薛鶯

摘? 要：數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)概念建構(gòu)教學(xué)中具有重要價(jià)值. 現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，利用數(shù)學(xué)史促進(jìn)數(shù)學(xué)概念建構(gòu)常常表現(xiàn)為附加式教學(xué)，教學(xué)效果一般. 文章以融入式、拓展式和解讀式分別闡述了代數(shù)、幾何和概率三個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)概念建構(gòu)教學(xué)，指出了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)概念建構(gòu)教學(xué)中的重要價(jià)值和作用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;概念學(xué)習(xí);教學(xué)策略

一、問題的提出

數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)思想的來歷、數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用、數(shù)學(xué)定理和公式的審美內(nèi)涵、數(shù)學(xué)家的思維方法和科學(xué)與人文精神等元素. 從數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程來看，數(shù)學(xué)史不僅能再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念誕生的背景及其發(fā)展、完善的過程，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、理解數(shù)學(xué)概念，而且能改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，豐富學(xué)生的知識儲備，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)持真理、不懈探究、提出問題和追求創(chuàng)新的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 因此，加強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)史促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的教學(xué)研究尤為重要. 在教學(xué)中，很多一線教師將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)簡單化、形式化，表現(xiàn)為故事講述、材料閱讀和視頻觀看等附加式的教學(xué)方式，教學(xué)效果一般. 下面，筆者就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，從數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)三個(gè)初中數(shù)學(xué)的重要板塊，來談一談自己在多元數(shù)學(xué)史形式下數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的一些做法，以及理解.

二、數(shù)學(xué)史關(guān)照下的概念建構(gòu)教學(xué)案例展示和效能分析

美國著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南. 數(shù)學(xué)的根源深扎在過去，如果我們不去追溯古今數(shù)學(xué)思維的演變及進(jìn)化，不了解一些數(shù)學(xué)史，就難以理解數(shù)學(xué)何以成為現(xiàn)在的樣子，只會(huì)片面地認(rèn)為數(shù)學(xué)就是單純的知識和技巧的堆砌，是單純的邏輯推導(dǎo)的一個(gè)完整體系.

1. 以融入式解讀歷史事實(shí)，感知代數(shù)概念的本質(zhì)

一般概念的形成是從感知到認(rèn)知再到同化的過程. 因此，在代數(shù)概念教學(xué)中，教師可以在把握學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)狀況的基礎(chǔ)上，巧妙借助解讀數(shù)學(xué)史，實(shí)現(xiàn)代數(shù)概念從感知到認(rèn)知再到同化的過程，從而有助于學(xué)生更好地建構(gòu)代數(shù)概念.

案例1：無理數(shù)概念的引入.

（1）自主探究，引發(fā)認(rèn)知沖突.

情境問題：利用兩個(gè)如圖1所示的邊長為1的小正方形，通過剪一剪、拼一拼，得到了如圖2所示的大正方形.

① 設(shè)大正方形的邊長為[a]，則[a]滿足什么條件？

② [a]有可能是整數(shù)嗎？說說你的理由.

③ [a]有可能是分?jǐn)?shù)嗎？說說你的理由，并與同伴交流.

師生活動(dòng)：教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行充分的思考、交流，并適時(shí)給予引導(dǎo)，探討得到：因?yàn)閇12=1，22=4，][22=4，32=9，]…隨著正整數(shù)的增大，其平方數(shù)越來越大，所以a不可能是整數(shù);因?yàn)閇122=14， 232=49，][342=916，…]其結(jié)果都為分?jǐn)?shù)，所以[a]不可能是分?jǐn)?shù). 由此得出結(jié)論：在等式[a2=2]中，[a]既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，所以[a]不是有理數(shù).

（2）融入歷史，了解知識成因.

師生活動(dòng)：首先，教師簡要介紹數(shù)學(xué)史：古希臘偉大的數(shù)學(xué)家希帕索斯發(fā)現(xiàn)“另類數(shù)”的存在，推動(dòng)數(shù)學(xué)向前發(fā)展了一大步，由此引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)，以及“無理數(shù)”名字的由來. 其次，為學(xué)生介紹無理數(shù)和第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的相關(guān)內(nèi)容，推薦學(xué)生閱讀《數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)》等書籍，讓學(xué)生在課后閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容. 最后，根據(jù)以上的探究和教師介紹的數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生給無理數(shù)下定義.

