朱成萬(wàn) (浙江省杭州第十四中學(xué) 310006)

用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，首先要用空間向量表示立體幾何問(wèn)題涉及的幾何元素，即把空間中點(diǎn)、直線(xiàn)與平面用向量表示出來(lái)，這是向量法的基石，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一．因此，深入理解這一內(nèi)容非常有必要．

在人教A版舊教材[1](依據(jù)2003年版課程標(biāo)準(zhǔn)編寫(xiě))中，“空間中點(diǎn)、直線(xiàn)與平面的向量表示”這一內(nèi)容安排在選修2-1第三章第二節(jié)(3.2立體幾何中的向量方法)，在新教材[2](依據(jù)2017年版課程標(biāo)準(zhǔn)編寫(xiě))中，該內(nèi)容安排在選擇性必修第一冊(cè)第一章第四節(jié)(1.4空間向量的應(yīng)用)．新舊教材編寫(xiě)差異很大，本文將對(duì)這一內(nèi)容作出解讀，以便深入理解空間向量這一核心內(nèi)容．

1 新舊教材比較

新舊教材的編寫(xiě)，包括編寫(xiě)理念、內(nèi)容的安排、編寫(xiě)的順序、素材的選取、例題習(xí)題的安排等，差異都很大．本文不面面俱到地研究這些差異，只從以下三個(gè)視角對(duì)兩者作一個(gè)比較，以點(diǎn)帶面，旨在幫助讀者整體地理解空間向量．

1.1 教材編排：一節(jié)VS三節(jié)

在舊教材中，“空間中點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的向量表示”這一內(nèi)容編排比較簡(jiǎn)略．在選修2-1第三章3.2節(jié)簡(jiǎn)要地介紹了點(diǎn)的向量表示和直線(xiàn)的向量表示，并用平面向量基本定理表示平面，還介紹了法向量的概念，但各知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有詳細(xì)展開(kāi)，也沒(méi)有配套例題．

在新教材中，這一內(nèi)容很詳細(xì).在選擇性必修第一冊(cè)第一章1.4節(jié)編排了兩塊內(nèi)容，在1.4.1用了 3節(jié)詳細(xì)介紹用空間向量研究直線(xiàn)、平面的關(guān)系：“1.空間中點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的向量表示；2.空間中直線(xiàn)、平面的平行；3.空間中直線(xiàn)、平面的垂直”，在1.4.2詳細(xì)介紹用空間直線(xiàn)研究距離、夾角問(wèn)題．

下面對(duì)“空間中點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的向量表示”的新舊教材編寫(xiě)內(nèi)容作比較，列表如下．

內(nèi)容新教材舊教材備注位置的向量表示OP→OP→新舊相同直線(xiàn)的向量表示AP→=tAB→,OP→=OA→+ta,OP→=OA→+tAB→AP→=tAB→新教材3種表示,舊教材1種表示平面的向量表示OP→=OA→+xa+yb,OP→=OA→+tAB→無(wú)新教材2種表示,舊教材無(wú)平面的法向量{P|a·OP→=0}(設(shè)a是法向量)過(guò)點(diǎn)A,以a為法向量的平面是確定的新教材定量表示,舊教材定性表述

說(shuō)明：(1)新舊教材內(nèi)容編排差異很大．總體來(lái)說(shuō)，新教材更詳細(xì)，內(nèi)容更多，而舊教材內(nèi)容相對(duì)較少．

(2)新教材將“空間中直線(xiàn)、平面的平行”，“空間中直線(xiàn)、平面的垂直”單獨(dú)成節(jié)，而舊教材只是一帶而過(guò)．由于該內(nèi)容不是本文解讀對(duì)象，所以不列表比較．

1.2 引入思考：一次多問(wèn)VS多次一問(wèn)

新舊教材都是以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，但是在引入問(wèn)題的設(shè)置上差別很大．表現(xiàn)在舊教材上，設(shè)置的幾個(gè)問(wèn)題是一次性問(wèn)完的(圖1)．

圖1

新教材設(shè)置的也是這幾個(gè)問(wèn)題(見(jiàn)本文第二部分)，但呈現(xiàn)的方式是問(wèn)一個(gè)問(wèn)題，解決一個(gè)問(wèn)題．

筆者認(rèn)為，舊教材一次多問(wèn)，有問(wèn)題堆砌的感覺(jué)，還有許多問(wèn)題一次性出來(lái)，層次不夠分明．新教材問(wèn)一個(gè)，解決一個(gè)，這樣的編排不僅層次分明，條理清楚，而且學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)目標(biāo)指向更明確．

