在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是____.試題精巧凝練,樸實干凈,給人以清爽的感覺,體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美,是一道不可多得的好題. 此題既可運用通性通法進行嚴謹?shù)慕獯?體現(xiàn)扎實的“本手”;也可以借助導函數(shù)的單調(diào)性給出精簡的解答,體現(xiàn)靈巧的“妙手”.解法1(本手) 對f(x) 求導得f′(x) =axlna+(1+a)xln(1+a),因此由f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增可知因即-lna≤ln(1+a),也即ln[a(1+a)] ≥ 0, 從而a(1

在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是____.試題精巧凝練,樸實干凈,給人以清爽的感覺,體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美,是一道不可多得的好題.此題既可運用通性通法進行嚴謹?shù)慕獯?體現(xiàn)扎實的“本手”;也可以借助導函數(shù)的單調(diào)性給出精簡的解答,體現(xiàn)靈巧的“妙手”.解法1(本手) 對f(x) 求導得f′(x) =axlna+(1+a)xln(1+a),因此由f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增可知.因, 故, 即-lna≤ln(1+a),也即ln[a(1+a)] ≥ 0,

導數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求其最值;三是回歸雙參的不等式證明,把所求的最值應用到雙參不等式,即可證得結果.1 真題重現(xiàn)學生解決這道真題主要有三種方法,展示如下:解法1 將blna-alnb=a-b變形為令f(x)=x(1-lnx),則f(m)=f(n),不妨設m2.要證m+n>2?n>2-m?f(n)令g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),則g′(x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]≥-ln1=0.所以g(x)在區(qū)間(0,1

論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若?x1∈(0,+∞),?x2∈[-2,-1],使得2f(x1)≤f(x2),求實數(shù)a的取值范圍。2.已知函數(shù)f(x)=ex-ksinx在區(qū)間內(nèi)存在極值點α。(1)求實數(shù)k的取值范圍;(2)求證:在區(qū)間(0,π)內(nèi)存在唯一的β,使得f(β)=1,并比較β與 2α的大小。(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)設函數(shù)g(x)=(3-a)x-f(x)有兩個極值點x1,x2(x15.已知函數(shù)(1)試判斷函數(shù)f(x)的零點個數(shù);6.設a

)在(0,+∞)單調(diào)遞增.g′(1)=2e-2>0，且當0當x>x0時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.故g(x)min=g(x0)=x0ex0-x0-lnx0-1.由g′(x0)=0,得即x0ex0=1，lnx0+x0=1.因此g(x)min=g(x0)=0.xex-3ax-lnx-1≥g(x)≥0，滿足題意.xex-3ax-lnx-1又g(x0)=0，所以x0ex0-3ax0-lnx0-1不滿足題意.分析2觀察不等式的結構，從而產(chǎn)生聯(lián)想，進行指對同構

■彭向陽函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),同學們初學函數(shù)的單調(diào)性,必須深刻理解定義,“咬文嚼字”進行對比學習。一、“函數(shù)沒有單調(diào)性”和“函數(shù)不單調(diào)”例1討論函數(shù)f(x)=kx+b的單調(diào)性。解析此函數(shù)的定義域為R,對于?x1,x2∈R,且x1>x2,則f(x1)-f(x2)=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)。因為x1>x2,所以x1-x2>0。當k>0 時,k(x1-x2)>0,可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),可知此函數(shù)

■胡 磊函數(shù)的單調(diào)性定義的等價形式:設任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2,若(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或,則f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù);若(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]下面舉例說明函數(shù)單調(diào)性的應用。例1若函數(shù)y=-|x-a|與y=在區(qū)間[1,2]上都是嚴格減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為_____。解:y=-|x-a|的圖像關于x=a對稱,且在x=a的左側(cè)單調(diào)遞增,在x=a的右側(cè)單調(diào)遞減,要在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,

x在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+)上單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(1)=1，所以x-lnx≥1，因為exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0，所以ex(lnx-x)+mx2+x+m≤0，所以所以當00,當x>1時,g′(x)因此g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+)上單調(diào)遞減， 所以g(x)max=g(1)≤0，所以正實數(shù)m的取值范圍為所以當00，當x>1時，h′(x)所以H(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+)上單調(diào)遞增，所以由(1)

