楊術(shù)林　時(shí)杰

摘? 要：從教材的探究與實(shí)踐活動(dòng)內(nèi)容出發(fā)，借助TI圖形計(jì)算器對(duì)“球門張角問題”進(jìn)行探究，意在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題、拓展問題、回歸實(shí)際的完整數(shù)學(xué)探究過程，并在此過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)探究;球門張角;TI圖形計(jì)算器

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)作為貫穿高中數(shù)學(xué)課程的四大主線之一，意在提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力. 對(duì)此，筆者嘗試從滬教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）的探究與實(shí)踐活動(dòng)出發(fā)，開展對(duì)“球門張角問題”的數(shù)學(xué)探究實(shí)踐課，嘗試探索如何在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、教學(xué)內(nèi)容分析

教材第七章“三角函數(shù)”后的探究與實(shí)踐欄目中給出了球門張角問題，意在引導(dǎo)學(xué)生從不同角度考慮問題并建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型. 為何會(huì)想到研究球門的張角？研究球門張角的一般路徑是什么？引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些問題進(jìn)行深入思考是培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的絕佳機(jī)會(huì). 球門張角問題的背景是歷史上著名的米勒問題，該問題可以進(jìn)一步拓展為一般曲線和線段的張角問題，繼而用代數(shù)的方法研究幾何問題. 這就實(shí)現(xiàn)了研究方式的轉(zhuǎn)變，并與學(xué)生今后要學(xué)習(xí)的解析幾何建立了聯(lián)系.

球門張角問題的教學(xué)要注意避免陷入純粹的問題解決方法的教學(xué)，而應(yīng)從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、簡(jiǎn)化問題，繼而提出新的數(shù)學(xué)問題，完成對(duì)數(shù)學(xué)問題的分析和解決，并對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行拓展，最終回到現(xiàn)實(shí)世界. 本節(jié)課需要回答的核心問題是如何探究足球射門的最佳位置，因而教學(xué)重點(diǎn)是要幫助學(xué)生經(jīng)歷探究數(shù)學(xué)問題的一般路徑，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)主線為“背景—問題—分析—探究—拓展—應(yīng)用—總結(jié)”，并由此形成知識(shí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示.

二、學(xué)生特征分析

本節(jié)課的授課對(duì)象是高一學(xué)生，學(xué)生在初中已有學(xué)習(xí)圓周角、弦切角、切割線定理的經(jīng)驗(yàn)，積累了較為豐富的平面幾何知識(shí). 在高一，學(xué)生又系統(tǒng)學(xué)習(xí)了常用三角函數(shù)公式、三角函數(shù)及其性質(zhì)，但是在陌生的問題情境中還無法靈活運(yùn)用公式解決問題. 學(xué)生也缺乏利用代數(shù)知識(shí)研究幾何問題的經(jīng)驗(yàn)，因而無法有效轉(zhuǎn)化幾何問題. 最主要的是，學(xué)生缺乏研究探究性問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，且對(duì)技術(shù)輔助數(shù)學(xué)問題解決的作用認(rèn)識(shí)不到位，發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力有所欠缺.

三、教學(xué)目標(biāo)分析

本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）借助TI圖形計(jì)算器，選擇合適的數(shù)學(xué)對(duì)象研究足球射門問題.

（2）在利用TI圖形計(jì)算器直觀感知張角變化的過程中，能夠正確構(gòu)建輔助圓模型或利用三角公式找到張角最大時(shí)的動(dòng)點(diǎn)位置.

（3）在拓展的球門張角問題中，能夠靈活選擇三角公式表示張角，借助TI圖形計(jì)算器求解極值.

（4）經(jīng)歷探究和拓展球門張角問題的過程，逐步提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，提升發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力.

（5）在利用TI圖形計(jì)算器的過程中感受技術(shù)給學(xué)習(xí)帶來的優(yōu)勢(shì)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，感悟數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用價(jià)值.

四、教學(xué)支持條件分析

TI圖形計(jì)算器具有強(qiáng)大的幾何測(cè)量功能和函數(shù)圖象分析功能，學(xué)生通過自主操作、實(shí)驗(yàn)?zāi)M，感受幾何直觀和技術(shù)輔助對(duì)探索問題的重要性，從而自然生成構(gòu)建輔助圓解決張角問題的思路. 在一般曲線和線段的張角問題探究過程中，也可以引導(dǎo)學(xué)生利用TI圖形計(jì)算器的幾何測(cè)量功能先大致確定張角最大時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，再利用代數(shù)運(yùn)算嚴(yán)格求解，形成幾何與代數(shù)相互為用的問題解決方法.

五、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

1. 問題提出階段——情境引入，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題

（1）情境引入.

播放女足亞洲杯決賽視頻，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到視頻中有些球射進(jìn)了球門，而有些球沒有射進(jìn)球門.

【設(shè)計(jì)意圖】通過播放女足比賽視頻，引出現(xiàn)實(shí)問題，在激發(fā)學(xué)生愛國(guó)情懷的同時(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)射門問題的好奇心和探究興趣.

（2）發(fā)現(xiàn)問題.

問題1：哪些因素會(huì)影響足球射入球門？

預(yù)設(shè)：射門的距離，射門的角度，射門的力度，射門的時(shí)機(jī)，對(duì)方球員的干擾，等等.

【設(shè)計(jì)意圖】通過頭腦風(fēng)暴提出影響足球射入球門的因素，并選擇其中最重要的兩個(gè)影響因素（射門距離和射門角度）進(jìn)行分析.

（3）提出問題.