另外，具體到每個(gè)問(wèn)題，新舊教材在表述上也有差異．比如新教材的第一個(gè)思考問(wèn)題：“如何用向量表示空間中的一個(gè)點(diǎn)？”而舊教材中問(wèn)題是“如何確定一個(gè)點(diǎn)在空間的位置？”筆者認(rèn)為，新教材的設(shè)問(wèn)直指問(wèn)題，表述更精確．

1.3 法向量：一帶而過(guò)VS詳細(xì)介紹

舊教材介紹了法向量的概念，僅說(shuō)明可以用法向量解決平行與垂直問(wèn)題，沒(méi)有根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求法向量的例題，用法向量研究距離、角度問(wèn)題也很簡(jiǎn)略．

舊教材對(duì)法向量重視不夠，這一直是被中學(xué)教師詬病的地方，因?yàn)樵诟呖贾?，立體幾何大題幾乎都是法向量的天下，即教材與高考嚴(yán)重脫節(jié)．

新教材彌補(bǔ)了這一缺憾．在編寫(xiě)法向量時(shí)，其作了三點(diǎn)改進(jìn)：(1)不僅介紹法向量的概念，而且給出用法向量表述平面的代數(shù)表達(dá)式；(2)有配套例題求法向量，包括高考中經(jīng)常用的根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求法向量；(3)加強(qiáng)法向量的應(yīng)用，在1.4.1節(jié)介紹了根據(jù)法向量研究平行與垂直的位置關(guān)系，在1.4.2節(jié)介紹了用法向量研究距離與角度，而且配置了大量的例題．

如此改進(jìn)，從知識(shí)本身看，法向量是重要內(nèi)容，這樣編排主干內(nèi)容更突出；從實(shí)際教學(xué)看，做到了學(xué)與考的融合，更接地氣，更受教師、學(xué)生歡迎．

2 新教材逐段解讀

下面對(duì)新教材進(jìn)行逐段解讀．

2.1 節(jié)引言

圖2

解讀：節(jié)引言是先行組織者，具有承上啟下的作用．向量從平面推廣到空間，既作了數(shù)學(xué)知識(shí)和工具上的準(zhǔn)備，也作了學(xué)習(xí)方法上的準(zhǔn)備．

在平面向量中，學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)向量法，即用向量解決平面幾何問(wèn)題的“三部曲”．類(lèi)似地，用空間向量解決立體幾何問(wèn)題也有“三部曲”：首先要用空間向量表示立體幾何問(wèn)題涉及的幾何元素，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；然后通過(guò)空間向量的運(yùn)算，研究空間圖形之間的平行、垂直等位置關(guān)系以及距離、夾角等度量問(wèn)題；最后將結(jié)果翻譯成相應(yīng)的幾何結(jié)論，得到相應(yīng)立體幾何問(wèn)題的解決．

這里有個(gè)提示作用：下面的學(xué)習(xí)，自然是從第一步開(kāi)始，學(xué)習(xí)如何表示，即如何用向量表示點(diǎn)、直線(xiàn)和平面．

2.2 空間中點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的向量表示

圖3

解讀：開(kāi)宗明義，明確基本對(duì)象是點(diǎn)、直線(xiàn)和平面，研究的任務(wù)是對(duì)象的表示．這里的邏輯很清楚：用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，首先要用空間向量表示立體幾何的基本要素，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題．這是向量法的第一步，也是本節(jié)將探討的重點(diǎn)內(nèi)容．

圖4

解讀：“位置是空間的基本概念中最為原始的.在幾何學(xué)中，通常用點(diǎn)來(lái)標(biāo)記位置，所以點(diǎn)就是位置的抽象化.”[3]要表示位置需要有基點(diǎn)，確定了基點(diǎn)，向量與點(diǎn)就一一對(duì)應(yīng)，如此就可以用向量表示點(diǎn)．用向量表示點(diǎn)，是用向量表示直線(xiàn)和平面的基礎(chǔ)，具有奠基作用．

另外，圖中的平面用于襯托立體感，這是用圖形語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)對(duì)象的需要．

圖5

圖6

解讀：因?yàn)橹本€(xiàn)和平面都是點(diǎn)的集合，所以順著點(diǎn)的向量表示提出直線(xiàn)和平面的向量表示問(wèn)題是自然的．

實(shí)際上，直線(xiàn)由點(diǎn)與方向確定，在平面解析幾何中也有體現(xiàn)，比如直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，其中斜率是傾斜角的正切值，刻畫(huà)直線(xiàn)的傾斜程度，代表著直線(xiàn)的方向．