，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.解(1)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減，在(0,+)上單調(diào)遞增(過程從略).當x∈(-,-1)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當x∈(-1,+)時，g(x)單調(diào)遞減，于是gmax(x)=g(-1)=e.又從而f(x)有兩個零點的充要條件為則的取值范圍為).例2(2020年全國卷1理科21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.(1)當a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；解(1)f(x)在

x∈[1,m]上單調(diào)遞增。故f(x)max=f(m)=lnm-am-b,f(x)min=f(1)=-a-b。因為存在x0∈[1,m]使得|f(x0)|≥1成立,所以存在x0∈[1,m]使得f(1)≤-1或f(m)≥1成立,即a+b≥1,或lnm-am-b≥1。若a+b＜1且lnm-am-b＜1,則不存在x0∈[1,m]使得|f(x0)|≥1成立。則lnm-a(m+1)＜2,即lnm＜a(m+1)+2。因為a＜0,所以lnm＜2,0＜m＜e2。故當存在x0∈

在(0,+∞)上單調(diào)遞增。在(0,x0)上,f'(x)＜0,f(x)是減函數(shù);在(x0,+∞)上,f'(x)＞0,f(x)是增函數(shù)。所以f(x)的最小值是f(x0),其中x0滿足f'(x0)=0,即1+lnx0+2ax0-3a=0。因此,f(x0)=x0lnx0-ax0+1+a(x0-1)2=x0(3a-1-2ax0)-ax0+1+a(x0-1)2=(1-x0)(a+ax0+1)。①當x0=1,即a=1時,f(x)的最小值為0,此時f(x)有一個零點。由g

)在[0，1]上單調(diào)遞增；當x∈(1，2)時，φ "(x)＜0，于是φ(x)在[1，2]上單調(diào)遞減。3 2.(1)當a=1時，y=f(x)=l n2x—2 l nx+1，令t=l nx∈[—1，2]，所以y=t2—2t+1=(t—1)2。當t=1時，取得最小值0；當t=—1時，取得最大值4。所以f(x)的值域為[0，4]。(2)因為f(x)≤—al nx+4，所以l n2x—al nx—2a—1≤0恒成立，令t=l nx∈[—1，2]，所以t2—a t—2

0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x∈(-1,3)時,f'(x)＞0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當x∈(3,+∞)時,f'(x)＜0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為2 0,f(x)=-x3+a x2+b x+c=-x3+3x2+9x+c,f(-2)=2+c,f(2)=2 2+c,f(-1)=c-5為最小值。若f(-2)=2+c=2 0,即c=1 8時,則f(-1)=c-5=1 8-5=1 3為最小值;若f(2)=2 2+c=2

論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個極值點x1和x2，記過點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2)) 的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.(1)討論f(x)的單調(diào)性；時隔二年，試題2與試題1如出一轍；時隔九年，試題3與試題1又如出一轍.②若a-11，故10.故f(x)在(a-1，1)上單調(diào)遞減，在(0，a-1)，(1，+∞)上單調(diào)遞增.③若a-1>1，即a>

重要的內(nèi)容，函數(shù)單調(diào)性是進一步研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的關鍵環(huán)節(jié)。以導數(shù)為載體的含參函數(shù)問題的圖象和性質(zhì)研究是高考考察的熱點和難點。解決此類問題的常見方法是：求導后進行分類討論，而如何進行分類討論則是解題的難點，本文以近年高考試題和模擬題中含參數(shù)導數(shù)問題為例，從“有無、大小、內(nèi)外”六字分類法揭開含參單調(diào)性討論的神秘面紗。一、導數(shù)為零是否有解（有無，內(nèi)外）例1.已知函數(shù)f（x）=Inx+a（1-x）討論f（%）的單調(diào)性。解：f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x

