李靜

[摘? 要] 怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)才能教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)？質(zhì)疑，是引發(fā)思維的“觸發(fā)器”. 教師在課堂上充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑意識(shí). 學(xué)生自主探究后提出解決問(wèn)題的方法或者發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的根源，教師順勢(shì)而為，構(gòu)建一節(jié)高效課堂.

[關(guān)鍵詞] 隔板法;質(zhì)疑探究;數(shù)學(xué)本質(zhì)

陶行知先生曾提出“教是為了不教”，“授之以魚”不如“授之以漁”. 現(xiàn)階段“填鴨式”“滿堂灌”已被自主、合作、探究等取代. 筆者認(rèn)為，課堂上教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法要比教給學(xué)生知識(shí)點(diǎn)更重要. 質(zhì)疑是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的特征，教師要科學(xué)地鍛煉學(xué)生的質(zhì)疑能力，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生了疑惑，那么教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生打破固定思維，自主探究，尋找解決問(wèn)題的辦法，這樣不僅能增加學(xué)生學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，還有助于學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí). 深度學(xué)習(xí)注重知識(shí)間的整合、運(yùn)用、遷移，是一種基于理解的學(xué)習(xí)，著重學(xué)習(xí)過(guò)程的反思，重視學(xué)習(xí)的遷移運(yùn)用和問(wèn)題解決[1]. 例如，隔板法是將“實(shí)際分配問(wèn)題”或“球盒問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“球板模型”的一種重要方法，通過(guò)隔板不同的插入方式得到不同的分配結(jié)果. 如圖1所示，將n個(gè)相同的球分成m組，這樣n個(gè)球中有（n-1）個(gè)空，在其中選取（m-1）個(gè)空插入隔板，共有C種不同的放法. 從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，隔板法主要用來(lái)解決相同元素的分組問(wèn)題.

[?]在探究質(zhì)疑中理解數(shù)學(xué)

課堂上，筆者先給了一個(gè)“將球分組”的問(wèn)題，然后提出隔板法的概念，讓學(xué)生從活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中總結(jié)隔板法的特點(diǎn)及使用條件. 由于學(xué)生的抽象、概括和反思水平不同，他們所獲得的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也會(huì)有所不同.

問(wèn)題1 現(xiàn)有7個(gè)完全相同的小球，將它們?nèi)糠湃刖幪?hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，問(wèn)有多少種不同的放法？

生1：將7個(gè)球分成四組，共有1+1+1+4，1+1+2+3，1+2+2+2三種情況，再對(duì)每種情況進(jìn)行分配分別有C，A和C種不同的放法，C+A+C=20，故將7個(gè)小球放入不同的四個(gè)盒子中共有20種不同的放法.

筆者拿出準(zhǔn)備好的7個(gè)小球和3個(gè)隔板，和學(xué)生一起現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)：如果我在這7個(gè)小球之間隨機(jī)放入3個(gè)隔板，就可以完成分組再放入相應(yīng)的盒子. 7個(gè)小球之間共有6個(gè)空，從中任選3個(gè)空共有C（C=20）種不同的放法，我們將這種方法叫做隔板法. 即將n個(gè)相同的小球分成m組，n個(gè)球之間有（n-1）個(gè)空，在其中選?。╩-1）個(gè)空插入隔板，共有C種不同的放法.

問(wèn)題2 方程x+x+x+x=7的正整數(shù)解有多少組？

生2：這道題可以看成問(wèn)題1的情境，即將“四個(gè)正整數(shù)的和為7”看成“將7個(gè)相同的小球放入四個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球”，所以答案是C.

師：請(qǐng)同學(xué)們討論隔板法可以解決怎樣的問(wèn)題.

生：（分組討論）隔板法是將相同的元素進(jìn)行分組，需要滿足元素?zé)o差異，用隔板法來(lái)解決多元一次方程的解的問(wèn)題非常方便.

問(wèn)題3 不等式x+x+x+x≤7的正整數(shù)解有多少組？

生3：先分類討論，再用隔板法求解. 當(dāng)x+x+x+x=7時(shí)有C組;當(dāng)x+x+x+x=6時(shí)有C組;當(dāng)x+x+x+x=5時(shí)有C組;當(dāng)x+x+x+x=4時(shí)有C組. 所以不等式x+x+x+x≤7的正整數(shù)解共有C+C+C+C=35（組）.

