李梅菊 劉永東

摘? 要：2020年全國各地初中學業(yè)水平考試數(shù)學試題呈現(xiàn)出問題情境化的命題趨勢，更關(guān)注生活和具體情境下對學生閱讀力和思考力的考查，從中選擇三道不同難度的試題進行命題例釋，提出三點提升學生數(shù)學閱讀和數(shù)學交流素養(yǎng)的課堂教學建議，即建議通過閱讀以確定要解決的數(shù)學問題，通過思考以理解所求的數(shù)學問題本質(zhì)，通過交流以評估所解的數(shù)學問題策略.

關(guān)鍵詞：試題分析;具體情境;數(shù)學閱讀;數(shù)學交流

一、問題提出

從當前國內(nèi)外測評中發(fā)現(xiàn)，學生是問題解決者的測評理念備受關(guān)注. 國際學生評估項目（PISA）經(jīng)歷了三次數(shù)學測評框架調(diào)整，但都一以貫之堅持學生在具體情境問題中經(jīng)歷數(shù)學建模過程的測評. 在國內(nèi)，初中學業(yè)水平考試以課程標準為命題依據(jù)，無論是從《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出的六大學科核心素養(yǎng)，還是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出的十個核心概念，都離不開數(shù)學建模，特別是后者，要求學生能從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義. 由此可見，學生在具體情境中解決問題的能力至關(guān)重要. 這也引發(fā)了初中學業(yè)水平考試命題方式的變化. 例如，山西省提出了初中學業(yè)水平考試命題的六個維度，其中提及借鑒PISA測試理念，創(chuàng)設(shè)具體問題情境，增強學生的閱讀能力，注重體現(xiàn)表達、交流和共享. 基于此，筆者探析2020年全國各地初中學業(yè)水平考試數(shù)學試題，發(fā)現(xiàn)問題情境化已經(jīng)成為命題趨勢，很多試題都與生活和具體情境相關(guān)，并加大了對學生數(shù)學閱讀力和思考力的考查力度. 以下從中選擇三道難度不同的典型試題進行例釋，并給出三點教學建議.

二、典型試題例釋

1. 基礎(chǔ)考查情境化，凸顯數(shù)學思辨

例1 （山西卷）下面是小彬同學進行分式化簡的過程，試認真閱讀并完成相應任務(wù).

[x2-9x2+6x+9-2x+12x+6]

[=x+3x-3x+32-2x+12x+3]……第一步

[=x-3x+3-2x+12x+3]……第二步

[=2x-32x+3-2x+12x+3]……第三步

[=2x-6-2x+12x+3]……第四步

[=2x-6-2x+12x+3]……第五步

[=-52x+6]……第六步

任務(wù)一：

填空：

① 以上化簡步驟中，第? ? ? 步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是? ? ? . 或填為：? ? ? .

② 第? ? ? 步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是? ? ? .

任務(wù)二：試直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果.

任務(wù)三：除糾正上述錯誤外，試根據(jù)平時的學習經(jīng)驗，就分式化簡時還需要注意的事項給其他同學提一條建議.

例1是該卷解答題的第1題，簡單考查分式運算，但是不同于常規(guī)，此題設(shè)置了三個任務(wù)情境，讓學生認真閱讀并找出分式化簡過程中的錯誤及其原因，進而算出正確結(jié)果，最后給出開放性的學習建議. 可見，中考試題在考查學生基礎(chǔ)知識和基本技能時，不再是單純地對具體、直接的試題進行解答，獨立去執(zhí)行計算或證明步驟，而是把問題情境化，呈現(xiàn)解答過程，讓學生進行數(shù)學思辨，在考查基礎(chǔ)知識和基本技能的同時，重點考查了學生發(fā)現(xiàn)問題和分析問題的能力.

類似地，浙江杭州卷第17題考查一元一次方程的解題過程辨析;而幾何基礎(chǔ)題也不例外，浙江嘉興卷第19題呈現(xiàn)小明同學關(guān)于一道基礎(chǔ)幾何證明題的解答過程，再以問題的形式讓學生判斷是否正確. 從這些基礎(chǔ)題考查形式的變化看，增加了題干的文字量，既增加了對學生數(shù)學閱讀能力的考查，同時又增加了對學生在問題情境中思辨數(shù)學算理或原理的思考力的考查，可謂是勿因簡單而放棄思考，閱讀理解與思考辨析緊密相連.

2. 模擬對話式情境，指向數(shù)學交流

例2 （貴州·貴陽卷）第33個國際禁毒日到來之際，貴陽市策劃了以“健康人生綠色無毒”為主題的禁毒宣傳月活動，某班開展了此項活動的知識競賽. 學習委員為班級購買獎品后與生活委員對話如圖1所示.

