施俊進

摘? 要：學材再建構(gòu)就是師生從教學目標、內(nèi)容、過程、資源等方面共同對初中數(shù)學教學進行整體建構(gòu)，促進學生自主搭建深入學習的支架，內(nèi)化生成有序的知識結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和習慣結(jié)構(gòu). 基于學生，從整體上把握教學內(nèi)容、調(diào)控教學過程，讓學生積極、主動、深刻地學習，使學習成為學生自己的事.

關(guān)鍵詞：整體建構(gòu);數(shù)學本質(zhì);以學定教

在一次研討活動中，筆者受邀執(zhí)教“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”一課. 考慮到學生基礎(chǔ)和注重數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)和體系等，筆者以系統(tǒng)論的整體性原理為理論依據(jù)，合理重組教材，從知識內(nèi)容的整體上進行學材再建構(gòu)，即整體建構(gòu)二次函數(shù)的內(nèi)容并以適切的方式呈現(xiàn)了蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》九年級下冊（以下統(tǒng)稱“蘇科版教材”）“5.1 二次函數(shù)”“5.2 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的相關(guān)內(nèi)容. 現(xiàn)將整體建構(gòu)的設(shè)計思路、學材的呈現(xiàn)過程和實踐反思體會等整理成文，與同行共同交流探討.

一、基于學生整體建構(gòu)

在以往的“二次函數(shù)”教學中，教師常常把二次函數(shù)作為孤立的學習內(nèi)容，按照教材編排，一課時一課時地進行教學，這樣做的優(yōu)點是能夠有效分散難點，促進學生的水平呈螺旋式上升、逐步提高. 但弊端也是顯而易見的，即忽視了知識的生長點與延伸點，忽視了學生知識系統(tǒng)和經(jīng)驗系統(tǒng)的優(yōu)化與再建構(gòu).

二次函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的學習，是建立在學生已經(jīng)學習過的一次函數(shù)、整式方程（尤其是一元二次方程）的基礎(chǔ)上的. 特別地，經(jīng)歷了一次函數(shù)研究過程的學生，已經(jīng)掌握了一次函數(shù)的基本內(nèi)容，初步積累了研究一次函數(shù)的一般方法，建立了函數(shù)研究的經(jīng)驗系統(tǒng).

考慮到學生已有的知識經(jīng)驗，以及可能達到的深度和高度，引導學生將函數(shù)進行關(guān)聯(lián)、類比，將一次函數(shù)研究的經(jīng)驗系統(tǒng)遷移到對二次函數(shù)的研究中，由研究對象、路徑、方法等，引導學生對“二次函數(shù)”整章教學內(nèi)容進行整體建構(gòu)和單元規(guī)劃如下.

將整章教學內(nèi)容分為三個教學大單元：二次函數(shù)及其圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程、實際問題和二次函數(shù). 考慮到學生的已有知識經(jīng)驗及整體實現(xiàn)發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的目標，可以將每個教學大單元分解為若干個教學小單元. 例如，對于教學大單元“二次函數(shù)及其圖象和性質(zhì)”，根據(jù)學生的認知規(guī)律和一般接受能力，將其分解劃分為“二次函數(shù)、二次函數(shù)[y=ax2]的圖象和性質(zhì)”“拋物線[y=ax2]的平移”（即二次函數(shù)[y=ax-h2+k]的圖象和性質(zhì)）“二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]的圖象和性質(zhì)”這三個教學小單元. 而每個教學小單元可以利用一課時完成，也可以多課時完成，具體視學生的接受情況而定.

