蔡海濤 (福建省莆田第二中學 351131)

林晴嵐 張 潔 (福建教育學院數(shù)學研修部 350001)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出：高中數(shù)學教學中，應突出數(shù)學主線，凸顯數(shù)學的內(nèi)在邏輯和思想方法[1].這就要求在教學中立足核心概念，以核心概念為主線，重視單元主題，關注知識結(jié)構(gòu)的完整性，系統(tǒng)完整地從表層到本質(zhì)進行設計，從而引導學生深度學習.筆者以一節(jié)公開課“直線與圓的位置關系”(第1課時)為例，在單元主題下進行整體設計,更加關注在傳授學科知識的過程中培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法、數(shù)學思維方式,關注在教學中滲透美育，關注發(fā)展學生的核心素養(yǎng).現(xiàn)將這節(jié)課的教學過程、設計意圖及課后反思整理成文,期待拋磚引玉.

1 教學過程實錄

1.1 知識回顧，溫故知新

師:同學們好！我們先來回顧一下，點與圓的位置關系有哪幾種？

生1:點在圓外、點在圓上、點在圓內(nèi).

師:這三種位置關系是如何判斷的?設點P(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2，請完成下表.

位置關系幾何特征(點P與圓心的距離d,半徑r)代數(shù)特征

生2:點在圓外的幾何特征是d>r,代數(shù)特征是(x0-a)2+(y0-b)2>r2；點在圓上的幾何特征是d=r,代數(shù)特征是(x0-a)2+(y0-b)2=r2；點在圓內(nèi)的幾何特征是d

設計意圖直線是由點形成的,基于單元主題設計,回顧點與圓的位置關系可以讓學生在探究直線與圓位置關系時類比點與圓位置關系的判斷方法,即可從形和數(shù)兩個角度來進行研究,把握好直線與圓的位置關系這一單元主題目標的切入點.

1.2 設計問題，創(chuàng)設情境

師:兩位同學回答得很好！今天我們將學習直線與圓的位置關系，首先來回顧一下初中學過的知識.直線與圓有哪幾種位置關系?

生3:相離、相切、相交.

師:這三種位置關系如何判斷?有哪些方法?

生4:從公共點個數(shù)來判斷——沒有公共點時相離，有一個公共點時相切，有兩個公共點時相交.從幾何特征來判斷——設圓心到直線的距離為d，半徑為r,則當d>r時相離，當d=r時相切，當d

師:請觀察幾何畫板,當直線l繞著點A運動到如圖1的位置時,直線l與圓O的位置關系是什么?

圖1

生5:相切.

生6:從我這個角度看,直線與圓是有兩個公共點的,所以位置關系是相交.

師(笑說):兩位同學坐在不同的位置,看到的交點個數(shù)不同,看來我們通過肉眼無法準確地判斷直線與圓公共點的個數(shù),那就有必要對直線與圓進行定量分析.我們知道,解析幾何的基本思想就是用代數(shù)方法來解決幾何問題,那么該如何用代數(shù)方法表示直線與圓的位置呢?

生7:建立直角坐標系,求出直線與圓的方程.

師:是的,在同一坐標系中求出直線與圓的方程.(邊講解邊在幾何畫板中展示,如圖2)接下來我們該如何求出公共點個數(shù)?

圖2

生8:聯(lián)立直線與圓的方程,方程組的解的個數(shù)即公共點的個數(shù).

師:真棒!通過解方程組,得到有兩個解,則交點就有兩個,坐標如幾何畫板所示(圖3).由此可見,剛才我們?nèi)庋鄯植磺宓倪@條直線與圓的位置關系是相交,可以通過代數(shù)方法求出交點來判斷位置關系.

圖3

接著,教師再次利用幾何畫板拖動直線l繞著點A運動,顯示直線與圓的方程,顯示交點及坐標,從而得到直線與圓的位置關系,由此引出本節(jié)課的課題.