（1）試用方程的知識幫助學習委員計算一下，為什么說學習委員搞錯了;

（2）學習委員連忙拿出發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確錯了，因為他還買了一本筆記本，但筆記本的單價已模糊不清，只能辨認出單價是小于10元的整數(shù)，那么筆記本的單價可能是多少？

例2考查方程（組）、不等式及一次函數(shù)的簡單綜合運用，屬于中等題. 試題背景貼近時代及地域特征，條件不再以傳統(tǒng)的敘述方式給定，也不是以往簡單的“數(shù)學對話”情境設(shè)置，而是給出兩名學生交流的觀點，讓學生參與思考并表達. 第（1）小題的參與解釋限定了數(shù)學知識，但學生可以發(fā)散地探究學習委員觀點的正誤，應用一元一次方程或二元一次方程組可以解釋，通過建模求解發(fā)現(xiàn)，求出的鋼筆支數(shù)不是整數(shù)，以此來支撐生活委員的數(shù)學觀點. 倘若學生也出現(xiàn)計算錯誤，則無法找到準確的依據(jù)，迫使學生評估自己的解題策略和過程，進而完成了閱讀、思考和評估交流的過程. 而第（2）小題，再增加問題情境，使得問題復雜化，學生需閱讀理解三個變量之間的關(guān)系，并思考如何應用數(shù)學模型來表示，進而運用數(shù)學知識在辨析中解決問題. 實質(zhì)上，在思考數(shù)學模型的過程中，需要將變量由三個減少到兩個，進而用其中一個量表示筆記本的單價，再通過單價的限定判斷并解釋存在的可能性，這里凸顯了數(shù)學思想的思辨，如果沒有良好的閱讀力，以及應用數(shù)學的思考力，是很難正確進行數(shù)學表達的. 因此，還需要學生有較好的數(shù)學交流素養(yǎng)，才能準確無誤地解題.

類似地，江蘇連云港卷第23題、江蘇揚州卷第23題都有相同知識的問題情境化考查. 在不同領(lǐng)域中也有很多類似設(shè)置. 例如，云南卷第17題則以統(tǒng)計為背景，考查了學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，試題中給出一個包含了某公司工資收入分布情況的信息表格，通過設(shè)置經(jīng)理、職員及應聘者對于該公司的收入進行的觀點描述，讓學生參與情境，根據(jù)信息回答問題. 再如，江蘇南通卷第23題考查了概率知識，河北卷第14題考查了圓的相關(guān)知識等. 這些均是將試題條件以對話的形式呈現(xiàn)，讓學生參與其中思考、發(fā)現(xiàn)問題，進而分析和解決問題.

3. 解釋真實性情境，引發(fā)深度思考

例3 （浙江·臺州卷）用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖2）.

科學原理：如圖3，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為H（單位：cm），如果在離水面豎直距離為h（單位：cm）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）s（單位：cm）與h的關(guān)系為[s2=4hH-h].

應用思考：現(xiàn)用高度為20 cm的圓柱體塑料水瓶做相關(guān)研究. 水瓶直立地面，通過連續(xù)注水保證它始終盛滿水，在離水面豎直距離h cm處開一個小孔.

（1）寫出s2與h的關(guān)系式;并求出當h為何值時，射程s有最大值，最大射程是多少？

（2）在側(cè)面開兩個小孔，這兩個小孔離水面的豎直距離分別為a，b，要使兩孔射出水的射程相同，求a，b之間的關(guān)系式;

（3）如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求墊高的高度及小孔離水面的豎直距離.

例3屬于考查二次函數(shù)在實際問題中綜合應用的壓軸題，該題通過圖文展示，模擬真實情境，抽象出數(shù)學問題，進而解釋圓柱形盛水容器通過側(cè)面的小孔流水，小孔的位置不同，流出的水的路徑也會不同. 從小孔射出水的射程與小孔距離水面的豎直距離可以用一個函數(shù)關(guān)系式表示，通過函數(shù)模型去探討射程最大值的變化情況，讓學生在此過程中感受到生活中的數(shù)學，引導學生用數(shù)學眼光去觀察世界，用數(shù)學思維去分析世界. 第（1）小題根據(jù)試題背景求出函數(shù)解析式，求射程最大值，即求s的最大值. 由已知條件可以得到[s2]是關(guān)于[h]的二次函數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為求[s2]的最大值，理解不難. 第（2）小題由一個小孔變成兩個小孔，情境變化了，增加量之間的關(guān)系理解，兩個小孔射出水的射程相同時，其距水面的豎直距離有什么關(guān)系？將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即當[s]相等時，[a]與[b]有什么關(guān)系，進而列出等式[20a-b=a2-b2]，運算得出[a=b]或[a+b=20]. 當然，也可以從函數(shù)的觀點出發(fā)，[s2]是關(guān)于[h]的二次函數(shù)，那么問題就轉(zhuǎn)化為當函數(shù)值相等時，自變量的值有什么關(guān)系？則可以利用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，也不難求得. 此小題既可以考查學生整式恒等變形的能力，又可以考查學生對數(shù)形結(jié)合思想的應用. 第（3）小題進一步提升難度，在原有問題上，通過學生熟悉的“當墊高塑料水瓶后，射程便發(fā)生了變化”原理，增加變量條件，從而加深理解射程[s]與小孔離水面豎直距離[h]之間的函數(shù)解析式，通過分析得出新的解析式. 但此時解析式中含有參數(shù)，隨著參數(shù)的變化，函數(shù)的最大值也在變化，則需要利用配方法或者公式法將二次函數(shù)的最大值用參數(shù)表示出來，進而解決問題，后面再詳述解題策略.