（3）對比辨析，明確概念本質(zhì).

師生活動(dòng)：首先，教師引出無理數(shù)的概念，以及相關(guān)歷史典故——希帕索斯發(fā)現(xiàn)有些數(shù)無法表示成兩個(gè)整數(shù)之比，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的無理數(shù). 教材中也給出了無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù). 其次，引導(dǎo)學(xué)生對比、辨析今天研究的數(shù)與希帕索斯發(fā)現(xiàn)的“另類數(shù)”的區(qū)別. 學(xué)生進(jìn)行辨析說明，得出結(jié)論：有理數(shù)都可以表示成分?jǐn)?shù)形式，最終都可以表示成有限小數(shù)或者是無限循環(huán)小數(shù)，因此無限不循環(huán)小數(shù)就不是有理數(shù)，我們稱之為“無理數(shù)”. 最后，教師點(diǎn)明概念本質(zhì)——在無理數(shù)定義中要注意“無限”“不循環(huán)”“小數(shù)”三者缺一不可. [2，π]都是無理數(shù).

【分析與感悟】對學(xué)生來說，無理數(shù)是一個(gè)抽象而又全新的概念. 雖然新概念容易激發(fā)學(xué)生的求知欲，但是如果教師不加以理解地強(qiáng)行灌輸，教學(xué)效果可想而知. 在上述教學(xué)過程中，教師將歷史典故融入教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)概念的形成過程，從而讓學(xué)生更好地理解無理數(shù)概念的本質(zhì). 而介紹歷史典故的重點(diǎn)在于將其融入教學(xué)，通過歷史典故要解決以下三個(gè)問題. 首先，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生合理地重走數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)概念的歷史過程是使學(xué)生感受引入無理數(shù)必要性的重要途徑. 了解歷史只是讓學(xué)生認(rèn)識到人類早就對無理數(shù)產(chǎn)生了認(rèn)知沖突. 其次，要講清無理數(shù)的特點(diǎn)，而不是簡單地給出一個(gè)概念，要為接下來對無理數(shù)概念的辨析做好有效的鋪墊. 最后，不是簡單說明[2]不是有理數(shù)就結(jié)束了，而是要求學(xué)生會(huì)使用類似的探究方法，來說明[π， 2]等都是無理數(shù)，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2. 以拓展式挖掘歷史資料，體會(huì)幾何概念的內(nèi)涵

幾何學(xué)有著悠久的歷史和豐富的文化內(nèi)涵，它是數(shù)學(xué)發(fā)展史中一顆璀璨的明珠，充滿著無限的魅力. 幾何學(xué)有其自身的特點(diǎn)，它不僅涉及數(shù)，更涉及形. 因此，在幾何概念教學(xué)中，教師往往可以借助進(jìn)一步挖掘數(shù)學(xué)史，在培養(yǎng)學(xué)生直觀思維的同時(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)從無意識幾何到實(shí)驗(yàn)幾何再到推理幾何的演變過程，從而理清空間和圖形知識發(fā)展的脈絡(luò).

案例2：平行概念的引入.

（1）圖片引入.

師生活動(dòng)：教師出示三張生活中的圖片（電梯、火車、黑板，圖略），讓學(xué)生自主觀察，接著教師引導(dǎo)學(xué)生觀察電梯兩側(cè)的扶手、火車的軌道、黑板的上下邊框和左右邊框，學(xué)生自然得出平行.

（2）文化滲透.

師生活動(dòng)：首先，教師介紹有關(guān)平行概念的數(shù)學(xué)史：在漫長的平行理論的邏輯發(fā)展過程中，由于沒有平行的概念曾給古代希臘人的工作和生活帶來了很大的麻煩. 直到數(shù)學(xué)家歐幾里得給出了平行的明確概念，人們對平行才有了更全面地認(rèn)識和深入地了解.