設計意圖展示無法由圖形直觀觀察直線與圓公共點個數(shù)時的情況,給學生帶來認知沖突,從而自然引出研究直線與圓的位置關系不僅僅需要考慮定性關系,還需進行定量的研究.借此進一步推進解析幾何的核心價值就是用代數(shù)方法來解決幾何問題這一主線目標教學.

1.3 抽象方法，探索新知

師:根據(jù)剛才幾何畫板的展示,同學們能否歸納直線與圓位置關系的新的判斷方法?

生9:求出直線與圓的方程,再聯(lián)立兩個方程得到方程組．若方程組有兩個解,則直線與圓相交；若方程組只有一個解,則直線與圓相切；若方程組無解,則直線與圓相離.

師:很好!若方程組有兩個解,求出的解有怎樣的幾何意義?

生9:這兩個解對應的兩組有序數(shù)對就是直線和圓的交點坐標.

師:兩位同學回答得都很好,這就是用解析幾何方法來研究幾何量(直線與圓)之間的關系,建系求出方程,定量進行分析.

設計意圖通過以上兩個問題,讓學生從幾何畫板展示的幾種特殊情況中提煉歸納出研究直線與圓位置關系的解析法,滲透從特殊到一般的思想,發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

1.4 學以致用，牛刀小試

師:下面通過一道例題來鞏固剛才講的知識點.

例如圖4，已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓的位置關系；如果相交，求它們交點的坐標.

圖4

師生共同完成該例題后,進行方法歸納,強調(diào)判斷直線與圓位置關系的代數(shù)方法及求交點坐標的解題步驟.接下來,對本例進行變式.

1.5 變式訓練，鞏固提升

教師:投影出變式訓練題:

變式1 已知直線l:mx+y-6=0(m∈R)和⊙C：x2+(y-1)2=5，則直線l與⊙C的位置關系為.

變式2 已知直線l:mx+y-2=0(m∈R)和⊙C：x2+(y-1)2=5，則直線l與⊙C的位置關系為.

變式3 已知直線l:(1+m)x+(1-m)y-2=0(m∈R)和⊙C：x2+(y-1)2=5，則直線l與⊙C的位置關系為.

請三位學生上臺板演,其余同學獨立完成,教師評講.

設計意圖通過例題分析、方法歸納、步驟梳理等教學環(huán)節(jié)突出本節(jié)課的重點.通過變式訓練,進一步鞏固直線與圓位置關系的解析法的解題步驟,突破本節(jié)課的難點,在題組訓練中發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng).

1.6 嘗試改編，拓展思維

師:通過以上的變式，各位同學對于例題的變式與改編有了一定的了解．下面我就把這個提出問題的“主動權(quán)”讓給各位，由你們來嘗試改編一道題目，讓其他同學來完成，好嗎？不過，有幾個小小的原則——先嘗試改變題目的一到兩個條件，你們以小組為單位改編一道題目出來,必須是自己能夠作答的題目．

學生聽到這個特殊任務后,興致盎然,躍躍欲試.過了十來分鐘,全班六個小組陸續(xù)遞交了他們的成果,有的小組還提供了兩道題.大致可歸結(jié)為以下幾種:

(1)判斷直線與圓的位置關系．

已知直線l:mx+y-1=0(m∈R)和⊙C：(x-1)2+y2=5，判斷直線l與⊙C的位置關系.

(2)已知直線與圓的位置關系，求參數(shù)的取值范圍．

已知直線l:3x+y-6=0和⊙C：x2+(y-1)2=r2(r>0)，當直線l與⊙C相交時，r的取值范圍為.

已知直線l:3x+y+m=0(m∈R)和⊙C：x2+(y-1)2=5，當直線l與⊙C相離時，m的取值范圍為.

(3)已知直線與圓的位置關系，求直線或圓的方程．

已知直線l:3x+y-6=0被⊙C：x2+(y-b)2=5截得的弦長為2，⊙C的方程為.

學生討論,交流作答.

設計意圖教學目標需要問題來觸動，只有圍繞問題并基于問題解決的設計才是生動、有主題的教學設計.[2]這個教學環(huán)節(jié)的設計注重激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，重視學生的思維活動，構(gòu)建以生為本的課堂.[3]

1.7 小結(jié)反思，感悟提升

師:你在本節(jié)課上學到了哪些數(shù)學知識和方法?