蘇科版教材將二次函數(shù)定義和二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)分為兩小節(jié)——二次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）. 第一小節(jié)專門研究定義，第二小節(jié)研究的圖象和性質(zhì). 在研究圖象、性質(zhì)的過程中采用傳統(tǒng)“列表、描點、連線、觀察、歸納”的方式. 筆者將蘇科版教材中的“5.1 二次函數(shù)”“5.2 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”兩小節(jié)內(nèi)容合二為一，作為一個教學單元，采用單元教學. 這樣通過充分類比一次函數(shù)定義研究二次函數(shù)定義，節(jié)約了研究時間;在研究二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)時，在深刻理解函數(shù)圖象及性質(zhì)的本質(zhì)，并掌握了研究方法的前提下，研究進程大幅度加快，學習效率倍增. 同時，突出充分教學“函數(shù)圖象和性質(zhì)”的中心任務(wù)（進一步理解并掌握研究函數(shù)的基本套路：函數(shù)的基本內(nèi)容、研究函數(shù)的一般方法）. 為此，根據(jù)以下教學目標，先將教材轉(zhuǎn)化為教師的教材（教師獨立建構(gòu)），通過課堂“師生共建、學生獨立建構(gòu)、教師再建構(gòu)”，變教程為學程，引領(lǐng)學生積極、主動、深刻地學習，從而將教師的教材轉(zhuǎn)化為學生的學材，讓學習成為學生自己的事.

本節(jié)課教學目標設(shè)置如下.

（1）在具體情境中自主建構(gòu)二次函數(shù)的定義.

（2）按照函數(shù)的一般研究方法，自主探究二次函數(shù)[y=ax2]的圖象和性質(zhì)，建立式、數(shù)、形之間的內(nèi)在聯(lián)系.

（3）自主遷移聯(lián)想拋物線[y=ax2]平移的方法，引發(fā)學生自主學習拋物線平移法則的積極性.

二、學材呈現(xiàn)過程

1. 自主遷移建構(gòu)

（1）共同回顧：一次函數(shù)解析式及其圖象特征.

（2）定義構(gòu)建：由一次函數(shù)的定義，遷移建構(gòu)二次函數(shù)的定義——二次函數(shù)就是用自變量的二次式表示的函數(shù)，即形如[y=ax2+bx+c a≠0]的函數(shù)叫做二次函數(shù).

【設(shè)計意圖】建構(gòu)概念的常規(guī)套路是：引導學生由多個具體的例子歸納概括一個定義的過程，即先讓學生列出幾個實際問題中的函數(shù)解析式，再觀察共同點，最后歸納定義. 教學中沒有按照常規(guī)套路，而是引導學生充分通過類比遷移進行理性推理，深刻認識二次函數(shù)的本質(zhì)屬性，同時通過分析二次函數(shù)[y=ax2+][bx+c]中常數(shù)a，b，c的取值范圍，為發(fā)現(xiàn)研究二次函數(shù)應(yīng)從研究[y=x2]開始做準備. 這樣提煉、歸納得到的知識是深刻且牢固的，有利于學生形成有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神.

2. 自主探究函數(shù)[y=x2]的圖象和性質(zhì)

（1）由“式”分析并預測“形”：由解析式特征分析自變量和函數(shù)的取值范圍（自變量為一切實數(shù)時，函數(shù)值都為非負數(shù)），預測函數(shù)[y=x2]的圖象的特點.

（2）由“數(shù)”驗證上面的預測，再次預測其他“形”：① 列表時，考慮表中數(shù)據(jù)的取值（自變量如何取值）及其原因;② 根據(jù)計算結(jié)果，直接驗證預測的正確性，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)的其他特征，進一步預測函數(shù)[y=x2]的圖象的其他特征.

（3）描點驗證：由學生自主在直角坐標系中描點連線（強調(diào)：從左往右順次描點、連線），在驗證以上預測的基礎(chǔ)上進一步預測.

（4）概括二次函數(shù)[y=x2]的圖象和性質(zhì).

3. 合作探究函數(shù)[y=ax2]的圖象和性質(zhì)

（1）分別由式、數(shù)、形分析函數(shù)[y=2x2，y=12x2]與[y=x2]的圖象及其性質(zhì)的一致性;由此概括函數(shù)[y=ax2 a>0]的圖象和性質(zhì).

引領(lǐng)學生對“當自變量取同一個數(shù)值時，三個函數(shù)值之間的關(guān)系”“在同一個平面直角坐標系中，觀察作出的三個函數(shù)的圖象的共同點”進行思考，同時確定影響拋物線開口大小的因素.