其次，教師讓學(xué)生結(jié)合自己的認(rèn)知給平行線下定義，師生共同進(jìn)行完善. 展示歐幾里得對平行線的定義. 從而通過設(shè)置認(rèn)知沖突，幫助學(xué)生了解平行的前世今生，進(jìn)而探究平行概念的文化內(nèi)涵.

最后，教師簡要介紹數(shù)學(xué)家歐幾里得對數(shù)學(xué)發(fā)展做出巨大貢獻(xiàn)，著名的平行公理發(fā)現(xiàn)過程中所遇到的困難，以及蘭伯特的《平行線理論》《幾何學(xué)基本原理》使平行公理得到普及.

（3）符號演變.

師生活動(dòng)：教師簡要介紹平行線符號的演變過程，1685年英國人卡斯韋爾才最終確定了現(xiàn)在我們用的平行符號，即用“∥”來表示平行，學(xué)生討論使用符號的優(yōu)勢.

【分析與感悟】在這一教學(xué)過程中，教師沒有照搬教材內(nèi)容，而是選擇合理挖掘歷史資料，進(jìn)行加工和演繹，使得平行概念的引入處處滲透著數(shù)學(xué)史的味道，學(xué)生也更容易理解和接受. 在介紹發(fā)現(xiàn)平行線的背景時(shí)，教師展現(xiàn)了一段波瀾壯闊的歷史長河，讓學(xué)生對“平行”概念的發(fā)現(xiàn)背景有了更深刻地理解;在定義平行時(shí)，再一次展現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的偉大，以及幾何學(xué)發(fā)展的艱辛和不易. 在整個(gè)教學(xué)過程中，教師從學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從生活中感知，經(jīng)歷平行概念不斷完善的過程，再通過對數(shù)學(xué)史的挖掘，使學(xué)生了解平行概念的確定是幾代數(shù)學(xué)家不斷奮斗的成果. 這種先從靜態(tài)的生活圖片觀察，再上升至動(dòng)態(tài)的認(rèn)知建構(gòu)演繹，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究的一般方法. 同時(shí)，數(shù)學(xué)史的融入，讓學(xué)生感受到了在歷史中不同文化對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，不僅有助于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，也是對學(xué)生的一種文化熏陶.

3. 以解讀式介紹歷史典故，拓展概率概念的外延

概率統(tǒng)計(jì)知識的應(yīng)用十分廣泛，與日常生活、科學(xué)研究、生產(chǎn)活動(dòng)都有著緊密的聯(lián)系. 在概率統(tǒng)計(jì)的概念教學(xué)中，教師適時(shí)給學(xué)生介紹一些數(shù)學(xué)史既可以讓學(xué)生從這些歷史典故中了解概率統(tǒng)計(jì)知識與方法產(chǎn)生的歷史背景，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想和方法，又可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，豐富學(xué)生的知識面，拓寬學(xué)生的視野.

案例3：概率概念的引入.

（1）生活情境引入.

師生活動(dòng)：教師給學(xué)生一枚硬幣，讓學(xué)生拋擲，學(xué)生順利得到只有正面朝上和反面朝上兩種可能性.

教師拋出問題：這兩種可能性哪個(gè)更大一些？學(xué)生進(jìn)行思考，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)事件發(fā)生的可能性不同. 從而自然引出事件發(fā)生的概率的定義.

（2）歷史典故介紹.

師生活動(dòng)：教師展示歷史典故——梅雷問題. 十七世紀(jì)中葉，法國有一位公子梅雷和一位貴族玩了一個(gè)游戲，他們各自拿出32枚金幣，雙方約定：拋1枚金幣，正面朝上，梅雷得1分，反面朝上，貴族得1分，先積滿10分者贏得全部64枚金幣. 玩了一段時(shí)間后，梅雷得8分，貴族得7分. 這時(shí)梅雷接到通知，要他馬上陪國王接見外賓，游戲只好中斷. 現(xiàn)在應(yīng)該怎樣分配這64枚金幣才算公平合理？梅雷為了這個(gè)問題很是苦惱.

首先，教師讓學(xué)生進(jìn)行思考、交流，部分學(xué)生認(rèn)為，后面的游戲沒有實(shí)際進(jìn)行，結(jié)果隨機(jī)，所以結(jié)果無法預(yù)料.

