王越 何聲清

【摘 要】 文章通過梳理近十余年數學教育領域APOS理論的應用研究，厘清核心議題、凝練有益經驗。研究者對未來研究提出以下展望：從宏觀和微觀層面系統(tǒng)構建數學概念的理解層級模型;系統(tǒng)開展教學循證實踐并形成標準化教學案例;系統(tǒng)研究本土化實踐面臨的問題并提出可行性方案。

【關鍵詞】 APOS理論;理解水平;概念教學;學情分析

一、問題提出

“以學定教”是基礎教育階段數學教學設計的基本準則?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》指出，數學教學要符合學生的認知規(guī)律和心理特征，使其逐步形成適應終身發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)[1]?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版2020年修訂）》提出，數學教學要關注數學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，通過制定科學合理的學業(yè)評價標準，促進學生在不同學習階段素養(yǎng)水平的達成[2]。

新課改后，盡管“以學定教”的理念已然受到教師的廣泛認同，但在教學實踐中還存在難以有效落實的情況。有研究顯示，教師在分析學情時常常過于依賴教學經驗，缺乏實證分析，難以對學習過程進行科學、深刻的描述與解釋，因而不利于教學的改進[3]。其中，一個根本問題是如何科學、深刻地描述和解釋學生的學習過程？對此，美國數學家杜賓斯基提出刻畫學生概念發(fā)展的APOS理論，認為數學概念的學習要經歷活動（Actions）、程序（Processes）、對象（Objects）、圖式（Schemas）四個階段[4]?！盎顒印彪A段是數學概念學習的起點，學生在該階段通過接觸感性材料、實施具體操作，獲得概念的初步印象。例如，給學生呈現一個函數公式，學生采用代入法計算某個給定點的函數值，初步獲得函數的概念。當多次重復上述操作后，學生通過歸納、概括及反思在頭腦中形成內化的“程序”。例如，學生通過嘗試計算不同點的函數值后，便認識到“給定一個點就會得到相應的值”。這一階段與上一階段的區(qū)別是學生不必再進行具體的活動（即計算），而是在頭腦中建立起“函數機”這樣的程序（即“程序性理解”），認識到“函數表示的是一個‘輸入—輸出的程序”。當認識到可以將上述程序視作一個整體而進行研究或運算時，學生的理解就達到了“對象”階段。例如，學生建立起對函數的“對象性理解”后，就能夠把它視作一個“數學對象”，從而開始研究這個“數學對象”的性質（例如單調性、奇偶性），并能對這個“數學對象”進行運算（例如復合運算、四則運算）。在達到“對象”階段后，學生基本能理解概念本身，但尚未建立該概念與已有認知結構中其他概念的聯(lián)系。當學生經過多次“活動”“程序”及“對象”的循環(huán)后，便能建立起對該概念更加系統(tǒng)的理解，即心理“圖式”。例如，學生在實現函數的“對象性理解”后，將該概念與方程、不等式等建立聯(lián)系，對該概念的理解就達到了“圖式”水平。

APOS理論對“以學定教”理念在教學實踐中的落地提供了一個標準化、可操作的理論框架，它刻畫了學生概念理解循序漸進、逐級抽象的基本過程。APOS理論自引進國內后，學界對其開展了哪些應用研究？是如何研究的？當前研究取得哪些有益經驗？筆者對近十余年APOS理論的應用研究進行梳理，厘清核心議題、總結有益經驗，為教學實踐中的學情分析、以學定教提供方法參考，為該領域未來研究的方向提出展望。

二、APOS理論應用研究的核心議題及方法

（一）基于APOS理論刻畫概念理解水平

為了科學地回答“學生是如何學習數學的”[5]96，美國數學家杜賓斯基提出APOS理論的初衷是尋求一個刻畫概念理解水平的一般框架。從當前應用研究來看，基于APOS理論考察特定概念的理解水平是主流方向。