圖7

解讀：接下來(lái)就是探究用向量表示平面，即尋求平面的代數(shù)表示，讓平面也帶上方向，就可以通過(guò)向量運(yùn)算研究平面．

教材給出了平面的兩種表示，一種是基于平面向量基本定理，通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算表示平面，另一種是基于平面的法向量，通過(guò)向量的數(shù)量積運(yùn)算表示平面．兩者表示方式的不同，實(shí)際上是基于運(yùn)算的不同，這體現(xiàn)了向量運(yùn)算的威力．

圖8

圖9

由于這個(gè)結(jié)論的證明過(guò)程顯而易見(jiàn)，前面介紹直線(xiàn)的向量表示時(shí)也有同樣的旁白(圖6)．筆者認(rèn)為這兩個(gè)旁白只需一個(gè)就夠了,建議介紹直線(xiàn)的向量表示時(shí)給出證明，去掉那個(gè)旁白．

圖10

解讀：前面表示平面時(shí)需要用到三要素——一點(diǎn)和兩個(gè)方向．教材這里用兩要素——點(diǎn)和直線(xiàn)，體現(xiàn)了求精求簡(jiǎn)的思想．

圖11

解讀：新教材突出了法向量的地位，法向量就是平面垂線(xiàn)所在的方向向量．“直線(xiàn)的方向向量與該直線(xiàn)上的任意向量平行”，“平面的法向量與該平面內(nèi)的任意向量垂直”，這是方向向量和法向量的本質(zhì)．

實(shí)際上，教材選擇“點(diǎn)向式”表示直線(xiàn)和“點(diǎn)法式”表示平面，是內(nèi)容自身的需要(突出方向向量和法向量的作用)．這里的目標(biāo)是要將一條確定的直線(xiàn)或一個(gè)確定的平面用向量表示出來(lái)，而并不是為了將我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的確定直線(xiàn)(或平面)的每一種方式用向量去“翻譯”過(guò)來(lái)．

2.3 例題

圖12

解讀：例1給出了求平面法向量的具體方法.求平面的法向量是本節(jié)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，兩個(gè)小題分別代表了兩種常見(jiàn)問(wèn)題類(lèi)型．旁注中還說(shuō)明了方向向量和法向量的“不唯一”性．雖然我們并不需要過(guò)于強(qiáng)調(diào)，但“不唯一”性是客觀存在的事實(shí)，這一點(diǎn)在解題過(guò)程中已經(jīng)得到體現(xiàn)．同時(shí)，本題為后面研究直線(xiàn)、平面間的位置關(guān)系，距離和夾角等度量問(wèn)題作了準(zhǔn)備．可以毫不夸張地說(shuō)，一線(xiàn)教師之所以喜歡這套新教材，很大的原因是教材安排了例1．

3 教學(xué)建議

3.1 以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)

新舊教材都是以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，對(duì)教學(xué)有很大的啟示作用，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)可以采用這一方式．新教材為研究“空間中點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的向量表述”提出了三個(gè)思考，在教學(xué)時(shí)，我們可以借助這些思考，但是要根據(jù)課堂的實(shí)際提出一些追問(wèn)．

比如，提出思考“一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)方向能否確定一個(gè)平面？如果能確定，如何用向量表示這個(gè)平面？”可以進(jìn)一步設(shè)計(jì)以下問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究用向量表示平面．

問(wèn)題1：什么是平面向量基本定理？

設(shè)計(jì)意圖：在最近發(fā)展區(qū)提問(wèn)，回顧舊知識(shí)，并在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知識(shí)．

問(wèn)題2：如何用平面向量基本定理描述平面內(nèi)任意一點(diǎn)P的位置？

3.2 加強(qiáng)法向量的教學(xué)

法向量為解決立體幾何問(wèn)題提供了一個(gè)通法，所以要引起足夠的重視．加強(qiáng)法向量的教學(xué)，可以從以下幾個(gè)方面著力．

在法向量概念教學(xué)時(shí)，需從自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言三個(gè)角度對(duì)法向量進(jìn)行表示，明確法向量的概念，突出法向量的本質(zhì)——與平面內(nèi)任意向量都垂直．

在求法向量時(shí)，特別是例1的教學(xué)，要?dú)w納出求法向量的一般方法和步驟．

方法1 根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理求法向量；

方法2 根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，聯(lián)立方程組求法向量．

在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，用法向量研究空間圖形之間的平行、垂直等位置關(guān)系以及距離、夾角等度量問(wèn)題，在空間向量的應(yīng)用中加深對(duì)法向量的理解．