其次，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合之前拋硬幣的體驗(yàn)，嘗試列出后續(xù)輸贏的如下7種可能情況.

情況1：連玩兩局都是梅雷贏，游戲結(jié)束，梅雷獲勝.

情況2：連玩兩局梅雷一贏一輸（一輸一贏），再玩一局梅雷贏，游戲結(jié)束，梅雷獲勝.

情況3：連玩兩局梅雷一贏一輸（一輸一贏），再玩一局梅雷輸，再玩一局梅雷贏，游戲結(jié)束，梅雷獲勝.

情況4：連玩兩局梅雷一贏一輸（一輸一贏），再玩一局梅雷輸，再玩一局梅雷輸，游戲結(jié)束，貴族獲勝.

情況5：連玩兩局都是梅雷輸，再玩一局梅雷輸，游戲結(jié)束，貴族獲勝.

情況6：連玩兩局都是梅雷輸，再玩一局梅雷贏，再玩一局梅雷贏，游戲結(jié)束，梅雷獲勝.

情況7：連玩兩局都是梅雷輸，再玩一局梅雷贏，再玩一局梅雷輸，游戲結(jié)束，貴族獲勝.

最后，教師告知學(xué)生，根據(jù)上述初步的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)梅雷和貴族獲勝的可能性是不一樣的，而當(dāng)時(shí)法國著名的數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家帕斯卡和法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬通過共同探討研究，才使問題得到徹底的解決，并引導(dǎo)學(xué)生課后去查閱“梅雷問題”的相關(guān)資料，了解分配方案.

（3）生活運(yùn)用拓展.

師生活動(dòng)：首先，教師結(jié)合上述情境，適時(shí)對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，其實(shí)，游戲中有許多值得我們研究的數(shù)學(xué)知識，而且這些知識我們在生活中經(jīng)常遇到并應(yīng)用，因此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)另外一個(gè)重要分支——概率.

接著，教師進(jìn)行知識拓展——其實(shí)生活中這類問題很多，如保險(xiǎn)金等，為了解決這類問題，人們對不確定的現(xiàn)象進(jìn)行了大量的研究，從而推動(dòng)了概率論的發(fā)展.

【分析與感悟】通過引入拋硬幣的生活情境，學(xué)生對概率的概念特征有所了解，這也凸顯了概率具有可計(jì)算性的優(yōu)勢. 但是學(xué)生對概率的概念僅處于了解的淺層次認(rèn)知上，要想加深學(xué)生對概率概念的理解，就必須將概率概念的學(xué)習(xí)和生活現(xiàn)象有機(jī)聯(lián)系起來，讓學(xué)生體會(huì)到概率的實(shí)用性，以及數(shù)學(xué)知識之間廣泛的關(guān)聯(lián)性. 同時(shí)，拓展概率的研究對象向現(xiàn)實(shí)生活延伸，使得對概率的研究更具有普遍性. 這樣的教學(xué)不僅可以讓概率的概念自然地孕育而生，也有助于學(xué)生對概率概念的外延產(chǎn)生更加科學(xué)和合理的理解.

三、概念建構(gòu)中數(shù)學(xué)史料的教學(xué)價(jià)值

列寧曾說，一種科學(xué)的歷史是那門科學(xué)最寶貴的一部分，科學(xué)只能給我們知識，而歷史卻能給我們以智慧. 數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史是人類理想和智慧的體現(xiàn)，反映了人類從粗淺走向智慧、從蒙昧走向文明、從不完善走向完善的歷程. 筆者將從以下三方面談一談將數(shù)學(xué)史滲透到數(shù)學(xué)概念建構(gòu)教學(xué)的作用.

