蕭恩穎

摘要：圖形與幾何是小學(xué)數(shù)學(xué)重要內(nèi)容。為解決圖形與幾何教學(xué)中存在的缺乏實(shí)際任務(wù)驅(qū)動(dòng)、忽視分層操作、內(nèi)隱思維不可視等問題，教師可通過智慧教室創(chuàng)設(shè)情境，并通過精準(zhǔn)的學(xué)情分析，有效支持學(xué)生的個(gè)性化操作，在發(fā)展學(xué)生空間觀念的同時(shí)，使其思維過程可視化。

關(guān)鍵詞：智慧教室;圖形與幾何;探索圖形

一、問題與對(duì)策

圖形與幾何是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一。在傳統(tǒng)模式下，其教學(xué)效果不盡如人意。例如，教師執(zhí)教人教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“探索圖形”時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)以下問題。

問題一：虛構(gòu)情境缺少任務(wù)驅(qū)動(dòng)。原本想象給正方體蛋糕表面涂果醬的虛構(gòu)情境看似有趣，但缺乏實(shí)際任務(wù)驅(qū)動(dòng)，難以激發(fā)學(xué)生興趣。沒有真實(shí)且富有挑戰(zhàn)的任務(wù)作為支撐，學(xué)生的想象停留在表層。這樣無法調(diào)動(dòng)所有學(xué)生參與思考。

問題二：教學(xué)設(shè)計(jì)缺乏學(xué)情分析。因缺乏對(duì)學(xué)情的精準(zhǔn)把控，學(xué)生從三階正方體入手進(jìn)行探究后，所學(xué)知識(shí)難以在長方體中進(jìn)行知識(shí)遷移，無法將“長正方體的特征”與“涂色規(guī)律”建立起本質(zhì)上的聯(lián)系。

問題三：自主探索忽視分層操作。在探索涂色問題的過程中，不少學(xué)生無法通過觀察平面圖想象小正方體的分類、數(shù)量和位置。教師需分層設(shè)置便捷且豐富的操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)踐中發(fā)展空間觀念。

問題四：內(nèi)隱思維難以直觀可視。學(xué)生匯報(bào)分析涂色小正方體的分類、位置和數(shù)量時(shí)，傳統(tǒng)課件并不能支持學(xué)生對(duì)每類涂色情況進(jìn)行可視化展示。因此，難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)交互、直觀可視，不利于空間觀念水平較弱的學(xué)生思考與操作。

科學(xué)應(yīng)用信息技術(shù)破解教學(xué)困局。僅憑傳統(tǒng)環(huán)境下的課堂教學(xué)，很難解決圖形與幾何相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。筆者認(rèn)為，在智慧教室環(huán)境下開展的圖形與幾何教學(xué)，可以獲得更精準(zhǔn)的學(xué)情分析，創(chuàng)設(shè)情境進(jìn)行可視化呈現(xiàn)，支持學(xué)生個(gè)性化操作和更直觀的思維表達(dá)，最終發(fā)展其空間觀念。

智慧教室環(huán)境下的技術(shù)操作平臺(tái)包括以個(gè)人計(jì)算機(jī)、平板電腦、智能手機(jī)為基礎(chǔ)的接入層，還包括Team model（醍魔豆應(yīng)用軟件）、ActivInspire（普米交互式白板軟件）、幾何應(yīng)用App在內(nèi)的應(yīng)用層，以及兼具實(shí)時(shí)交互、數(shù)據(jù)處理、直觀演示等功能的功能層。在技術(shù)的支撐和共同作用下，教師可優(yōu)化設(shè)計(jì)，改進(jìn)教學(xué)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)及意圖

在智慧教室環(huán)境下，基于“引導(dǎo)學(xué)生探究涂色規(guī)律理解，發(fā)展空間觀念”的目標(biāo)，筆者對(duì)人教版數(shù)學(xué)五下“探索圖形”的教學(xué)進(jìn)行如下設(shè)計(jì)。

（一）精心設(shè)計(jì)前測，準(zhǔn)確把握學(xué)情

為了準(zhǔn)確把握學(xué)情，課前筆者設(shè)計(jì)了前測，就正方體和長方體表面涂色問題對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。

