周 振 (安徽省蒙城縣第一中學 233504)

1 真題分析與解答

(2017年新課標全國I卷)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若有兩個零點，求a的取值范圍．

1.1 題目分析

本題是典型的函數題，函數部分是貫穿整個中學時代的重要知識點．函數知識具有非常強的抽象性，難度系數也是千變萬化，有時只要稍微變動其中的常數，就能使難度系數頓時“過山車”．同時也正因函數知識的多變性，相應題目既可以是簡單的選擇題，也可以是高考數學的壓軸題．

上述題目以壓軸題的設計來考查學生的數學綜合素養(yǎng)，題目的主干非常簡練，很容易使學生產生本題非常簡單的錯覺，甚至會有眼高手低的態(tài)度，但實則不然．參數在函數表達式中的存在直接將這道題目的難度系數拉升到了一個新的高度，雖然函數單調性的判斷并不算困難，但是在第(2)題中關于參數的取值范圍討論，學生需要經過嚴謹的題目分析和大量的計算才能得到正確的范圍．

關于第(1)問函數單調性的解答，我們可以結合函數與導數部分的相關知識，先求f(x)的導函數，然后令導函數等于0并得到關于未知數x的具體函數值，那么函數的單調性就一目了然．第(2)題的解答過程相對復雜一些，函數的零點不僅與導函數有著密切關系，參數值的具體變化也會影響整個函數的零點分布．而且經過第(1)題的鋪墊性計算，整個函數的增減性是已知的，所以這一結論在第(2)題中也要被有效利用起來．

1.2 解題方法研究

對題目進行初步的分析后，有了明確的解答思路．具體的解答步驟可以參考以下三種.

方法1 (1)由于f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，所以f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1．

當a=0時，f′(x)=-2ex-1<0，所以f(x)在定義域R上為減函數．

(2)根據上述計算結果，可以得知：

當a≤0時，f(x)在R上單調遞減，所以此時的函數圖象與x軸最多只有一個交點，與題目要求相矛盾，故a≤0不成立．

方法2 (1)同方法1．

(2)①若a≤0時，由(1)可知f(x)最多只有一個零點．

圖1

若f(x)有兩個零點，則說明y=a與y=g(x)有兩個交點，由圖1得a的取值范圍是(0,1)．

2 一題多解的研究思考

2.1 優(yōu)化讀題和解題二者的順序

對于上述題目的分析與解答，不僅讓我們準確定位題目的考查重點，更重要的是通過這道題目可以折射出教師對數學教學工作的思考和啟示．

教師要將側重點放在讀題和解題的順序上，引導學生不斷優(yōu)化個人的讀題和解題順序．很多學生拿到題目便立即動手計算，這不是好的習慣．看到題目之后，首先要把題目仔細閱讀一遍，并針對題干的條件進行詳細的分析和解讀，準確認識題干給出的每個條件所反饋的基本信息以及知識點內在的聯系．例如，第(2)題給出的已知條件是函數f(x)有兩個零點，說明函數圖象和x軸有兩個交點，這是題中隱含的已知條件．教師要培養(yǎng)學生先讀題、后分析的好習慣，在每次測驗或課后練習中，建議學生花一至兩分鐘的時間閱讀題目并分析已知條件，當學生適應這種學習習慣后，那么對其數學能力的提升將有事半功倍的效果．

2.2 教學要秉持靈活性原則

雖然高中數學試題的答案是唯一的，但許多題目的解題方法卻是多樣的．數學教師在開展日常教學活動的過程中，要秉持靈活教學的基本原則，尤其對于重點和難點題型要積極引導學生嘗試應用多種方法、探索多種解決問題的思路．一題多解不僅可以幫助學生系統(tǒng)化地梳理課本上的數學知識，更有助于學生養(yǎng)成靈活的解題方式.當一種解題思路受阻時，可以調整思路另尋他法，而不是鉆牛角尖或者一條道走到黑．這不僅能夠使學生順利通過“考關”，也是STEAM類型的人才培養(yǎng)關鍵所在，并有效地促進素質教育的理念在一線教學中扎根發(fā)芽．

例題的第二種解法更偏向于證明法，由已知條件函數在區(qū)間上存在零點，緊緊圍繞這一命題進行分析與論證，同時解答過程中，注重融合反證法，培養(yǎng)學生利用逆向思維解決問題的能力．假設不存在點m，當得出結論與題目已知條件相矛盾時，就能得到相反的結論．教師在數學教學過程中要重視對學生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，通過靈活的教學方法，積極引導和鼓勵學生多思考、多討論、多交流，進而提升學生的數學綜合素養(yǎng)．

3 結語

不管未來高考如何改革，教育教學評價體系如何變化，數學終究是支撐物理、化學等現代科學技術發(fā)展的一門重要的基礎學科．在解決數學問題、不斷探索解題路徑時，不僅可促進學生對數學知識體系的鞏固與提高，更能對高中物理、化學等知識的理解與掌握起到很大的助推作用．隨著信息技術學科在高中學段逐漸獲得重視，學生的編程等計算機水平逐步提升，適時將GeoGebra等軟件融入課堂，能使抽象、復雜的函數問題可視化和動態(tài)化，這不僅促進學生對函數知識的理解，也為一題多解提供新路徑．作為一線教師，唯有樹立終身學習的理念，才能將授道解惑詮釋好，才能更好地引導學生多渠道、全方位地探索一題多解的路徑．