1. 基于數(shù)學(xué)史中的概念建構(gòu)教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神

數(shù)學(xué)既是創(chuàng)造的，也是發(fā)現(xiàn)的，大到這門學(xué)科本身，小到一個(gè)個(gè)定義、定理、數(shù)學(xué)符號，它們總是在一定的文化歷史背景下出于某一種思考而產(chǎn)生、發(fā)展起來的. 案例1中無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，讓學(xué)生認(rèn)識到不僅是他們會(huì)有犯錯(cuò)的時(shí)候，原來數(shù)學(xué)家也會(huì). 不懼怕數(shù)學(xué)，從錯(cuò)誤中尋找突破、從矛盾中尋找發(fā)現(xiàn)，不斷探索，這正是我們要向歷史學(xué)習(xí)的地方. 在案例2中，通過對數(shù)學(xué)史的解讀，讓學(xué)生感受平行不僅是教材中的符號，而是生活中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴，必然引發(fā)學(xué)生的興趣，促進(jìn)學(xué)生思考. 案例3中“梅雷問題”的提出，讓學(xué)生疑惑，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣. 新課改形勢下，在課堂中適時(shí)、適當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)史，可以消除學(xué)生對數(shù)學(xué)的恐懼感和距離感，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)的生動(dòng)有趣，有利于激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生不斷探索的精神.

2. 基于數(shù)學(xué)史的概念建構(gòu)教學(xué)，直觀展示概念形成的過程，深化學(xué)生對概念的理解

數(shù)學(xué)史中既有知識結(jié)論，又記錄了數(shù)學(xué)知識形成的思維過程、活動(dòng)，以及數(shù)學(xué)的發(fā)展、進(jìn)步等. 在概念教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史，再現(xiàn)概念的形成過程，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)概念形成的源與泉，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的教學(xué)內(nèi)容，感受數(shù)學(xué)思想的熏陶和方法的冶煉. 例如，在講解“無理數(shù)”概念時(shí)，要講清楚為何引入無理數(shù)比如何定義無理數(shù)要更加困難. 因此，教師有必要介紹無理數(shù)產(chǎn)生的歷史原因：一是來自生活實(shí)踐的需要;二是數(shù)學(xué)研究的需要. 再如，在實(shí)際生活中現(xiàn)有數(shù)不能表示，才產(chǎn)生了負(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的產(chǎn)生是由于方程[x2=-1]沒有實(shí)數(shù)解等. 這些歷史典故的引入，讓學(xué)生明白了數(shù)學(xué)中的一些符號、概念是如何而來的，看到了它們的功能，感悟到一個(gè)符號或一類數(shù)的產(chǎn)生是自然客觀的需求和人類進(jìn)步的產(chǎn)物，體會(huì)到人類的高明之處就在于創(chuàng)造. 當(dāng)一個(gè)問題看來不可能時(shí)，人們可以創(chuàng)造一些新的字符或形式，來表達(dá)新的概念或觀點(diǎn)，從而引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行正確的理解和認(rèn)識.

3. 基于數(shù)學(xué)史的概念建構(gòu)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科文化的素養(yǎng)，加強(qiáng)歷史的熏陶

一直以來，我們都重視數(shù)學(xué)的運(yùn)用，而忽視了數(shù)學(xué)的文化教育. 在課堂上重視挖掘數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，是數(shù)學(xué)史走進(jìn)課堂的又一重大作用. 教師可以結(jié)合數(shù)學(xué)家們的愛國事跡向?qū)W生進(jìn)行愛國主義教育. 例如，世界著名數(shù)學(xué)家陳省身放棄國外優(yōu)厚物質(zhì)條件，回國獻(xiàn)身科學(xué)事業(yè)的故事;華羅庚等許多著名數(shù)學(xué)家不為金錢的誘惑，沖破重重困難，陸續(xù)回到祖國，為祖國數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展貢獻(xiàn)自己畢生的精力. 再如，希帕索斯不畏時(shí)速為堅(jiān)持真理的故事. 我們要珍惜這些科學(xué)成果，努力學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué);學(xué)習(xí)上要敢于提出疑問，對知識要熱愛執(zhí)著，我們才會(huì)取得不斷進(jìn)步. 真理是撲不滅的，我們要相信科學(xué)、熱愛科學(xué). 也可以從不同國度、不同民族，不同時(shí)代人們對問題的理解方式進(jìn)行比較，如勾股定理的比較研究，開闊學(xué)生的解題思路，并比較優(yōu)劣，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思維的真諦. 培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義情懷. 從歷史的角度看數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的文化素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]孟夢，李鐵安.“問題化”：數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的實(shí)踐路徑[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：72-75.