前測材料：如圖1所示，將正方體及長方體中的涂色小正方體先分類，再求出“三面涂色、兩面涂色、一面涂色、沒有涂色”每類的數(shù)量，并記錄思考過程。

前測對(duì)象：小學(xué)五年級(jí)學(xué)生400人。

前測分析：詳見表1。

從前測結(jié)果來看，學(xué)生對(duì)解決正方體涂色問題有一定的知識(shí)基礎(chǔ)，而他們作答長方體涂色問題正確率不高，對(duì)于兩面涂色、一面涂色和沒有涂色的正確率更低。筆者從正確分類和方法維度進(jìn)行前測與訪談后發(fā)現(xiàn)，與正方體相比，在長方體中能將涂色小正方體正確分類的學(xué)生減少了20%。“數(shù)出各涂色數(shù)量”的學(xué)生占65%，而“能利用長、正方體特征求出各涂色部分?jǐn)?shù)量的學(xué)生”僅占35%。

（二）精心設(shè)計(jì)目標(biāo)，凸顯空間觀念

基于上述分析，筆者通過長方體涂色問題引入，將正方體涂色問題作為基本練習(xí)，并輔以交互技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)長、正方體的特征，對(duì)小正方體涂色的分類、數(shù)量、位置深入思考，提升空間觀念。具體目標(biāo)如下：創(chuàng)設(shè)問題情境，以任務(wù)導(dǎo)引學(xué)生卷入學(xué)習(xí)，深化對(duì)正方體、長方體特征的認(rèn)識(shí)和理解;引導(dǎo)學(xué)生觀察、列表、想象，發(fā)現(xiàn)圖形分類計(jì)數(shù)問題中的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力;以探索長、正方體的涂色問題為任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、想象過程中發(fā)展空間觀念與思維能力，體會(huì)分類、數(shù)形結(jié)合、歸納、推理、模型等數(shù)學(xué)思想。

（三）融合技術(shù)應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)思維可視

筆者利用Team model交互式電子白板批注、即時(shí)影像功能，ActivInspire著色、隱藏顯示、移動(dòng)功能，及時(shí)生成內(nèi)容;利用Think 3D旋轉(zhuǎn)、添加刪除小正方體功能，驗(yàn)證想象，使學(xué)生思維過程可視化，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展;利用Team model教師端挑人、推送、拍照、數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)反饋等功能，使學(xué)生之間的互動(dòng)更便捷，師生之間的互動(dòng)更平等。

三、教學(xué)實(shí)踐及分析

（一）任務(wù)驅(qū)動(dòng)，用交互工具實(shí)現(xiàn)即時(shí)觀察

任務(wù)：給一個(gè)長方體表面涂上顏色，切分成同樣大小的正方體。每個(gè)小正方體的涂色情況是怎樣的呢？教師運(yùn)用交互課件涂色功能出示圖形。

教師：我做了一個(gè)同樣的長方體模型，請(qǐng)一位小助手幫我托起來，讓全班同學(xué)都看到。誰能幫幫我？

學(xué)生助手上臺(tái)協(xié)助，不小心打翻了模型。

教師：沒關(guān)系。你請(qǐng)三位同學(xué)一起復(fù)原這個(gè)模型，行嗎？（其他學(xué)生觀察這些同學(xué)是怎么復(fù)原的。）

出示觀察要求：仔細(xì)觀察，怎么搭的;認(rèn)真思考，想要搭成有什么好建議。

教師使用Team model教師端即時(shí)影像功能，拍攝操作情況。

學(xué)生觀察后反饋：

學(xué)生1：我覺得要想成功復(fù)原，要先給這些小正方體按涂色情況分類。

學(xué)生2：我覺得還要想象一下不同的情況應(yīng)該放在什么位置，以及每種情況的數(shù)量。

學(xué)生3：上臺(tái)拼搭的同學(xué)要有分工，不然會(huì)手忙腳亂的。

小結(jié)：看來想要復(fù)原，要先給小正方體分類，還要知道每種類型放在什么位置上，有幾塊。

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情境并使用即時(shí)影像功能讓全體學(xué)生浸入式體驗(yàn)還原的過程，激發(fā)學(xué)生探索復(fù)原長方體策略的意識(shí)，在任務(wù)導(dǎo)引中讓“分類”成為必須，滲透“分類”思想。

（二）合作探究，用交互工具實(shí)現(xiàn)仿真觀察

1.教師布置任務(wù)，學(xué)生分層探究規(guī)律

教師：為了讓大家順利完成任務(wù)，我準(zhǔn)備了三星和五星的小提示。三星提示是“先在3D圖中看一看，再想一想”;五星提示是“先想一想，再在3D圖中看一看”。