濮安山等基于APOS理論編制函數概念測評工具，考察了兩所學校高中生對函數概念的理解情況。結果顯示，學生在做“對象”水平的題目中正確率較低（最高僅為47.6%），他們對函數概念的理解大多停留在初步認識、機械解題的水平。該研究還以APOS理論為標準比較了中美教材中函數概念編寫方式的差異，發(fā)現國內教材在“活動”和“程序”階段設計較好，但針對“對象”階段的設計則較少[6]。秦德生基于APOS理論建立導數概念的理解層次模型，通過問卷調查等考察了東北地區(qū)高中與大學學生的理解水平。結果顯示，高三和大一年級學生對“瞬時變化率”的理解水平不存在顯著性差異（p=0.15），對“極限”形式化定義的理解水平存在顯著性差異（p<0.05）;大一和大四年級學生對“導數”形式化定義的理解水平存在顯著性差異（p<0.05）。鑒于以上結果，該研究建議：將導數內容放到高中階段具備可行性;高中階段導數概念的教學尚不能建立在抽象的極限、連續(xù)概念之上，而應該借助直觀的物理背景加以描述;導數形式化定義的理解需要建立在大學階段的長期教學之上[7]。熊丙章基于APOS理論建立算法理解的評價標準，通過問卷調查考察了高中生算法概念的理解水平。結果顯示，學生對算法結構、算法語句的理解水平偏低，對于循環(huán)語句、條件語句的理解也不太理想。由此建議：算法內容的設計應借助實例將其轉化成計算機語言加以表述，教學應以上機驗證學生的算法為主[8]。除基礎教育階段外，APOS理論在高等數學教學研究中的應用也較廣泛[9-10]，在此不做贅述。

綜上所述，基于APOS理論刻畫概念理解水平的一般流程是：首先，基于APOS理論構建特定概念的理解層級模型;其次，以該模型為依據編制測量工具;最后，基于測量工具開展調查研究，統(tǒng)計學生在各理解層級上的分布情況。

（二）基于APOS理論開展階段化教學

在回答“學生是如何學習數學的”之后，“制訂什么樣的教學計劃”就成為APOS理論關注的另一個問題[5]96。因此，基于APOS理論開展階段化教學是另一個主要研究方向。

張中發(fā)以數列概念為例，通過實驗研究考察了基于APOS理論的階段化教學對學生學業(yè)成績、問題解決能力及非認知因素的影響。結果顯示，實驗班在學業(yè)成績和非認知因素方面均顯著優(yōu)于對照班（p<0.05），在處理復雜問題時的表現也優(yōu)于對照班，而且題目越綜合、難度越大，上述差異就越明顯，這說明基于APOS理論的階段化教學能有效促進學生全面發(fā)展[11]。江春蓮等基于APOS理論設計了“二次函數圖象平移”的教學，采用動態(tài)幾何軟件作為教學輔助，通過準實驗研究考察了該教學方式對于學生概念理解的影響。結果顯示：實驗組學生在二次函數圖象的平移、點的平移等任務上的表現均顯著優(yōu)于對照組。該研究還指出，基于APOS的教學設計還可以推廣到三角函數圖象變換的教學中，顯示了該理論在指導教學實踐方面的優(yōu)越性[12]。潘春娥等基于APOS理論設計了“指數函數及其性質”的教學階段，采用皓駿（Hawgent）動態(tài)數學軟件作為教學輔助，引導學生先后經歷了五個關鍵學習環(huán)節(jié)。學習過程的設計適應了學生的思維發(fā)展特征，因此學生不僅能夠收獲“魚”（知識和技能）和“漁”（思想和方法），還能獲得極大的“欲”（動機和興趣）[13]。張云輝等基于APOS理論設計了函數概念的起始課教學，構建了創(chuàng)設情境“話”函數→實例分析“生”函數→剖析概念“辨”函數→經歷實踐“用”函數→總結反思“悟”函數→感悟哲思“賞”函數的階段化教學流程，以初中階段的“變量說”觀點為暗線，以高中階段的“對應說”觀點為明線，實現了函數概念教學的連貫性和整體性[14]。李彩紅等在分析學生對于“函數”概念理解困難的基礎上，融合APOS理論、多元表征理論及變式教學理論進行了階段化的教學設計，證實了APOS在促進學生概念學習方面的優(yōu)勢，指出階段化教學有助于學生深化概念理解，把握概念建構的過程，有助于提升教學質量和效果[15]。吳華等基于APOS理論設計了“導數”概念的教學階段，采用GeoGebra軟件作為教學輔助，引導學生先后經歷了活動操作、主動探究、構造概念及建立圖式四個學習階段，相繼實現了感悟平均速度、理解導數概念、掌握運算性質及形成概念體系四個學習目標[16]。8047C9C7-6FA2-4B4B-AD64-F7EF1998FAA6

