聞巖

摘? 要：2022年高考數(shù)學(xué)對(duì)平面解析幾何的考查，以直線和圓的方程，以及圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)為載體，以基本概念和通性、通法為考查重點(diǎn)，體現(xiàn)了“依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，全面考查，重視‘四基，突出素養(yǎng)”的命題原則，強(qiáng)調(diào)平面解析幾何問題解決過程中數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法的突出地位，以及運(yùn)算策略在解決問題中的重要作用，實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的全面考查，對(duì)今后的課堂教學(xué)和復(fù)習(xí)備考都起到了積極的引導(dǎo)作用. 通過對(duì)典型試題的分析，總結(jié)考查特點(diǎn)，為高三復(fù)習(xí)教學(xué)提出建議.

關(guān)鍵詞：平面解析幾何;考查特點(diǎn);命題分析;教學(xué)建議

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考主要考查直線與圓的方程，橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系是經(jīng)常出現(xiàn)的問題情境. 試題考查強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，重視對(duì)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合、特殊與一般、運(yùn)動(dòng)與變換等思想方法的考查，通過多種題型探索對(duì)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng)的考查途徑.

一、考查內(nèi)容分析

平面解析幾何內(nèi)容是考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)的良好載體. 2022年高考數(shù)學(xué)試卷中涉及直線、圓與圓錐曲線的試題包含選擇題、填空題和解答題三種題型. 試題綜合性較強(qiáng)，常將直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線等幾種常見曲線組合起來進(jìn)行命題，更多的是將直線與圓、圓錐曲線知識(shí)相融合，設(shè)計(jì)內(nèi)容豐富的幾何問題情境，綜合運(yùn)用代數(shù)和幾何方法解決問題. 平面解析幾何試題還經(jīng)常與函數(shù)、不等式、向量等知識(shí)進(jìn)行綜合考查，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.

2022年高考對(duì)平面解析幾何內(nèi)容的考查呈現(xiàn)以下特點(diǎn).

1. 題型結(jié)構(gòu)、分?jǐn)?shù)比例整體穩(wěn)定

2022年各份高考數(shù)學(xué)試卷中，平面解析幾何試題在題型、題量和分值等方面基本保持穩(wěn)定. 各份試卷均采用兼顧客觀題和主觀題的做法，題量一般為2 ～ 3道客觀題、1道主觀題，分值穩(wěn)定在22 ～ 27分. 其中，題量較多的為全國(guó)新高考Ⅰ卷、全國(guó)新高考Ⅱ卷、全國(guó)甲卷（文）、全國(guó)乙卷（理），分值均為27分，占全卷分值的18%. 全國(guó)卷具體情況如表1所示（地方卷情況與之類似）.

2. 試題情境設(shè)計(jì)豐富

平面解析幾何基礎(chǔ)題一般以圓、橢圓、雙曲線和拋物線為問題情境設(shè)計(jì)試題，考查基礎(chǔ)知識(shí). 不同層次的綜合性試題通常以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為情境設(shè)計(jì)試題，也有將兩種圓錐曲線關(guān)聯(lián)起來進(jìn)行問題設(shè)計(jì)，以及以實(shí)際問題為背景設(shè)計(jì)試題的情況.

2022年平面解析幾何試題除了考查最基礎(chǔ)的知識(shí)外，通常關(guān)注度量及幾何性質(zhì)的分析. 例如，常涉及長(zhǎng)度、角度、面積的計(jì)算，以及平面幾何圖形性質(zhì)的研究等. 試題也常與代數(shù)知識(shí)相結(jié)合，解決求值、最值、定值、范圍等問題. 也會(huì)涉及函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般、運(yùn)動(dòng)與變換的思想方法，以及特殊化、極端化等分析問題和解決問題的思維方法. 通過客觀題與主觀題配合設(shè)置，設(shè)計(jì)不同難度層次的試題，考查學(xué)生的“四基”與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 全國(guó)卷具體情況如表2所示（地方卷特點(diǎn)與之類似）.