學(xué)生在平板電腦上用幾何應(yīng)用軟件進(jìn)行分層操作，可以旋轉(zhuǎn)長方體，可以展開小正方體，使原本看不到的面變得直觀可視（如圖2）。不同層次的學(xué)生都能順利探究涂色小正方體的分類、數(shù)量和位置。

2.小組匯報(bào)成果，初步感知特征

小組1：我們組介紹三面涂色的情況。它們?cè)陧旤c(diǎn)上，有8塊。

學(xué)生運(yùn)用ActivInspire交互課件隱藏功能呈現(xiàn)圖形。

教師：能想象還有一塊藏在哪兒嗎？

學(xué)生：能，在被擋住的頂點(diǎn)上。

學(xué)生運(yùn)用幾何應(yīng)用軟件旋轉(zhuǎn)功能展示被擋住的三面涂色小正方體，驗(yàn)證猜想（如圖3）。

小組2：我們組介紹兩面涂色的情況。我們是一層一層數(shù)的，第一層有10塊，第二層有4塊，第三層也有10塊，一共有24塊兩面涂色的小正方體。

學(xué)生用幾何應(yīng)用App隱藏、旋轉(zhuǎn)功能呈現(xiàn)圖形。

教師：你們組是用數(shù)的方法求出塊數(shù)的，有沒有小組用的不一樣的方法呢。

學(xué)生1：我們組發(fā)現(xiàn)兩面涂色的小正方體在棱上，長中有3塊，寬中有2塊，高中有1塊，可以用（3+2+1）×4求出共有24塊兩面涂色的小正方體。

學(xué)生2：我們組發(fā)現(xiàn)棱中兩面涂色的塊數(shù)，可以用每條棱上涂色塊數(shù)去掉頂點(diǎn)上的兩塊求出來。比如：長一共有5塊，去掉頂點(diǎn)上的兩塊，就是3塊。同樣，寬和高中間的塊數(shù)也可以像這樣求出來。兩面涂色的共有[（5-2）+（4-2）+（3-2）]×4=24塊。

學(xué)生運(yùn)用ActivInspire隱藏功能呈現(xiàn)圖形。

小結(jié)：這兩個(gè)組的同學(xué)很厲害，他們不是數(shù)的，而是分類求出來的。他們先求出長、寬、高中兩面涂色的分別有幾塊，再根據(jù)長方體的特征求出了總數(shù)量。

教師：對(duì)于一面涂色的問題，能不能也像這樣分類研究呢？

小組3：我們組發(fā)現(xiàn)一面涂色的部分與面有關(guān)，長方體的上面有6塊，前面有3塊，右面有2塊。再乘2，共有22塊。

學(xué)生運(yùn)用幾何應(yīng)用軟件隱藏功能呈現(xiàn)圖形。

學(xué)生：每個(gè)面中間一面涂色的塊數(shù)，我們也可以求出來。上面的塊數(shù)可以用長邊上的塊數(shù)減去頂點(diǎn)上的塊數(shù)乘寬邊上的塊數(shù)減去頂點(diǎn)上的塊數(shù)，（5-2）×（4-2）=6（塊）。同理，一面涂色的塊數(shù)為[（5-2）×（4-2）+（5-2）×（3-2）+（4-2）×（3-2）]×2=22塊。

教師：為什么要乘2呢？

學(xué)生：因?yàn)榍昂?、左右、上下是一樣的?/p>

小結(jié)：看來只要求出前面、右面和上面，根據(jù)長方體的特征，就可以求出所有一面涂色的塊數(shù)。

小組4：我們組是研究沒有涂色部分情況的。這些小正方體在中心，去掉外面一層，里面是沒有涂色的部分。

教師：想象一下，去掉前面、后面、左面、右面、上面、下面。剩下的是什么形狀，有幾塊？

學(xué)生1：是長方體，長放3塊，寬放2塊，高放1塊，剩下6塊。

學(xué)生2：6塊還可以求出來。因?yàn)樯舷?、前后、左右各去掉一層，我們可以用?-2）×（4-2）×（3-2）=6（塊）求出沒有涂色的塊數(shù)。

教師在學(xué)生充分想象后，運(yùn)用ActivInspire交互課件移動(dòng)涂色面，呈現(xiàn)中間未涂色部分。

教師：是不是真的只有這四種涂色情況？檢查一下，有沒有漏掉的。

學(xué)生：可以將所有涂色情況的數(shù)量相加，看看是不是60塊。如果正好相等，說明沒有漏掉。

小結(jié)：學(xué)生一起研究出了涂色小正方體的分類、位置和數(shù)量。這樣就可以更快地復(fù)原長方體了。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己能力，選擇合適的學(xué)習(xí)助手，探索各類涂色小正方體的位置與數(shù)量規(guī)律，在探索過程中主動(dòng)運(yùn)用長方體“頂點(diǎn)”“棱”“面”的特征。同時(shí)，不斷引導(dǎo)學(xué)生在探索中進(jìn)行想象，并運(yùn)用幾何應(yīng)用軟件隱藏、展開等功能驗(yàn)證猜想，有效提升空間觀念。