生10:能判斷直線與圓的位置關系，能根據(jù)位置關系解決一些簡單問題，能類比、用代數(shù)方法解決幾何問題.

師:你在本節(jié)課上能感受到哪些數(shù)學思想?

生11:函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合.

師:(課后思考題)通過這節(jié)課的學習，類比直線與圓位置關系研究方法，探究圓與圓的位置關系.

設計意圖從點與圓位置關系的引入,到線與圓位置關系的研究,再到圓與圓位置關系的探究,這三個關系的串接形成了一個完整的知識架構(gòu),在本質(zhì)上體現(xiàn)了部分和整體之間的和諧統(tǒng)一,滲透著數(shù)學的統(tǒng)一美.

2 課后反思感悟

2.1 重視數(shù)學教學的整體設計

對于數(shù)學教學，要重視整體設計[4]．教學過程中，教師如果沒有對所學知識點在整個單元、整個章節(jié)甚至整個知識體系中進行整體設計，學生容易形成“只見樹木不見森林”的學習狀況，從而導致學習遷移能力較低.基于整體推進、關注核心素養(yǎng)落地的教學設計，應該把一些具有邏輯聯(lián)系的知識點放在一起進行整體設計.

“直線與圓的位置關系”一課是在學習“點與圓的位置關系”的基礎上學習的，為后續(xù)的“圓與圓的位置關系”乃至“直線與圓錐曲線的位置關系”奠定了基礎，起到了承上啟下的作用.因此，這節(jié)課的教學可整體設計為：回顧點與圓位置關系→探究線與圓位置關系→探究圓與圓位置關系(課外)→探究直線與圓錐曲線位置關系(課外).

2.2 創(chuàng)設整體導向的問題情境

直線與圓的位置關系的導入有以下幾種不同的方式.

方式1:投影海上日出的圖片,如圖5-7所示，配上李白的詩句:“日出東方隈，似從地底來.”引導學生發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關系.

圖5 圖6 圖7

方式2:以小組為單位，由各組的成員拿出直尺(抽象成直線)和移動的圓形紙片，組織組員共同觀察直線和圓的位置關系.

章建躍博士說過:“情景引入應從數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程需要來考慮，以數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)和學生的認知過程為依據(jù)設置情境，應強調(diào)從數(shù)學知識發(fā)展的邏輯必然性中提出問題,這樣的情境才是具有數(shù)學含金量的情境,批判那些非數(shù)學本質(zhì)的偽情境.”基于此，筆者對以上兩種方式及筆者在本節(jié)課中創(chuàng)設情境的方式(前文已有說明，現(xiàn)將該方式記為方式3)進行對比，如下表.

創(chuàng)設情境主要優(yōu)點主要缺點方式1借助圖片和優(yōu)美詩句,可充分調(diào)動學生的學習熱情學生已在初中對直線與圓的位置關系有了定性的學習和認識,而本節(jié)課的目標是從定量角度來研究,因此偏離了本節(jié)課的主題方式2讓學生動手操作,合作交流,可調(diào)動學生的學習積極性,增強學生課堂參與度這個活動是探究直線與圓的位置關系,而這個關系是學生已經(jīng)認知的關系,所以該探究是個假探究方式3借助信息技術的融合,把直線“動”起來,由直線與圓的公共點個數(shù)無法確定,自然把直線與圓位置關系的定性研究遷移到定量研究

2.3 實施邏輯連貫的教學過程

數(shù)學課堂應該要實施邏輯連貫的教學過程[5]．

(1)從定性研究到定量研究

直線與圓的位置關系在初中已從定性上進行了研究.從定性角度研究直線與圓的位置關系，包括圖形的定性性質(zhì)與圖形間的關系與性質(zhì)；從定量角度研究直線與圓的位置關系，由相交交點的位置展開，利用代數(shù)特征來處理，即用代數(shù)方法來解決幾何問題.兩種研究方式既有聯(lián)系又有區(qū)別.一般說來,可以由定性角度進行直觀判斷,再從定量角度進行驗證.