+∞)上“先嚴格單調(diào)上升后嚴格單調(diào)下降”，呈“倒浴盆”形；（2）f(t)在t∈(0,β)上“先嚴格單調(diào)上升后嚴格單調(diào)下降”，呈“倒浴盆”形，而在 t∈ [β,+∞ )上“嚴格單調(diào)下降”。證明由于β為刻度參數(shù)，不失一般性，設β=1，并記 ε(t)=-，則對t＞ 0，令函數(shù)對t＞ 0，令函數(shù)（ⅱ）類似于（ⅰ），對0＜ t＜ 1，令函數(shù)對0＜ t＜ 1，令函數(shù)2 BS（α，β）分布失效率函數(shù)的圖像特征文獻［14］主要利用了文獻［30］的結論，證明失效率函數(shù)呈“倒

09)三角函數(shù)的單調(diào)性是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，在三角函數(shù)的各種問題中都能見到單調(diào)性的獨特應用之處，特別是在比較大小、求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解不等式等方面有著不可替代的作用.一、利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小分析將各個值化為同名的三角函數(shù),且角在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用三角函數(shù)單調(diào)性求解.點評比較兩個三角函數(shù)值的大小常常先將它們化為同名函數(shù)，然后將角化為在該函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角．最后利用函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小．二、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間三、利用

)討論f(x)的單調(diào)性；(3)設c>1，證明當x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.當00，f(x)單調(diào)遞增；當x>1時，f′(x)(2)由(1)知，f(x)在x=1處取得最大值，最大值為f(1)=0，所以當x≠1時，lnx(3)由題設c>1，設g(x)=1+(c-1)x-cx，則g′(x)=c-1-cxlnc．當x0，g(x)單調(diào)遞增；當x>x0時，g′(x)所以當x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.試題新解(1)(2)略.(3)由題設x∈(0

學院 熊 燈一、單調(diào)有界數(shù)列的基本理論若數(shù)列的項滿足不等式則稱該數(shù)列為遞增(遞減)數(shù)列，遞增數(shù)列和遞減數(shù)列稱為單調(diào)數(shù)列。對任意一數(shù)列如果存在某個實數(shù)A使得不等式恒成立，則稱A為數(shù)列的一個上界，同樣地，如果存在某個實數(shù)B，使得不等式恒成立，則稱實數(shù)B是數(shù)列的一個下界，如果一個數(shù)列既有上界，又有下界，則稱該數(shù)列有界，此時又存在一個正數(shù)M，使得單調(diào)有界定理∶在實數(shù)中，有界數(shù)列必有極限。二、求單調(diào)有界數(shù)列的方法數(shù)列在求極限時，我們事先并不知道數(shù)列的極限值，我們可以

x)在(0,3)單調(diào)遞增，(3，+∞)單調(diào)遞減.∴03.要證a+b>6只要證b>6-a>3,即證F(b)>F(6-a).∵F(a)=F(b)，即證F(a)令P(x)=F(x)-F(6-x),0即證3(t+1)lnt令p(t)=3(t+1)lnt-6(t-1),t∈(0,1),∴p′(t)在(0，1)單調(diào)遞減，∴p′(t)∴p(t)在(0，1)單調(diào)遞減，∴p(t)題后反思 上述方法中的前兩種方法的本質(zhì)實際上是一樣的，都是把零點通過單調(diào)性偏移到極值的同一側(cè)，便

用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性在某個區(qū)間[a，b]上，如果[fx>0]，那么函數(shù)[y=fx]在這個區(qū)間上單調(diào)遞增；如果[fx<0]，那么函數(shù)[y=fx]在這個區(qū)間上單調(diào)遞減.例1 已知[f（x）=ax-lnx+2x-1x2，a∈R].（1）討論[f（x）]的單調(diào)性；（2）當[a=1]時，證明：[f（x）>fx+32]對任意的[x∈1，2]成立.解析 （1）先求[f（x）]的導函數(shù)，然后對[a]進行分類討論，得到[f（x）]的單調(diào)區(qū)間.由題意得，[fx的定義域為0，