（三）鞏固練習(xí)，用交互工具實(shí)現(xiàn)思維可視

1.運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，研究正方體特色問題

提問：能用研究涂色長方體的經(jīng)驗(yàn)，再來研究這個(gè)涂色大正方體嗎（如圖1中左圖）？

大部分學(xué)生通過想象探究問題，少部分學(xué)生借助幾何應(yīng)用軟件探究問題或驗(yàn)證猜想。

2.嘗試解決，深入理解式與形間聯(lián)系

學(xué)生1：我是用長方體的特征來求涂色情況的。三面涂色的還是8塊;兩面涂色的有（2+2+2）×4=24（塊）;一面涂色的有（4+4+4）×2=24（塊）;沒有涂色的有8塊。

學(xué)生2：我是用正方體的特征來求的，因?yàn)檎襟w的12條棱都相等，6個(gè)面都相等，所以，兩面涂色的有2×12=24（塊）;一面涂色的有4×6=24（塊）。

學(xué)生3：可以想象一下，兩面涂色的部分就是將兩邊三面涂色的去掉，可以用（4-2）×12=24（塊）來求，同樣，一面涂色的可以用（4-2）×（4-2）×6=24（塊）來求。沒有涂色的可以用（4-2）×4 =8（塊）來求。

教師根據(jù)學(xué)生回答情況，運(yùn)用ActivInspire交互課件移動(dòng)、隱藏等功能，以及幾何應(yīng)用軟件中的隱藏、展開功能與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)，相機(jī)呈現(xiàn)不同涂色情況的小正方體，讓思維直觀可視。

小結(jié)：因?yàn)檎襟w是一種特殊的長方體，所以它的涂色情況既可以用長方體的特征來求解，也可以用正方體的特征來求解。

3.對(duì)比溝通，感悟特征

教師：從涂色小正方體的分類、位置和數(shù)量來看，大長方體和正方體有什么相同的地方？

學(xué)生：三面涂色的塊數(shù)都在頂點(diǎn)上，且都是8塊 ;兩面涂色的都在棱中，一面涂色的都在面中，沒有涂色的都在立體圖形的中心。

交互課件分類呈現(xiàn)不同涂色情況的小正方體。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在正方體涂色問題的探究中，運(yùn)用ActivInspire交互課件移動(dòng)、隱藏等功能，以及幾何應(yīng)用軟件中的隱藏、展開功能驗(yàn)證想象，進(jìn)一步鞏固規(guī)律理解;在長正方體的對(duì)比中，借助交互課件分色塊呈現(xiàn)，有利于概括涂色分類、各類涂色小正方體的位置與數(shù)量的一般特征。

（四）變式拓展，用交互工具實(shí)現(xiàn)模擬操作

呈現(xiàn)任務(wù)：如果將一個(gè)涂色長方體切分成16個(gè)相同的小正方體，重新搭成一個(gè)長方體，搭成的這個(gè)長方體，三面涂色的可能有多少個(gè)？

①8塊 ②12塊 ③沒有 ④以上皆有可能

學(xué)生利用Team model即問即答功能選擇，呈現(xiàn)數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)顯示：95%的學(xué)生選擇三面涂色的小正方體有8塊。

教師利用智慧挑人功能，精準(zhǔn)選擇①的學(xué)生作答。引導(dǎo)學(xué)生想象幾何體的形狀。

教師：想一想，三面涂色的部分可不可能有12塊，或者沒有呢。

學(xué)生運(yùn)用幾何應(yīng)用軟件中的放置刪除、著色旋轉(zhuǎn)功能進(jìn)行模擬操作。根據(jù)學(xué)生回答，教師利用ActivInspire層遮蓋及隱藏功能依次呈現(xiàn)圖形。