教后反思：學(xué)生能賦予數(shù)學(xué)問(wèn)題相應(yīng)的情境，主動(dòng)從不同的角度思考問(wèn)題，不僅靈活掌握了隔板法的本質(zhì)，還能靈活應(yīng)用隔板法，將其作為通性通法. 從分類討論的角度解決問(wèn)題，正整數(shù)解可看成相同元素的分配問(wèn)題，對(duì)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化并對(duì)其進(jìn)行抽象，歸納總結(jié)，提高了學(xué)生邏輯推理和直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[?]在深度思考中挖掘本質(zhì)

在學(xué)生了解了隔板法的基礎(chǔ)上對(duì)原題進(jìn)行變式，讓學(xué)生嘗試探究. 部分學(xué)生會(huì)因看不到隔板法的本質(zhì)而產(chǎn)生方法上的差異，這時(shí)就是對(duì)隔板法深度探究的最好時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題的本質(zhì).

問(wèn)題4 方程x+x+x+x=7的非負(fù)整數(shù)解有多少組？

師：從題意上理解，方程的解可以有零，并且零的個(gè)數(shù)不確定，故分類討論會(huì)比較麻煩. 我們剛學(xué)會(huì)的隔板法能發(fā)揮作用嗎？

生4：用隔板法的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)隔板重合的情況，分類如下：①三個(gè)隔板互不相鄰：有C種方法;②有兩個(gè)隔板相鄰：有A種方法;③三個(gè)隔板都相鄰：有C種方法. 故共有C+A+C=56種方法.

生5：這種方法是錯(cuò)誤的. 因?yàn)榉匠痰慕饪梢詾榱?，所以用隔板法的時(shí)候可以把隔板放到球的兩端，應(yīng)該是C+A+C=120組解.

（很多學(xué)生在生5的提醒下恍然大悟）

生6：該問(wèn)題等價(jià)于（x+1）+（x+1）+（x+1）+（x+1）=11，令x+1=t（i=1，2，3，4），即t+t+t+t=11的正整數(shù)解有多少組. 用隔板法可得其正整數(shù)解有C=120（組）.

（學(xué)生聽(tīng)到生6的方法后很興奮，紛紛表示這種轉(zhuǎn)化巧妙地利用了正整數(shù)解的隔板法而且避免了對(duì)零的討論）

師：這位同學(xué)將“非負(fù)整數(shù)解”的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成了“正整數(shù)解”的問(wèn)題，巧妙地避開了討論，合理地利用了隔板法，將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).

教后反思：從“正整數(shù)解”變到“非負(fù)整數(shù)解”，即允許有“空盒”，解決這個(gè)問(wèn)題需要對(duì)隔板法的基本原理有深刻的理解，故有些學(xué)生不能及時(shí)作出回應(yīng)才有了對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類討論的解法. 運(yùn)用隔板法的基本原理將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化到學(xué)生熟悉的問(wèn)題背景中來(lái)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行遷移后發(fā)現(xiàn)其規(guī)律讓學(xué)生耳目一新，躍躍欲試.

[?]在變化拓展中發(fā)展延伸

原本的課堂內(nèi)容均在筆者的課堂設(shè)計(jì)中，學(xué)生都有了很大的收獲;但因?yàn)檎n堂是以學(xué)生為主體的，學(xué)生全都積極地參與其中，有的學(xué)生再次對(duì)題目進(jìn)行了改編，符合新高考的備考方向和要求，讓筆者和學(xué)生都受益匪淺，將整個(gè)課堂推向了高潮，也最大化地體現(xiàn)了深度學(xué)習(xí).

生7：老師，受剛才同學(xué)的啟發(fā)，我想將這道題再改變一下：方程x+x+x+x=100的所有奇數(shù)解有多少組？

（聽(tīng)到這里，筆者暗自竊喜，這位學(xué)生真正理解了題目轉(zhuǎn)化的意義，并且在不斷地深入挖掘隔板法的應(yīng)用. 這道題是求所有的奇數(shù)解，對(duì)安插隔板是有要求的）

生8：如果直接用隔板法，對(duì)放隔板是有要求的. 相當(dāng)于球的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)，而隔板不能隨便放. 我將問(wèn)題中的奇數(shù)解進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，令x=2n-1（n∈N*），則題目就變成了（2n-1）+（2n-1）+（2n-1）+（2n-1）=100，即n+n+n+n=52有四個(gè)正整數(shù)解，故有C組解.

（生7對(duì)此方法表示贊同，因?yàn)檫@種方法正是他的本意）

生9：我也將問(wèn)題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，為什么答案跟這個(gè)不一樣呢？

師：那不妨說(shuō)說(shuō)你的想法，我們一起來(lái)探討.

生9：我將奇數(shù)乘2變成偶數(shù)，即2x+2x+2x+2x=200，令t=2x，即t+t+t+t=200有多少組偶數(shù)解. 相當(dāng)于將兩個(gè)球捆綁起來(lái)作為一個(gè)整體，共有100組球，選用隔板法可得C組解，而這顯然與剛才的結(jié)果C不同.