整體來看，本節(jié)課以“變”入手研究“不變”，讓學生經(jīng)歷直線和圓方程的變化過程，經(jīng)歷解決直線與圓位置關系問題的從簡單到復雜的過程.在這一過程中，學生的知識逐步變得具有結(jié)構(gòu)性，同時也會獲得豐富的活動體驗[6].本節(jié)課由數(shù)到形，再從形到數(shù)，充分體現(xiàn)“解析幾何”的思想方法，在一個問題中提煉一類方法，產(chǎn)生“一花一世界”的效果[7]．

(2)從點圓到線圓再到圓圓

幾何圖形的代數(shù)表示就是點和直線,所以從點與圓的位置關系研究中可獲得研究直線與圓位置關系的代數(shù)方法．可以利用直線的方程及圓的方程構(gòu)成的方程組的解的個數(shù)來判斷位置關系,這也是研究圓與圓位置關系的基礎，由此實現(xiàn)從點與圓到直線與圓再到圓與圓位置關系研究的連貫性.

再從“更高的角度”來看,平面幾何所研究圖形的三個要素(形狀、大小和位置)均可用方程來進行代數(shù)表示,進而再從代數(shù)角度來研究直線、圓的性質(zhì)及直線與圓的關系問題.這種研究方法也是今后研究直線與圓錐曲線位置關系的基礎.在運用代數(shù)方法研究幾何問題的過程中，可拓展學生分析、解決問題的視野.

2.4 滲透美育讓數(shù)學課美起來

在2018年9月全國教育大會上，習近平總書記指出，要努力構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系，形成更高水平的人才培養(yǎng)體系.時代呼喚教師要與時俱進,在日常教學中落實“五育”.

從研究點與圓的位置關系遷移到直線與圓的位置關系，呈現(xiàn)方法的統(tǒng)一美；在直線的運動變化過程中，得到動直線與定圓的關系從相離到相切再到相交，又到相切再到相離，呈現(xiàn)圖形的對稱美；直線與圓的位置關系可以從數(shù)和形兩個角度來進行分析，呈現(xiàn)數(shù)學的和諧美.在教學中滲透美育，引導學生增強審美能力，引導學生去感悟、體驗生活中的美，有助于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,同時讓學生親身體驗到美、感受到美[8]，讓美在數(shù)學課上蕩漾.

2.5 主題設計中落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

主題教學是以內(nèi)容為載體、以內(nèi)涵為主體的教學活動，其教學設計是基于大數(shù)據(jù)觀、系統(tǒng)論，實現(xiàn)學生知識結(jié)構(gòu)體系完整性的設計.[9]“解析法”是貫穿解析幾何的知識主線，在直線與圓錐曲線的研究中有著非常重要的作用.“直線與圓的位置關系”是“解析法”主線的一個重要節(jié)點.本節(jié)課的重點是能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系；難點是進一步體會用代數(shù)方法解決幾何問題的思想.突出重點的關鍵在于根據(jù)主題和主線合理創(chuàng)設情境，關注學情變化．通過研究方程組解的個數(shù)和比較相關幾何量的大小關系這兩種不同方法，解決直線和圓的位置關系的判斷問題，讓學生領會數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)；通過例題及變式，引導學生進一步探究解決幾何問題的代數(shù)方法，提高應用意識，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)；通過例題的變式及改編，發(fā)展直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).

不同數(shù)學核心素養(yǎng)既有聯(lián)系又有區(qū)別,是一個有機的整體[9].圍繞“解析法”主題展開教學，在關注學生知識技能掌握的同時也要關注他們相應數(shù)學核心素養(yǎng)水平的達成.核心是以內(nèi)涵為主線，整體架構(gòu)、單元設計、螺旋上升，挖掘數(shù)學學科的育人價值，整體建構(gòu)學生的必備品格和關鍵能力，不斷提升其數(shù)學學科核心素養(yǎng).