一般的壓軸題以純數(shù)學背景給出題設(shè)居多，直接讓學生根據(jù)已知去解答，而融入真實情境，并結(jié)合問題背景的不斷變化讓學生思考并解決問題的試題也有很多. 例如，浙江嘉興卷第24題，以學生熟悉的籃球比賽傳球投籃為背景命制，是對二次函數(shù)、圖形的相似等知識的綜合考查. 再如，江蘇南京卷第27題以“輸送燃氣管道”為背景命制，是對三角形、四邊形、圓和軸對稱性質(zhì)等知識的綜合考查;而湖南長沙卷第12題則以長沙小吃“臭豆腐”的可食用率為背景命制考查二次函數(shù)的知識. 除了壓軸題外，很多地區(qū)的初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷中的中等難度解答題也呈現(xiàn)了真實情境. 例如，山東煙臺卷第23題以疫情期間清華大學牽頭研制一款“測溫機器人”為背景命制，浙江紹興卷第23題以排球場上發(fā)球為背景命制，等等. 都進行對知識的綜合應用考查. 在解決這些試題時，需要學生有較強的閱讀理解能力，會結(jié)合生活知識理解實際問題，進而將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再運用數(shù)學知識進行表達，最終合理地解決實際問題. 而這需要以閱讀理解和數(shù)學思考為根基，如果學生缺乏數(shù)學閱讀力和思考力，則很難進一步運用數(shù)學知識解決問題.

三、課堂教學建議

課堂教學從本質(zhì)上是培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)的. 而PISA 2021數(shù)學測評框架將數(shù)學素養(yǎng)定義為：個體在真實世界的不同情境下進行數(shù)學推理，并進行表述、應用和闡釋數(shù)學以解決問題的能力. 這里是從學生參與數(shù)學表述、數(shù)學運用和數(shù)學闡釋這三個過程來測評素養(yǎng)的，“表述”是指將問題情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并通過簡化條件等來幫助解決問題;“運用”是指涉及數(shù)學推理的解決方案;“闡釋”是指在問題背景下解釋數(shù)學解決方案或結(jié)果的合理性. 可見，前述的初中學業(yè)水平考試數(shù)學試題和PISA試題所強調(diào)的是相通的，即在不同的真實情境下，通過閱讀理解和經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，進而運用數(shù)學推理以解決問題. 而完成整個過程需要學生具備進行分析、評價、比較或者對比時所需要的能力，進而有意識地引導思維加工，找到解決問題的有效方法. 這是國際著名心理學家羅伯特·J.斯騰伯格提出“成功智力”的第一個成分，即分析性智力. 也就是說，解決問題的具體過程就是從一個問題情境出發(fā)，逐步克服各種障礙，找到解決方法，并從多個方案中進行選擇或者對不同的方案進行評估，最后做出決策. 這個過程中主要涉及三類技能：（1）確定問題和配置資源;（2）理解問題和組織信息，并提出問題解決的策略;（3）評估問題的解決方案.

綜上所述，反映在數(shù)學學習上，實質(zhì)上是數(shù)學閱讀、數(shù)學思考及數(shù)學交流的體現(xiàn). 下面就例3的課堂教學，闡述如何在課堂教學中發(fā)展學生的分析性智力，以解決問題.

1. 通過數(shù)學閱讀以確定問題是解決問題的前提

會合理地確定問題是解決問題的開端，而這離不開閱讀，需要通過閱讀進行批判性思考、反思及評價. 以閱讀材料的形式呈現(xiàn)的試題，閱讀量較大，要解決問題，先要閱讀理解題意，很多學生之所以不能解決問題，實質(zhì)上是因為讀不懂題意，不能從問題中提取有效的數(shù)學信息. 因此，數(shù)學閱讀并不僅僅是看，或是獲得信息，更重要的是用自己已有的知識和經(jīng)驗去聯(lián)系和領(lǐng)悟問題. 這啟示在教學過程中，教師要對數(shù)學問題進行分解式閱讀，進而確定問題，即將要解決的母問題分解成一個個子問題，進而尋找這些子問題之間的聯(lián)系，再應用數(shù)學思考分析，對這些子問題的解決策略進行關(guān)聯(lián)，最終解決母問題. 因此，在教學中，通過分解幫助學生確定問題，指導學生合理、有效地分配策略，是解決問題的前提.

