo)工作與生活。在關(guān)注知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)、情感價(jià)值塑造的同時(shí)，將辯證唯物主義、科學(xué)精神、家國(guó)情懷、人生觀及社會(huì)主義核心價(jià)值觀等思政元素，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地融入“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)，使知識(shí)傳授與價(jià)值引領(lǐng)同頻共振，最終實(shí)現(xiàn)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程立德樹(shù)人的核心功能。通過(guò)豐富課堂案例，結(jié)合案例分析進(jìn)行道德品質(zhì)、人生觀、價(jià)值觀教育。挖掘案例中的德育內(nèi)涵，詮釋知識(shí)背后的價(jià)值取向和人文精神，起到育才與育人一舉兩得的效果。

1.通過(guò)博餅介紹閩南民俗文化，增加學(xué)生對(duì)隨機(jī)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。投骰子試驗(yàn)在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中多次出現(xiàn)。為了讓學(xué)生能夠切身體驗(yàn)投骰子試驗(yàn)，在第一堂課互動(dòng)并介紹博餅（起源于福建廈門鼓浪嶼，始于清初，是一種獨(dú)特的中秋習(xí)俗），從而了解隨機(jī)事件及概率。啟發(fā)學(xué)生思考獲得“對(duì)堂”和“三紅”的概率有多大？隨機(jī)包含兩方面的含義：一方面，單一事件的不確定性和不可預(yù)見(jiàn)性；另一方面，事件在經(jīng)歷大量重復(fù)試驗(yàn)中表現(xiàn)出規(guī)律性。

2.二項(xiàng)分布問(wèn)題。在教學(xué)中通過(guò)這樣的例子讓學(xué)生認(rèn)識(shí)二項(xiàng)分布。假定某工廠有同型號(hào)紡織機(jī)80臺(tái)，各臺(tái)是否正常工作是相互獨(dú)立的。每臺(tái)紡織機(jī)發(fā)生故障的概率都是0.01。工廠有機(jī)器維修工4人。試求下面兩種情況下紡織機(jī)發(fā)生故障來(lái)不及維修的概率，這里假定1臺(tái)紡織機(jī)可由1 個(gè)人處理故障。（1）每人各自負(fù)責(zé)指定的20臺(tái)紡織機(jī)；（2）4人共同負(fù)責(zé)80臺(tái)紡織機(jī)?！凹徔棛C(jī)發(fā)生故障來(lái)不及維修的概率”與同一時(shí)刻紡織機(jī)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)有關(guān)，與具體是哪幾臺(tái)紡織機(jī)發(fā)生故障無(wú)關(guān)，把一臺(tái)紡織機(jī)是否發(fā)生故障看成一次試驗(yàn)，假設(shè)服從伯努利試驗(yàn)，因此構(gòu)建二項(xiàng)分布的概率模型。通過(guò)計(jì)算第一種情況各人來(lái)不及維修的概率是0.0169，第二種情況4個(gè)人來(lái)不及維修的概率是0.0013。由0.0013＜0.0169知，雖然第二種情況每人維修的數(shù)量也是20臺(tái)，但整體工作效率卻比第一種情況要高。所以在工作中應(yīng)發(fā)揚(yáng)團(tuán)結(jié)互助精神。

3.《伊索寓言》中《孩子與狼》的故事。在教學(xué)中，我們可以以“故事中的村民對(duì)孩子的可信度是如何下降的”這個(gè)問(wèn)題為先導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生用概率語(yǔ)言表示故事中的事件，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用概率知識(shí)解決上述問(wèn)題。首先設(shè)事件A為“小孩說(shuō)謊”，事件B為“小孩可信”，再假設(shè)“可信的孩子說(shuō)謊的概率為0.1，不可信的孩子說(shuō)謊的概率為0.5”，即村民原來(lái)對(duì)這個(gè)孩子的印象是較為可信的，不妨設(shè)0.8是先驗(yàn)概率。在獲得新的信息時(shí)（第一次村民上山打狼，發(fā)現(xiàn)狼沒(méi)有來(lái)，即孩子說(shuō)謊），村民對(duì)這個(gè)小孩的可信度進(jìn)行了重新評(píng)估，利用貝葉斯公式可以計(jì)算出村民對(duì)孩子的可信度改變?yōu)?.444；當(dāng)小孩第二次說(shuō)謊后，在可信度為0.444的基礎(chǔ)上，再一次用貝葉斯公式計(jì)算得村民對(duì)小孩的可信度變成了0.138。經(jīng)過(guò)兩次上當(dāng)，村民對(duì)這個(gè)小孩的可信度已經(jīng)從0.8下降到0.138，如此低的可信度，村民聽(tīng)到第三次呼叫時(shí)怎么會(huì)再上山打狼呢？故事詮釋了誠(chéng)信的重要性。