（2）探究二次函數(shù)[y=ax2 a<0]的圖象和性質(zhì). 在學生獨立思考嘗試的基礎(chǔ)上小組合作，通過以下兩種方法歸納二次函數(shù)[y=ax2 a<0]的圖象和性質(zhì).

方法1：類似以上的探究過程;方法2：根據(jù)函數(shù)[y=-x2]和[y=x2]的關(guān)系，得到函數(shù)[y=-x2]的圖象和性質(zhì)，由此歸納二次函數(shù)[y=ax2 a<0]的圖象和性質(zhì).

【設(shè)計意圖】在探究二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)的過程中，先增加研究“式”（解析式）的環(huán)節(jié)，分析“式”得出“數(shù)”（自變量和函數(shù)值的范圍）;在此基礎(chǔ)上預測“形”（圖象的位置、變化趨勢等）的特點，然后再用“列表—描點—連線—觀察—歸納”的方法畫出圖象，最后得出結(jié)論. 這種研究方法把重點放在強化數(shù)形結(jié)合思想、抓住核心概念上，使學生的理解由機械模仿、不求甚解轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃犹剿?、深刻領(lǐng)悟;學生在深刻理解函數(shù)圖象及性質(zhì)的本質(zhì)，并掌握了研究方法的前提下，加快了研究進程，提高了學習效率. 顯然，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，有利于學生從整體上把握知識內(nèi)涵. 當然，這樣的過程尤其突出研究方法的引導，引導學生通過類比的方法自主研究，并通過問題引領(lǐng)學生積極思考，養(yǎng)成良好的思維習慣.

4. 問題引領(lǐng)，自主反思

問題：我們研究了關(guān)于二次函數(shù)[y=ax2]的哪些內(nèi)容？是如何研究的？

追問：根據(jù)以往學習函數(shù)的經(jīng)驗，后面我們將繼續(xù)研究關(guān)于二次函數(shù)[y=ax2]的哪些內(nèi)容？如何去研究？

研究二次函數(shù)[y=ax2]的實際應(yīng)用;利用二次函數(shù)[y=ax2]的性質(zhì)解決一些綜合問題;研究二次函數(shù)[y=ax2]的圖象的平移，及平移前后的拋物線解析式之間的聯(lián)系與區(qū)別……

【設(shè)計意圖】通過問題引領(lǐng)學生反思研究過程，在學生自主回顧的基礎(chǔ)上，師生共同總結(jié)研究函數(shù)和研究問題的一般過程與方法. 不僅立足于學生的知識獲得、技能形成，更在于能力發(fā)展、思維優(yōu)化和習慣養(yǎng)成等. 通過追問，促進學生遷移類比，提升思維含量，激發(fā)學習積極性，促進了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升.

整體板書設(shè)計如圖1所示.

三、教學思考

1. 學材再建構(gòu)必須基于數(shù)學本質(zhì)，形成對學材重構(gòu)的理性解讀

學材再建構(gòu)，以皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義為理論依據(jù)，師生從教學目標、內(nèi)容、過程、資源等方面共同對初中數(shù)學教學進行整體建構(gòu)，促進學生自主搭建深入學習的支架，內(nèi)化生成有序的知識結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和習慣結(jié)構(gòu). 這樣的學材再建構(gòu)必須依據(jù)數(shù)學本有的整體、結(jié)構(gòu)、邏輯等特點，幫助學生從整體上把握知識結(jié)構(gòu)，并在結(jié)構(gòu)中進行教與學，理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展. 在新授課教學中，學生已經(jīng)基本掌握了研究函數(shù)的基本套路：定義—圖象—性質(zhì)—與方程聯(lián)系—應(yīng)用. 在“二次函數(shù)”的學習中，可以引領(lǐng)學生通過類似的研究方法，以整體視角，從數(shù)形結(jié)合的方向繼續(xù)進行研究. 這樣的研究方法與以前的函數(shù)研究保持了內(nèi)容結(jié)構(gòu)的整體性和邏輯的一致性，對研究其他函數(shù)同樣具有示范作用. 整體建構(gòu)強調(diào)數(shù)學知識之間的內(nèi)部聯(lián)系，強調(diào)教學活動的和諧自然，強調(diào)數(shù)學思想方法的無縫對接，有利于幫助學生建構(gòu)并且完善自己的認知結(jié)構(gòu). 對二次函數(shù)內(nèi)容進行整體建構(gòu)和單元規(guī)劃，將相關(guān)教學點納入一個結(jié)構(gòu)或框架中形成模塊化體系，學生收獲的不僅是知識，更是學習方法、學習方式、數(shù)學思想和活動經(jīng)驗. 這樣，學生的理性思維、科學精神等都會得到同步發(fā)展.