師：大家一起談?wù)撨@位同學(xué)的做法是否合適，為什么答案會(huì)不同呢？

（學(xué)生分小組進(jìn)行討論，最后生9找到了錯(cuò)誤）

生9：我這種方法的錯(cuò)誤是，把奇數(shù)乘2變成偶數(shù)，但并不是所有的偶數(shù)除以2都是奇數(shù)，所以對(duì)偶數(shù)應(yīng)該是有要求的，所以我的這種方法是錯(cuò)誤的.

（全班都為生9鼓掌，因?yàn)樗芊e極反思找出錯(cuò)誤，這是很值得表?yè)P(yáng)的，而且要鼓勵(lì)學(xué)生有這種創(chuàng)新的思想，于是筆者順勢(shì)將問(wèn)題又開放了一次：你還能怎樣對(duì)原題進(jìn)行變形，如何用隔板法解決？）

生10：受到前面題目的啟發(fā)，我想對(duì)幾個(gè)未知量進(jìn)行范圍的限制，比如，若x≥5，x≥10，x≥4，x≥6，求（x-5）+（x-10）+（x-4）+（x-6）=75的自然數(shù)解或者求（x-4）+（x-9）+（x-3）+（x-5）=79的正整數(shù)解.

教后反思：這部分內(nèi)容并不在筆者的課堂計(jì)劃中，學(xué)生在課堂上發(fā)揮著主體作用，超越了筆者的想象. 這個(gè)環(huán)節(jié)筆者認(rèn)為是最精彩的，學(xué)生不僅對(duì)自己的解題方法有了總結(jié)性的思考，而且還能創(chuàng)造性地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行改編;不僅能夠解決“空盒”的“放盒”問(wèn)題，還能解決“受限制”的“放盒”問(wèn)題;最難得的是學(xué)生在解答過(guò)程中能及時(shí)反思自己犯的錯(cuò)誤，本節(jié)課的價(jià)值得以完全體現(xiàn). 抓住學(xué)生課堂上的任何一個(gè)生成，完全放手讓學(xué)生去完成，一定會(huì)有驚喜. 善學(xué)善思，反思能讓學(xué)生的能力不斷提高. 學(xué)生經(jīng)過(guò)深入思考，及時(shí)找到錯(cuò)誤和解決問(wèn)題的辦法，提高了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

[?]幾點(diǎn)思考

1. 借助問(wèn)題驅(qū)動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生理性思考

數(shù)學(xué)思維要以數(shù)學(xué)問(wèn)題為載體，本節(jié)課圍繞“將球分組”、多元一次方程的“正整數(shù)解”“非負(fù)整數(shù)解”和“有限制條件的整數(shù)解”設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”，揭示隔板法的數(shù)學(xué)本質(zhì). 引導(dǎo)學(xué)生自主探究、深度思考，將不會(huì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已會(huì)的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這種研究問(wèn)題的方法是鍛煉學(xué)生思維的精髓，能教會(huì)學(xué)生主動(dòng)思考.

2. 關(guān)注學(xué)生的錯(cuò)誤，別讓精彩擦肩而過(guò)

每一節(jié)課都是教師精心設(shè)計(jì)的，學(xué)生會(huì)在教師的設(shè)計(jì)中掌握每一節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法. 但由于在教學(xué)過(guò)程中認(rèn)知上的差異，學(xué)生免不了會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤往往是教師無(wú)法提前預(yù)知的. 但為了趕進(jìn)度，部分教師往往會(huì)直接指出學(xué)生的錯(cuò)誤，這樣恰恰忽略了學(xué)生的思維，有些學(xué)生知道這個(gè)想法是錯(cuò)誤的但不知道原因是什么，從而失去了一次很好的反思的機(jī)會(huì). 本節(jié)課筆者讓學(xué)生自己找出錯(cuò)的原因，引導(dǎo)學(xué)生深刻反思，相信這種理性思維的精神能夠使學(xué)生終生難忘.

3. 在探究質(zhì)疑中突出數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)本質(zhì)是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身固有的根本屬性，是數(shù)學(xué)內(nèi)容區(qū)別于其他學(xué)科內(nèi)容的基本特質(zhì)，從價(jià)值功能的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)決定著該內(nèi)容在解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的運(yùn)用方法、規(guī)律及作用[2]. 本節(jié)課通過(guò)“將球分組”的問(wèn)題讓學(xué)生感受到隔板法主要適用于相同元素的分組問(wèn)題，因此學(xué)生很容易將該方法應(yīng)用到多元一次方程的整數(shù)解的問(wèn)題中去，在活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中進(jìn)一步感受隔板法的本質(zhì). 高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)[3].

參考文獻(xiàn)：

[1]? 李寬珍. 微專題教學(xué)中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（11）：52-55.

[2]? 石志群. 數(shù)學(xué)教學(xué)如何突出數(shù)學(xué)本質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（06）：23-26.

[3]? 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.