在例3的第（3）小題中，對“如果通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求墊高的高度及小孔離水面的豎直距離”這個母問題，可以分解成5個子問題引導學生思考解決策略，逐步把要解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的數(shù)學問題，將難處理的大問題分解成易思考的小問題.

子問題1：水瓶墊高后，哪一個量改變了？

子問題2：最大射程增加16 cm表示什么？

子問題3：若將水瓶墊高1 m，此時的最大射程為多少？

子問題4：若將水瓶墊高2 m，此時的最大射程為多少？

子問題5：若將水瓶墊高[m]米，此時的最大射程為多少？

2. 通過數(shù)學思考以理解問題是解決問題的核心

當確定數(shù)學問題后，緊接著是理解問題和組織信息，提出問題解決的策略. 理解問題就是要建立新舊問題之間的聯(lián)系，把新問題納入到學生原有的認知結(jié)構(gòu)中去，轉(zhuǎn)化為學生已經(jīng)解決的舊問題，從而形成新的認知結(jié)構(gòu). 這個理解問題的過程，離不開學生的數(shù)學思考.

上述5個子問題中，子問題1和子問題2引導學生理解原情境及試題提供的圖片，明晰情境的變化，即水瓶高度的變化導致射程的變化，進而最大射程也隨之變化. 緊接著，子問題3和子問題4中的水瓶墊高值固定，可以讓學生分組獨立完成，引導學生將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，類似地，應用第（1）小題的求解策略，同時也讓學生感受到其中的變化. 子問題5則從確定值到不確定，通過參量的引進，從特殊到一般，則需要學生以分組討論的方式探索解決. 最后串聯(lián)5個子問題，總結(jié)問題解決的策略. 例如，學生還不能解決母問題，但通過對每個子問題的解決策略獲得，就能逐步做好解題計劃，通過數(shù)學思考討論解題策略，從而獲得深刻性的認識. 有思考的學習才是主動的、有意義的學習，“學而不思則罔，思而不學則殆”，這里就是通過學與思的聯(lián)系體悟，不是直接講授正確的解題過程，而是通過問題激勵學生思考，并啟發(fā)和指導學生進行有效的數(shù)學思考活動以理解問題，這也是教學中解決問題的核心.

3. 通過數(shù)學交流以評估反思是解決問題的升華

當學生理解問題后，并嘗試獲得母問題的解決策略后，還需要主動進行評估和批判性分析：策略是否正確？如果正確，好不好？有沒有更好的？評估反思過程主要是通過表達來進行，包括自我評價及他人評價. 從另一個角度來看，就是在閱讀和思考的基礎(chǔ)上進行數(shù)學交流，通過互動分享和完善，提高自身的認知水平. 而好的交流能反向促進學生進行閱讀和思考，它們相輔相成.

對于前述問題，可確定問題：對含參數(shù)[m]的二次函數(shù)解析式[s2=4h20+m-h]，當函數(shù)的最大值為[20+162]時，求[m]和[h]的值. 而由解析式求函數(shù)最值的策略很多，運用公式得出頂點坐標，或通過配方轉(zhuǎn)為頂點式，或轉(zhuǎn)為交點式[s2=-4hh-20-m，] 快速得到對稱軸方程，均可求得最大值.

以上從問題確定到運用數(shù)學知識解決問題，均需要充分的數(shù)學交流，以師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程體現(xiàn)學生是學習的主體，方能不斷完善學生的認知，達成對問題解決的理解升華.

四、結(jié)束語

課堂教學中培養(yǎng)學生能“帶得走”的能力，是為學生的終身學習做準備，為其后續(xù)發(fā)展打基礎(chǔ). 教師通過關(guān)注社會的發(fā)展及身邊的數(shù)學，以開放性的真實的生活情境問題開展數(shù)學活動，在激發(fā)學生學習興趣的同時，引導學生運用數(shù)學閱讀提出問題和發(fā)現(xiàn)問題，運用數(shù)學思考并分析問題，通過數(shù)學交流、評估和反思解決問題，讓學生“看得懂、想得透、說得清”，不僅獲得知識和技能，更獲得能力提升，特別是數(shù)學閱讀和數(shù)學交流素養(yǎng)的提升.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]羅伯特·J.斯騰伯格. 埃琳娜·L.格里戈連科. 成功智力的教學：提高學生學習效能與成績（第二版）[M]. 丁旭，盛群力，譯. 寧波：寧波出版社，2017.