王盈慧

摘要：在《對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》一課的教學(xué)中，學(xué)生提出從指、對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的角度展開(kāi)研究。指數(shù)與對(duì)數(shù)本質(zhì)是同一數(shù)量關(guān)系，正是本單元的“大觀念”，教師積極回應(yīng)學(xué)生的思路，優(yōu)化調(diào)整原有設(shè)計(jì)，在關(guān)鍵處、疑難處設(shè)計(jì)問(wèn)題串，讓全體學(xué)生充分活動(dòng)思考，從而使其數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到發(fā)展。

關(guān)鍵詞：對(duì)數(shù)函數(shù);反函數(shù);學(xué)生思路;問(wèn)題串

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2021）17-092

在教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施中，教師要根據(jù)學(xué)生的思路、體驗(yàn)等學(xué)情優(yōu)化問(wèn)題任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生去把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)，促進(jìn)其深度思維，從而有利于學(xué)生主動(dòng)發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

下面，筆者以人教A版必修第一冊(cè)4.4.2《對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》的設(shè)計(jì)為例，預(yù)設(shè)的研究思路是類(lèi)比冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，從特殊的y=log2x入手，列表、描點(diǎn)、畫(huà)圖，再畫(huà)出更多不同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，然后利用GeoGebra軟件中的“滑動(dòng)條”畫(huà)出y=logax（a>0，a≠1）的圖象，最后，歸納出對(duì)數(shù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)。

問(wèn)題1：請(qǐng)你說(shuō)出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念？并談?wù)劇皩?duì)數(shù)源出于指數(shù)——?dú)W拉”的理解。

學(xué)生：y=logax（a>0，a≠1）叫作對(duì)數(shù)函數(shù);y=ax（a>0，a≠1）與y=logax（a>0，a≠1）在本質(zhì)上是同一數(shù)量關(guān)系，只不過(guò)字母x，y對(duì)調(diào)了。

問(wèn)題2：y=logax（a>0，a≠1）是一類(lèi)新函數(shù)，我們研究它的什么？怎樣研究？說(shuō)說(shuō)你的研究思路。

設(shè)計(jì)意圖：1.鞏固研究函數(shù)的一般方法，這是本章著重培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng);2.啟發(fā)學(xué)生回憶冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的研究過(guò)程。

學(xué)生1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和定義域，還要研究它的圖象，并進(jìn)一步得出其性質(zhì);我想先由特殊的y=2x的圖象得到y(tǒng)=log2x的圖象，進(jìn)而解決一般的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象。

或許學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)運(yùn)算還不熟悉，沒(méi)有對(duì)y=log2x列表、描點(diǎn)、畫(huà)圖，而是想從問(wèn)題1揭示的y=2x與y=log2x的聯(lián)系入手。

學(xué)生2：由20=1知y=2x的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），y=log2x的圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），由21=2知y=2x的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），y=log2x的圖象過(guò)點(diǎn)（2，1），這是兩對(duì)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)，所以函數(shù)圖象也關(guān)于直線y=x對(duì)稱，再由換底公式y(tǒng)=logax（a>0，a≠1）=1log2alog2x，就能變換得到一般的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象。

學(xué)生的回答并不是教材預(yù)設(shè)的研究思路，但對(duì)“指對(duì)數(shù)的統(tǒng)一性”的理解契合我對(duì)這一章的整體設(shè)想，換底公式的運(yùn)用更是超出了我的預(yù)期。我積極評(píng)價(jià)了兩位同學(xué)的研究思路，調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)，提出了如下問(wèn)題串：

問(wèn)題串：（1）對(duì)比畫(huà)函數(shù)y=2x圖象時(shí)的表格，完成畫(huà)函數(shù)y=log2x的列表，表格當(dāng)中你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）函數(shù)y=2x圖象上任意一點(diǎn)M，記為M（a，b），則點(diǎn) 在函數(shù)y=log2x的圖象上。這兩點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系？

（3）對(duì)于函數(shù)y=log2x圖象上任意一點(diǎn)P，是否也有（2）中的特征？

（4）函數(shù)y=2x與y=log2x的圖象有什么關(guān)系？它們的定義域、值域之間有什么關(guān)系？展示你得到的對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象及性質(zhì)。

（5）類(lèi)比y=ax（a>0，a≠1）的圖象和性質(zhì)，給出你對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，a≠1）的圖象與性質(zhì)的歸納整理。

設(shè)計(jì)意圖：y=ax與y=logax（a>0，a≠1）本質(zhì)上是同一數(shù)量關(guān)系，是本章的“大觀念”，這樣對(duì)數(shù)函數(shù)的研究也要對(duì)底數(shù)a分類(lèi)討論，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的位置、公共點(diǎn)和變化趨勢(shì)都能由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)推得。

因勢(shì)利導(dǎo)，在歸納對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)后，指出“指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，a≠1）與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，a≠1）互為反函數(shù)”。

設(shè)計(jì)意圖：將反函數(shù)調(diào)整為本節(jié)課的目標(biāo)之一。

例題：1.比較下列各題中數(shù)值的大?。?/p>

2.解下列關(guān)于x的不等式：

設(shè)計(jì)意圖：1.學(xué)會(huì)構(gòu)造函數(shù)并用函數(shù)性質(zhì)解題;2.體會(huì)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想;3.體會(huì)借助中間量比較大小的方法;4.引導(dǎo)學(xué)生注意對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)、底數(shù)的限制。

課堂小結(jié)：

問(wèn)題3：結(jié)合圖象，我們得出了對(duì)數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)？

問(wèn)題4：本節(jié)課的學(xué)習(xí)歷程是怎樣的，體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想和研究方法？

設(shè)計(jì)意圖：1.知識(shí)上引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，并能初步運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題。

2.本節(jié)課帶給學(xué)生的思想方法和學(xué)法更為重要，通過(guò)學(xué)生的課堂小結(jié)可以進(jìn)一步落實(shí)直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)研究方法。

教后反思：

問(wèn)題2引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)注知識(shí)轉(zhuǎn)向關(guān)注方法，學(xué)生成為研究思路的主人，從而習(xí)得數(shù)學(xué)思維方法。學(xué)生的學(xué)習(xí)是建立在已有認(rèn)知和體驗(yàn)基礎(chǔ)之上的，他們有能力從對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的角度考慮問(wèn)題，甚至推及一般情形也是以換底公式為依據(jù)，值得肯定?？陀^上，沿著學(xué)生的思路加大了難度，為突破難點(diǎn)，面向全體同學(xué)的素養(yǎng)發(fā)展，問(wèn)題串的設(shè)計(jì)就很有必要，這一環(huán)節(jié)提供了學(xué)習(xí)的支架，要讓學(xué)生充分活動(dòng)思考，與學(xué)習(xí)任務(wù)深度互動(dòng)。實(shí)踐表明，學(xué)生是優(yōu)秀的研究者，在解決問(wèn)題中達(dá)到了對(duì)知識(shí)深層次的理解。

（作者單位：江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)，江蘇 常州213100）