2. 學材再建構(gòu)必須基于生本理念，建構(gòu)學材呈現(xiàn)的導學策略

學生是學習的主人、學習是學生自己的事，是生本理念下的學材再建構(gòu)的追求. 其核心是教學過程中有效問題的導學，讓學生有生長的空間和探究的延續(xù). 因此，學材再建構(gòu)課堂操作中導學問題的設(shè)計，要以整體性原則為著眼點，注重數(shù)學文本的整體意識，關(guān)注學生的長遠發(fā)展，即以整體視角，從“學”的角度，優(yōu)化設(shè)計“學什么”“怎么學”的導學問題，確立以學定教的思維模型.

（1）新知起點（即新知生長點）問題必須順應(yīng)學生原有的認知基礎(chǔ).

從整體視角來看，教材中的每個新知識都是由舊知識生長出來的. 根據(jù)學習新知所涉及的原有的知識內(nèi)容、研究方法，以及新、舊知識之間的關(guān)聯(lián)，即基于學生原有的知識經(jīng)驗、思維水平等設(shè)計導學問題，搭建新、舊知識之間的橋梁，以此激發(fā)學生原有的知識、經(jīng)驗系統(tǒng). 二次函數(shù)內(nèi)容的起點是學生已有的一元二次方程和一次函數(shù)等相關(guān)知識，學生已經(jīng)具備學習二次函數(shù)的知識基礎(chǔ)和心理基礎(chǔ)，但認識二次函數(shù)的定義還存在一定的障礙，知識障礙主要是學生對二次函數(shù)的本質(zhì)的理解.

因此，在引入二次函數(shù)定義時，從對一次函數(shù)的復習切入進行類比，以舊引新. 通過回顧一次函數(shù)定義、解析式及其圖象特征等，自然遷移構(gòu)建二次函數(shù)的定義，加強了學生對二次函數(shù)本質(zhì)的理解. 順應(yīng)并利用學生已有的一元二次方程、一次函數(shù)的基礎(chǔ)，有利于學生形成有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神.

（2）新知探究點問題必須順應(yīng)知識之間的邏輯關(guān)系或內(nèi)在聯(lián)系.

新知探究點就是新知的知識結(jié)構(gòu)及新知的生長點與延伸點. 有了一次函數(shù)圖象和性質(zhì)及其研究方法的基礎(chǔ)，對二次函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的探究也就容易了許多. 但是導學問題要注重數(shù)學思想方法的滲透，以此發(fā)展學生的數(shù)學能力和數(shù)學學科核心素養(yǎng).

因此，在探究二次函數(shù)圖象時，沒有采用傳統(tǒng)的方法，而是先由“式”得到“數(shù)”，并預測“形”;再用“數(shù)”驗證，并再預測“形”;最后用傳統(tǒng)的方法得出結(jié)論. 這種研究方法把重點放在強化數(shù)形結(jié)合思想上，便于學生深刻理解函數(shù)圖象及性質(zhì)的本質(zhì)，以及掌握研究方法. 另外，引導學生觀察表格中數(shù)據(jù)的特點，以及坐標系中點的位置特征，根據(jù)“關(guān)于某條直線對稱的點的坐標之間的關(guān)系”，得到“拋物線[y=x2]的對稱軸是y軸”的結(jié)論. 同樣，引導學生根據(jù)拋物線[y=-x2]和[y=x2]的關(guān)系，由二次函數(shù)[y=ax2 a>0]的圖象和性質(zhì)得到二次函數(shù)[y=ax2 a<0]的圖象和性質(zhì). 這樣的導學問題，順應(yīng)了知識本身的邏輯結(jié)構(gòu)，又進一步強化了對稱知識及數(shù)形結(jié)合思想，關(guān)注了學生思維的多樣性和差異性，激發(fā)了學生有方向性的參與興趣和熱情.