綜上所述，基于APOS理論開展階段化教學的一般研究流程是：首先，基于APOS理論對特定概念的教學進行再設計;其次，根據該教學設計開展教學實驗和調查研究;最后，基于實驗數據、課堂記錄和課后訪談等，驗證上述階段化教學的有效性。

（三）基于APOS理論的教師知識研究

除上述兩個主要應用方向的研究外，還有基于APOS理論開展教師知識方面的研究。例如，有研究基于APOS理論考察教師的學科知識水平。顧慶梅基于該理論考察了數學教師對“位值”等概念的理解水平。結果顯示，教師的數學本體知識大都處于中段的程序和對象水平，而達到圖式水平的教師比例較低。再如，在退位減法問題中，教師活動、程序、對象及圖式水平的比例分別為5%、45%、40%及10%;在兩位數乘兩位數問題中，上述四個水平的比例分別為5%、46.67%、40%及8.33%。研究指出：教師應加強學科本體知識的學習，在教學活動中將學科本體知識與教學知識相結合[17]。又如，戴錫瑩基于該理論構建了數學教師教育技術知識（TPMK）的結構體系[18]。劉曉靜基于APOS理論，通過課堂觀察等方法考察了職初教師與專家型教師教學過程的差異及由此產生的影響。結果顯示，當教師在程序、對象階段的教學差異較大，所教學生的學業(yè)成績也存在顯著性差異（p<0.05）[19]。由此可見，APOS理論可作為衡量教師本體知識、教學知識的參考框架。新課改后，教師對于“以學定教”理念大都是“高度贊同、低效落實”，原因在于其分析學情的方法不合理、教學過程的設計無依據。當前，有關教師基于APOS理論（包括但不限于）開展階段化教學能力的研究相對較少，建議未來研究可對此展開更深入的探索。

三、APOS理論應用研究的反思

綜上所述，已有研究顯示，APOS理論的本土化應用對于數學的教與學產生了積極影響，基于該理論構建的概念理解層級模型清晰地刻畫了學生的學習過程，基于該理論構建的階段化教學對數學學業(yè)成就、問題解決能力、非智力因素均有積極影響。除此之外，該理論在本土化過程中尚面臨諸多問題或挑戰(zhàn)。當前研究對此有哪些有益經驗？筆者對此進行了以下反思。

（一）情境是“活動”的手段而非目的

根據APOS理論，活動是概念學習的第一步，即接觸感性材料、實施具體操作，以獲得概念的初步印象。在該階段，為概念學習創(chuàng)設適切的現實情境尤其重要。但值得注意的是，創(chuàng)設情境是手段而非目標，當學生通過現實情境達到活動水平、初步感知數學后，應引導他們往更高的理解水平發(fā)展，而不要在情境本身周旋過多。概念教學不可流于情境、不能陷于活動，否則容易顧此失彼。在概念教學過程中，創(chuàng)設情境是必要的，但應注意量和度。相較之下，基于學生概念學習的層級模型設計階段化教學更為關鍵。

（二）“程序”階段具有不可跨越性

“程序”作為“活動”和“對象”的中間階段，既是對前一階段的內化，又是后一階段的基礎。不經由“程序”階段，學生難以通過“活動”直接實現概念的對象化。在實際教學中，若只依靠教師的快速抽象或替代體驗，會導致學生的學習過程不連貫、概念建構不完整?；贏POS理論開展階段化教學應讓學生在操作中感受知識的形成過程，幫助他們建構新的知識結構。學生將數學問題從現實情境中抽離出來后，還需親歷反思和內化的階段，即擺脫外部操作的束縛，實現內部的程序化理解。相應地，教師在教學中需要引導學生自我反思，有意識地將操作經驗內化為心理程序。

（三）“對象”的建立不能一蹴而就

建立數學概念對象性理解需建立在反復操作、不斷內化的基礎之上，其過程具有曲折性，因此不能一蹴而就。正是因為這樣的曲折性，學生往往會產生各種認知偏差。在實際教學中，教師可以通過概念辨析糾正學生的認知偏差，通過活動操作、程序內化加深學生對知識的理解。

例如，在初步接觸函數的概念時，學生往往難以將定義與圖象建立聯(lián)系。因此，在遇到判斷圖形是否表示函數關系的問題時，有部分學生認為：因為它們都無法用式子表示出來或者圖形沒有變化規(guī)律，所以不是函數。