來刻畫集值映射的單調(diào)性龍?zhí)煊?葉明露,李 軍(西華師范大學 數(shù)學與信息學院,四川 南充 637009)首先回顧了集值映射和二元函數(shù)的幾種單調(diào)性,包括單調(diào)、嚴格單調(diào)、強單調(diào)、偽單調(diào)、擬單調(diào)以及弱單調(diào),并定義了二元集值函數(shù)的這幾種單調(diào)性,同時舉出大量例子說明這些單調(diào)性之間的關系。最后,利用二元實值函數(shù)和二元集值函數(shù)的六種單調(diào)性分別刻畫了集值映射的六種單調(diào)性。集值映射;二元函數(shù);單調(diào)性條件0 引 言許多數(shù)學模型,包括優(yōu)化問題、多目標優(yōu)化問題、變分不等式問題、不動

學　岳峻復合函數(shù)單調(diào)性的求解策略安徽省太和中學岳峻我們知道，在復合函數(shù)y=f［g（x）］中，若內(nèi)層函數(shù)u=g（x）在區(qū)間（a，b）上具有單調(diào)性，當x∈（a，b）時，u∈（m，n），且外層函數(shù)y=f（u）在區(qū)間（m，n）上也具有單調(diào)性，則復合函數(shù)y= f［g（x）］在區(qū)間（a，b）上一定是單調(diào)函數(shù)。單調(diào)性的判斷規(guī)律可總結為：對于內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，同增同減復合增，增減相異復合減，簡而言之：同為增，異為減。函數(shù)的單調(diào)性是高考的重點和熱點內(nèi)容之一，其中復合函數(shù)的

宋志春函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個非常重要的性質(zhì)，在高考中經(jīng)常會碰到有關函數(shù)單調(diào)性求解的問題，需要同學們重視.下面通過例子來說明此類問題的求解策略.一、掌握幾種常見函數(shù)的單調(diào)性，求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間復習過程中要熟練掌握幾種常見函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)）的單調(diào)性，并能利用復合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求解復合函數(shù)的單調(diào)性問題.

10004）淺議單調(diào)有界函數(shù)的極限鄧 敏（湖南交通職業(yè)技術學院 湖南長沙 410004）本文闡述、舉例說明了由“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”不能得到“單調(diào)有界函數(shù)必有極限”這一結論的理由，并進一步討論了單調(diào)有界函數(shù)極限存在的條件。單調(diào)有界 數(shù)列 函數(shù) 極限 極限過程一、引言“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”是微積分學的基本定理之一，是《高等數(shù)學》中證明第二個重要極限公式的一個重要預備定理，因為數(shù)列是一種特殊函數(shù)，所以很多學生就想當然的認為“單調(diào)有界函數(shù)必有極限”，甚至有些

f(x)在D上的單調(diào)性；（3）若k＜-6，求D上滿足條件f(x)＞f(1)的x的集合（用區(qū)間表示）。分析：（2）由（1）可知函數(shù)f(x)的定義域D為：在同一直角坐標系中畫出g(x)與h(x)的圖像，如下圖所示：由上圖可知在(-∞,x1)，g(x)＞0,h(x)＞0且g(x),h(x)都為減函數(shù)，∴g(x)·h(x)為減函數(shù)，從而f(x)為增函數(shù)；在(x3,-1)，g(x)＜0,f(x)＜0且g(x),h(x)都為減函數(shù)∴g(x)·h(x)為增函數(shù)，從而f(

限的計算方法中，單調(diào)有界原理是一種非常有效的方法.有些數(shù)列的極限，用其它方法不一定能求出極限值，用單調(diào)有界原理卻能迎刃而解.應用單調(diào)有界原理求極限時，許多情況下，往往是證明數(shù)列單調(diào)增加有上界，或者單調(diào)減少有下界，由此確定數(shù)列有極限.定理 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.這個定理就是單調(diào)有界原理（證明略）［1］50－55.還有一類數(shù)列，求它的極限要用到單調(diào)有界原理，卻不清楚它是單調(diào)增加還是單調(diào)減少的.這類數(shù)列極限的求法，可以考慮一種新的思路，先證明它是單調(diào)的，不用知道