（3）新知拓展點問題必須順應(yīng)學生的最近發(fā)展區(qū).

新知拓展點就是由原有的知識結(jié)構(gòu)遷移類比，構(gòu)建新知的結(jié)構(gòu)體系及新知的其他生長點. 首先，學生通過教師有效的問題導學，在“式—數(shù)—形”之間的不斷切換和親自實踐中，感悟數(shù)形統(tǒng)一，這也是學生自主內(nèi)化、評價、遷移、調(diào)整和順應(yīng)的過程. 通過追問“根據(jù)以往學習函數(shù)的經(jīng)驗，后面我們將繼續(xù)研究關(guān)于二次函數(shù)[y=ax2]的哪些內(nèi)容？如何去研究？”引領(lǐng)學生自主遷移，學生在潛移默化中學會自主遷移、類比舊知，找到新知的學習內(nèi)容和學習方法. 在這樣的過程中，學生能不斷更新已有的知識經(jīng)驗結(jié)構(gòu)體系，學生的思維水平和內(nèi)驅(qū)力等從各自的最近發(fā)展區(qū)走向“深水區(qū)”. 從而真正實現(xiàn)為了學生、基于學生、發(fā)展學生的生本理念，建構(gòu)起學材呈現(xiàn)的有效導學策略，提升思維含量，激發(fā)學習積極性，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升.

3. 學材再建構(gòu)必須基于以學定教，喚醒學材研制發(fā)掘的專業(yè)自覺

一切課程或?qū)W習資源都是服從和服務(wù)于學生學習與發(fā)展的需要的，所有的教材都必須轉(zhuǎn)化成學材，體現(xiàn)以學定教的思維模型. 這就要求教師轉(zhuǎn)變角色定位、行動方式、目標指向，變關(guān)注教程為關(guān)注學程;變教材為學材，為教與學方式的轉(zhuǎn)變尋找一個可操作的路徑;變教學為助學，讓學習成為學生自己的事. 這不僅是為了學生，更多的是基于學生. 顯然，學材再建構(gòu)的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)變建構(gòu)思路，確立以學定教的思維模型（圖2）來研制、發(fā)掘和呈現(xiàn)學材. 這種學材的執(zhí)行者是學生，重視的是“學什么”和“如何學”，體現(xiàn)以“學”為主.

在學程實施過程中，為了體現(xiàn)學生的主體地位，必須讓學生充分經(jīng)歷實踐、體驗、內(nèi)化、表達的過程，真正落實以學定教，使教法為學法服務(wù). 力圖實現(xiàn)學材、學程、學法的一體化融合，實現(xiàn)學材、教師、學生的共同發(fā)展. 使得學材建構(gòu)、課堂教學、學生學習的一體化模式，貫穿學材的呈現(xiàn)、課堂教學改革、學生學習指導的全部過程，即學材、學程、學法能有機協(xié)調(diào)起來，盡可能保持一致. 因此，如何將教師的教材轉(zhuǎn)化為學生的學材，并通過適切的方式呈現(xiàn)學材，從而將學材的可能性變成學生發(fā)展的現(xiàn)實性，應(yīng)該成為教師的專業(yè)自覺.

學材再建構(gòu)就是師生共同對初中數(shù)學教學進行整體建構(gòu)，通過師生共同整體把握教學內(nèi)容、整體調(diào)控教學過程，激發(fā)學生數(shù)學學習的內(nèi)驅(qū)力，引發(fā)學生思考與交流，促進學生理解數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng). 顯然，學材再建構(gòu)的最終目的就是讓學生積極、主動、深刻地學習，使學習成為學生自己的事.

參考文獻：

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