例 如圖1，下列圖形是否表示y是x的函數？

根據函數的定義，對于每一個確定的x，都有唯一確定的y與之對應，即任意的直線x=a與函數圖象都有一個交點。因此要判斷圖形是否表示函數關系，可作一條垂直于x軸的直線（x=a）并將其左右移動，若不論移動到任何位置，其與圖形都只有一個交點，那么這個圖形中的兩個變量就有函數關系。通過這樣的直觀操作，教師能幫助學生內化概念，使學生進一步理解函數的概念。

（四）四個階段并非嚴格線性遞進

概念的對象性理解是程序性理解之后的更高水平，概念的圖式則是操作性理解（即“活動”水平）、程序性理解和對象性理解的綜合（即認知結構），但上述水平的關系并非嚴格線性遞進的。換言之，概念學習并非一定要經歷完前面所有階段才能夠進入“圖式”階段。這是因為“圖式”階段的達成度不僅受前三個階段教學的影響，還受學生對其他相關概念理解水平的影響。因此，“圖式”水平一般是在較長一段時間內逐步達成的，而前三階段的教學并非唯一的決定因素。在實際教學中，教師應在遵循階段化教學的基礎上，加強學生對知識體系的認識，幫助學生在頭腦中建立完整的心理圖式。

（五）劃分層級時應關注群體差異

基于APOS理論構建的理解層次模型在一定程度上揭示了特定概念的學習過程規(guī)律，但上述模型常常因忽視群體差異而指導作用有限。例如，盡管學生對某個概念的理解能夠達到“圖式”水平，但不同群體學生在該水平上的占比可能存在較大差異。究其原因，每個學生的知識基礎、生活經驗、思維方式、學習能力等存在差異，這使得他們對特定概念的學習過程也會產生差異。例如學生對導數概念的理解存在性別差異，學生的算法能力在不同學校間存在差異[8-9]。由此可見，在揭示特定概念的理解層次模型后，教師需對不同群體進行更細致的研究，如此才能構建既普適又具體、既宏觀又微觀的概念理解層次模型。8047C9C7-6FA2-4B4B-AD64-F7EF1998FAA6

四、未來研究展望

近十余年來，國內數學教育領域應用APOS理論對概念理解、教學階段、教師知識方面開展的研究日漸增多，由此形成了三個鮮明的應用方向。值得注意的是，當前的應用研究主要有兩個來源：一是碩士或者博士學位論文，二是一線教學案例。內容選取還不夠全面、方法設計還不夠系統(tǒng)、實驗周期還不夠充分，尚未有專門從事該理論應用研究的核心團隊。在學生認知水平的測評方面，建議加強系統(tǒng)設計并開展調查研究;在課堂教學階段的設計方面，建議關注實踐檢驗并開展實驗研究;在教師知識研究方面，目前以碩士學位論文為主?；谝陨戏治觯P者對未來研究提出以下展望。

第一，宏觀的理解層級模型有助于教師整體把握教學的關鍵環(huán)節(jié)，微觀的理解層級模型則聚焦特定概念，是教師精準診斷學情、設計階段教學的行動指南。對此，筆者建議從宏觀和微觀層面系統(tǒng)構建數學概念的理解層級模型，既揭示特定概念學習的一般規(guī)律，又具體刻畫特定群體的學習特征。

第二，當前有關應用APOS開展的案例設計和教學實施雖多，但對其實踐效果進行實驗驗證鮮有研究，基于實驗驗證對案例設計進行優(yōu)化更鮮有研究。筆者建議應系統(tǒng)開展基于APOS理論的階段化教學循證實踐，形成一系列標準化、可操作、可推廣的教學案例。

第三，根據已有研究的內容，APOS理論在本土化實踐過程中有出現“水土不服”的情況。為此，筆者建議應系統(tǒng)研究該理論本土化實踐過程中面臨的問題，提出階段化教學模式的可行性方案。

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【作者簡介】王越，上海師范大學數理學院在讀碩士研究生;何聲清，上海師范大學數理學院講師，碩士生導師，主要從事數學教育研究。

【基金項目】上海市浦江人才計劃項目（2019PJC079）8047C9C7-6FA2-4B4B-AD64-F7EF1998FAA6