活動(dòng)1：引導(dǎo)學(xué)生用圖形表示問題. 如圖2，將足球場(chǎng)抽象為矩形，球門抽象為線段，球員抽象為點(diǎn)，球員的運(yùn)動(dòng)軌跡和足球的運(yùn)動(dòng)軌跡抽象為直線.

活動(dòng)2：利用TI圖形計(jì)算器的幾何功能，拖動(dòng)點(diǎn)P觀察并思考距離和角度是如何影響將足球射入球門的.

問題2：已知直線[l]和線段AB，那么直線l上的動(dòng)點(diǎn)P在何處時(shí)，對(duì)線段AB的張角∠APB最大？

【設(shè)計(jì)意圖】借助幾何直觀，合理選擇對(duì)球門的張角作為研究對(duì)象來刻畫最佳射門位置. 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象數(shù)學(xué)問題的全過程，提升學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

2. 問題分析階段——位置關(guān)系，實(shí)驗(yàn)觀測(cè)，結(jié)論猜測(cè)

問題3：張角最大時(shí)動(dòng)點(diǎn)[P]的位置在何處？

（1）位置關(guān)系.

師生共同對(duì)直線[l]與線段[AB]的位置關(guān)系進(jìn)行探究，如表1所示.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生基于直線與線段的位置關(guān)系，從幾何定性和代數(shù)定量?jī)蓚€(gè)方面分析問題，并選擇直線與線段平行和垂直的情況進(jìn)行重點(diǎn)研究.

（2）實(shí)驗(yàn)觀測(cè).

活動(dòng)3：利用TI圖形計(jì)算器的幾何測(cè)量功能，拖動(dòng)點(diǎn)P，觀察∠APB的大小變化，總結(jié)變化規(guī)律.

【設(shè)計(jì)意圖】借助幾何直觀，感性認(rèn)知角的變化情況.

（3）結(jié)論猜測(cè).

結(jié)論：選取過點(diǎn)[A，B]的圓與直線[l]的切點(diǎn)[P，] 此時(shí)張角[∠APB]最大.

【設(shè)計(jì)意圖】在感性認(rèn)知角的變化情況的前提下，對(duì)問題的結(jié)論進(jìn)行一定的合理性猜測(cè)，為下面的幾何論證和代數(shù)運(yùn)算做準(zhǔn)備.

3. 問題解決階段——幾何論證，代數(shù)運(yùn)算，模型構(gòu)建

4. 問題拓展階段——拓展問題，實(shí)際應(yīng)用，總結(jié)提煉

5. 課堂小結(jié)

六、教學(xué)反思

1. 探究活動(dòng)——形成核心素養(yǎng)的有效途徑

本節(jié)探究課將《標(biāo)準(zhǔn)》中倡導(dǎo)的“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”融入教學(xué)路徑中，形成了如圖13所示的教學(xué)路徑. 在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題解決全過程的同時(shí)，潛移默化地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)化與生活化的有機(jī)結(jié)合. 通過對(duì)實(shí)際情境的簡(jiǎn)化與抽象發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);借助TI圖形計(jì)算器直觀感知張角變化過程中提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng);以學(xué)生容易理解的相切圖形構(gòu)建張角模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，形成對(duì)事物關(guān)系的理性認(rèn)識(shí). 可見，在一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，學(xué)生需要調(diào)動(dòng)多種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)參與，正是在探究數(shù)學(xué)問題的過程中逐步形成和發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 不僅如此，在發(fā)現(xiàn)問題和提出問題階段，需要學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界;在分析問題階段，需要學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界;在解決問題、拓展問題和實(shí)際應(yīng)用階段，需要學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 由此落實(shí)了《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“三會(huì)”的要求.

2. 技術(shù)融合——開展探究活動(dòng)的必然選擇

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)問題的探究形式也發(fā)生了變化. TI圖形計(jì)算器強(qiáng)大的幾何與代數(shù)功能為本節(jié)課提供了便利. 在提出問題環(huán)節(jié)，通過TI圖形計(jì)算器的直觀演示使得抽象的張角變得直觀可視，幾何測(cè)量功能能讓學(xué)生自主操作實(shí)驗(yàn)，從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論，為解決問題指明了方向. 在問題解決環(huán)節(jié)，面對(duì)復(fù)雜的函數(shù)解析式，TI圖形計(jì)算器幫助學(xué)生避免了煩瑣的計(jì)算，改善了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高了課堂教學(xué)效率. 但是信息技術(shù)只能用于輔助教學(xué)，課堂教學(xué)一定要注意信息技術(shù)使用的恰當(dāng)性，要與學(xué)生的發(fā)展水平相適應(yīng)，要有利于學(xué)生主體性的發(fā)揮，切不可以信息技術(shù)代替數(shù)學(xué)思考.

3. 文化浸潤(rùn)——實(shí)現(xiàn)教育目標(biāo)的關(guān)鍵要素

數(shù)學(xué)是科學(xué)也是文化，數(shù)學(xué)知識(shí)是一種顯性的文化元素，教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注隱性的數(shù)學(xué)文化元素，包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)理性精神和數(shù)學(xué)美等. 本節(jié)課的結(jié)尾，通過介紹米勒問題引導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史軌跡，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生思考知識(shí)從哪里來、知識(shí)的本質(zhì)是什么、知識(shí)到哪里去等問題. 數(shù)學(xué)教育要實(shí)現(xiàn)立德樹人的根本任務(wù)，不能只依靠傳授結(jié)果性數(shù)學(xué)知識(shí)，而要以知識(shí)為載體，走向?qū)W生自主生成的情感、態(tài)度與價(jià)值觀. 這其中，對(duì)學(xué)生的文化浸潤(rùn)是必不可少的.

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