圖形直觀顯示：三面涂色的小正方體在頂點(diǎn)上，有8塊;三面涂色的小正方體在棱中，有8塊;三面涂色的小正方體在棱中，有12塊;沒有三面涂色的小正方體。

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)變式練習(xí)，突破三面涂色部分正方體數(shù)量一定是8塊的思維定式。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三面涂色的情況，想象還原幾何體的形狀，在反思質(zhì)疑中，想象還原新形狀，對(duì)不同形狀的長方體涂色情況進(jìn)行分類思考，發(fā)展空間觀念。

教師：同樣用16個(gè)小正方體拼組圖形，有沒有可能拼出的圖形全是三面涂色的呢。如果繼續(xù)研究，還能繼續(xù)猜想嗎？大家可以課后研究。

四、教學(xué)反思

（一）從情境到模型，基于任務(wù)激發(fā)分類思考

真實(shí)的任務(wù)比虛擬的情境更易激起學(xué)生探究的欲望。筆者用“還原長方體模型”的真實(shí)任務(wù)代替“涂果醬”情境，制造“不小心”打翻積木的小插曲。臺(tái)上的學(xué)生摩拳擦掌，智慧合作復(fù)原積木。在Team model即時(shí)影像功能的加持下，臺(tái)下的學(xué)生聚精會(huì)神，認(rèn)真思考全員參與，引發(fā)課堂小高潮。課堂上開展任務(wù)教學(xué)有效滲透了“分類思考”的數(shù)學(xué)思想。

（二）從經(jīng)驗(yàn)到實(shí)證，基于特征把握涂色規(guī)律

探索涂色小正方體的分類、數(shù)量及位置的規(guī)律，并將涂色規(guī)律與長、正方體的特征建立本質(zhì)聯(lián)系，是此課例教學(xué)的主要目標(biāo)。筆者根據(jù)實(shí)證數(shù)據(jù)，直擊難點(diǎn)，從一般的長方體入手展開探究，并將特殊的正方體作為基本練習(xí)展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷從一般到特殊的探究過程。學(xué)生根據(jù)長、正方體的頂點(diǎn)、棱、面的特征本質(zhì)，比較分析，明晰涂色小正方體的分類、位置、數(shù)量與圖形特征之間的本質(zhì)聯(lián)系，形成探究圖形問題的一般思路和經(jīng)驗(yàn)。

（三）從單一到交互，基于不同水平分層探究

如何根據(jù)學(xué)生的能力水平展開分層研究？如何在豐富的活動(dòng)體驗(yàn)中激發(fā)想象？課例中，技術(shù)支持為“分層研究”“思維可視”提供了可能。首先，筆者為學(xué)生提供了便捷可操作的交互工具，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)需求操作，能力較弱的學(xué)生可以利用交互工具輔助思考，能力較強(qiáng)的學(xué)生可以先想象探究再操作驗(yàn)證。其次，利用電子白板及幾何應(yīng)用軟件交互可視的特點(diǎn)，根據(jù)生成情況面向全體學(xué)生動(dòng)態(tài)演示，使靜態(tài)的圖形動(dòng)起來，使傳統(tǒng)教學(xué)難以表達(dá)的思維過程直觀可視。無疑，技術(shù)的介入與應(yīng)用為可視化分層活動(dòng)、理解涂色規(guī)律、發(fā)展空間觀念提供了極好的支持。

（四）從觀察到想象，基于變式突破觀念定式

空間觀念的培養(yǎng)，需要學(xué)生經(jīng)歷從“空間知覺”到“圖形想象”的過程。整節(jié)課，教師始終遵循“先想象再演示”的原則，給予學(xué)生充分思考與表達(dá)的空間。同時(shí)，在對(duì)比發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律后，巧妙設(shè)置打破規(guī)律的變式練習(xí)，不斷引導(dǎo)學(xué)生由“體”想“面”。學(xué)生需要經(jīng)歷兩次想象，第一次，需要想象出“由16個(gè)小正方體可以拼組成怎樣的幾何體”;第二次，需要想象出“這個(gè)幾何體三面涂色的小正方體在什么位置，分別有幾塊”。在突破學(xué)生思維定式的同時(shí)，讓空間觀念的培養(yǎng)貫穿始終。課后，教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)想象，運(yùn)用交互工具創(chuàng)作新圖形在網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間中分享互評(píng)，打破時(shí)空的界限，實(shí)現(xiàn)差異化的自主學(xué)習(xí)。

注：本文系國家出版融合發(fā)展重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室、人教數(shù)字教育研究院規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)信息化教學(xué)模式研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：RJA0119008）的研究成果。

（作者系浙江省杭州濮家小學(xué)教育集團(tuán)教師）

責(zé)任編輯：祝元志