3. 試題設(shè)問方式多樣，突出素養(yǎng)導(dǎo)向

《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》提出了核心素養(yǎng)的總體框架和基本內(nèi)涵;《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》確立了高考中學(xué)科素養(yǎng)的考查目標(biāo)，標(biāo)志著高考正在實(shí)現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變. 素養(yǎng)導(dǎo)向不僅強(qiáng)調(diào)知識(shí)和智力，更強(qiáng)調(diào)知識(shí)的遷移和后天的習(xí)得. 試題的特點(diǎn)是不求結(jié)構(gòu)完整，追求目標(biāo)指向開放，要求學(xué)生臨場(chǎng)思考發(fā)揮，目的在于更清晰、準(zhǔn)確地考查學(xué)生的智力水平、思考深度、思維習(xí)慣和科學(xué)態(tài)度.

可以看到，近兩年以全國(guó)新高考卷為代表的試卷中創(chuàng)新性地推出了選擇題中的多選題、填空題中答案不唯一的開放性試題，以及解答題中的結(jié)構(gòu)不良試題等. 通過設(shè)問方式、情境設(shè)置的變化，創(chuàng)設(shè)新的情境，變換設(shè)問角度和知識(shí)的組合方式，考查學(xué)生的科學(xué)探究能力和創(chuàng)新能力. 2022年全國(guó)新高考試卷中的這種嘗試，在平面解析幾何試題的考查中均有體現(xiàn)，展現(xiàn)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的積極探索，值得關(guān)注.

二、命題特點(diǎn)分析

1. 命題意圖分析

2. 命題導(dǎo)向分析

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)平面解析幾何的教學(xué)要求，高考數(shù)學(xué)試卷在題型、題量、分值等方面將會(huì)保持相對(duì)穩(wěn)定. 在對(duì)“四基”、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查上將會(huì)堅(jiān)持進(jìn)行探索和嘗試. 同時(shí)，也會(huì)堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題研究，發(fā)揮各種題型的組合功能，如多選題、開放性問題、結(jié)構(gòu)不良問題等. 在難度的控制上，試題將著力體現(xiàn)對(duì)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，會(huì)更好地體現(xiàn)“低起點(diǎn)、寬入口、多層次、高落差”的難度調(diào)控策略.

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

1. 依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，關(guān)注過程，夯實(shí)“四基”

自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》頒布以來，高考命題的唯一依據(jù)就是課程標(biāo)準(zhǔn). 因此，教學(xué)也必須以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，用好教材，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)做到精、準(zhǔn)、全，不能僅憑借以往經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行簡(jiǎn)單重復(fù)訓(xùn)練，實(shí)施題海戰(zhàn)術(shù).

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在教學(xué)中，教師要注重基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)，重視從整體上把握高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系，讓學(xué)生從多角度體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，重視知識(shí)的形成過程，重視公式和一些結(jié)論的含義. 例如，弦長(zhǎng)公式實(shí)質(zhì)上是直線上兩點(diǎn)間的距離公式，其本質(zhì)是將弦長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化成水平方向或垂直方向的長(zhǎng)度問題，使計(jì)算簡(jiǎn)化. 同時(shí)，應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯，從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)構(gòu)建研究問題的思路. 例如，要充分認(rèn)識(shí)向量作為溝通代數(shù)和幾何的橋梁，以及在解決長(zhǎng)度、角度、共線等問題中的重要作用.

2. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算，重視策略，強(qiáng)調(diào)理解

在新高考的考查方式中，雖然新題型、新情境和新設(shè)問增多，但學(xué)科本質(zhì)規(guī)律是不變的. 教師的教學(xué)和學(xué)生的復(fù)習(xí)應(yīng)該堅(jiān)定不移地遵循這些本質(zhì)規(guī)律，強(qiáng)調(diào)所學(xué)知識(shí)的真懂、會(huì)用，強(qiáng)調(diào)理解，強(qiáng)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

在平面解析幾何問題的解決過程中，常涉及解方程或方程組，以及代數(shù)式的恒等變形等. 在運(yùn)算過程中，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)和式合理的變形、整理，以及對(duì)運(yùn)算策略的選擇. 在運(yùn)算的過程中，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)“算”的理解;在問題的講解中，要講出對(duì)概念、公式、規(guī)律的理解，講出知識(shí)之間的聯(lián)系.

記憶有記憶的規(guī)律，理解有理解的方法. 教學(xué)中，不要僅滿足講正確的，更要給學(xué)生提供典型的素材，讓學(xué)生在運(yùn)算操作的過程中體會(huì)運(yùn)算、理解運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 對(duì)于課堂上的爭(zhēng)論、交流，教師也要給予學(xué)生充足的時(shí)間進(jìn)行審題、分析問題、思維碰撞等活動(dòng)，這對(duì)于學(xué)生領(lǐng)悟所學(xué)知識(shí)，以及提高從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力是非常必要的.

3. 揭示數(shù)學(xué)思想，聚焦能力，培養(yǎng)素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合和函數(shù)與方程思想在解析幾何問題的解決過程中起著非常重要的作用. 學(xué)生比較明確數(shù)形結(jié)合的思路，但對(duì)于方程思想往往理解不深，需要教師在教學(xué)中予以揭示.

方程思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)列方程或方程組、解方程或方程組等步驟達(dá)到求值目的的解題思路和策略，它是解決各類計(jì)算問題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ). 對(duì)于方程思想的考查，是從“設(shè)—列—解”三個(gè)階段同時(shí)體現(xiàn)的，并且三個(gè)階段相互關(guān)聯(lián).“設(shè)”的階段，關(guān)注的是如何設(shè)未知量，包括設(shè)直接未知量、間接未知量和輔助未知量. 未知量（有時(shí)表現(xiàn)為參數(shù)）的合理選擇，以及如何認(rèn)識(shí)諸多未知量的“身份”常與運(yùn)算策略的選擇和如何消元求解密切相關(guān).“列”的階段，主要涉及對(duì)幾何條件的深入分析和合理使用. 例如，長(zhǎng)度和角度是直接使用還是轉(zhuǎn)化使用. 如何轉(zhuǎn)化使用往往是簡(jiǎn)化問題的關(guān)鍵.“解”的過程需要運(yùn)算能力做支撐. 一般來講，在“設(shè)—列—解”三個(gè)階段中，后一階段的難度往往來自前一階段的處理不當(dāng). 對(duì)此，教師需要指導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)其中的規(guī)律.

4. 倡導(dǎo)自我調(diào)控，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)自檢

在復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，需要師生共同建立章節(jié)知識(shí)體系和問題體系. 在這個(gè)過程中，學(xué)生可能做得不夠完美，但要盡量讓學(xué)生自己來做. 否則，教師給的完美的體系框架、方法等對(duì)學(xué)生來講很可能是增加了一些不懂且需要記憶的東西.

可以嘗試提示學(xué)生從以下三個(gè)角度管理自己的學(xué)習(xí)，進(jìn)行自檢：（1）知識(shí)掌握是否全面、真懂.（2）常見問題的解決方法是否真懂、會(huì)用. 例如，對(duì)于求值問題，定點(diǎn)、定值問題，最值和范圍的問題等，是否有一般的解決問題策略，以及相應(yīng)的注意事項(xiàng).（3）難點(diǎn)問題的解決要有策略. 例如，能否利用分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法分析問題，能否用特殊與一般、極端原理等思維方法思考問題.

數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，“學(xué)會(huì)、會(huì)學(xué)、樂學(xué)”是我們希望學(xué)生達(dá)到的學(xué)習(xí)狀態(tài). 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生如何學(xué)習(xí)、如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的自我調(diào)控，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，促使其養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

四、典型模擬題

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