吳神花,雷曉燕

(華東交通大學(xué) 鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，南昌 330013)

譜元法(SEM)是一種高精度的頻域分析方法[1]。該方法從動(dòng)力偏微分方程出發(fā)，利用傅里葉變換將偏微分方程轉(zhuǎn)換為頻域內(nèi)的常微分方程，通過引入相應(yīng)的位移邊界條件和力邊界條件，得到單元譜剛度矩陣。再利用有限元思想，將整體結(jié)構(gòu)離散為若干個(gè)單元，并將其組裝為整體結(jié)構(gòu)譜剛度矩陣，最后利用虛擬激勵(lì)法模擬軌道不平順引起的虛擬激勵(lì)，通過求解整體結(jié)構(gòu)的譜元法方程得到結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。譜元法在結(jié)構(gòu)離散時(shí)，單元尺寸的大小對中高頻振動(dòng)計(jì)算精度影響甚微，能有效避免有限元法在網(wǎng)格劃分較細(xì)時(shí)帶來的計(jì)算效率低的問題，同時(shí)保持了有限元法對復(fù)雜結(jié)構(gòu)適應(yīng)性強(qiáng)的特點(diǎn)。目前，譜元法不僅可以分析固體結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題[2-3]，還可以分析流體力學(xué)[4]中的問題，已成功應(yīng)用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)[5]、地震學(xué)[6]和結(jié)構(gòu)損傷識別[7-8]等多個(gè)領(lǐng)域，是一種成熟的全頻域動(dòng)力學(xué)分析方法，可以為車輛-軌道結(jié)構(gòu)全頻域振動(dòng)噪聲分析提供新思路。但將該方法應(yīng)用于車輛-軌道結(jié)構(gòu)頻域振動(dòng)分析的研究,目前還沒有看到。

本文基于譜元法建立車輛-軌道結(jié)構(gòu)頻域振動(dòng)模型，將軌道結(jié)構(gòu)模擬為三層鐵木辛柯梁，車輛部分考慮為整車模型，運(yùn)用Lagrange方程實(shí)現(xiàn)車輛與軌道結(jié)構(gòu)的耦合，并運(yùn)用虛擬激勵(lì)法將軌道不平順模擬為虛擬荷載，最后通過求解整體結(jié)構(gòu)的譜元法方程得到車輛-軌道結(jié)構(gòu)全頻域振動(dòng)響應(yīng)。

1 基于譜元法的車輛-軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析方法

1.1 軌道結(jié)構(gòu)模型

軌道結(jié)構(gòu)模擬為三層鐵木辛柯梁單元，如圖1所示。其中，鋼軌、預(yù)制軌道板和混凝土支撐層分別離散為黏彈性點(diǎn)支撐的二維鐵木辛柯梁譜單元，鋼軌扣件由離散分布的彈簧-阻尼單元模擬，CA砂漿和路基由均布的彈簧-阻尼單元模擬。

圖1 無砟軌道結(jié)構(gòu)三層梁譜單元法模型Fig.1 Three layer beam model of ballastless track structure

定義無砟軌道結(jié)構(gòu)三層梁單元的譜結(jié)點(diǎn)位移向量為

1.1.1 Timoshenko梁單元譜剛度矩陣

自由振動(dòng)的Timoshenko梁運(yùn)動(dòng)微分方程如下

(1)

式中:G為剪切彈性模量;κ為剪切因子;E為彈性模量;I為橫截面的慣性矩;ρ為材料密度;A為梁截面面積;v為梁的垂向位移;φ為彎曲引起的轉(zhuǎn)角。

將垂向位移和轉(zhuǎn)角表示為譜分量的形式

(2)

由式(1)和(2)可得

(3)

設(shè)式(3)的一般解為

(4)

將式(4)代入式(3)可以求出波數(shù)四個(gè)解

(5)

其中：

式(4)的解可表示為

(6)

式(6)前兩項(xiàng)表示向右傳播的波，后兩項(xiàng)表示向左傳播的波，l為梁單元長度，其中：

A，B，C，D為待定系數(shù)，可通過引入位移邊界條件求得，位移邊界條件如圖2所示。

圖2 鐵木辛柯梁單元邊界位移Fig.2 Boundary displacement of Timoshenko beam element

(7)

通過式(6)和(7)可以求得

(8)

其中

將式(8)代入式(6)可得

(9)

鐵木辛柯梁內(nèi)部彎矩和剪力可以表示為

(10)

將荷載表示為譜分量的形式

(11)

引入鐵木辛科梁梁端荷載邊界如圖3所示。

圖3 鐵木辛科梁邊界荷載Fig.3 Boundary load of Timoshenko beam

(12)

其中S(ω)為鐵木辛柯梁譜單元?jiǎng)偠染仃嚕杀硎緸?/p>

(13)

其中：

1.1.2 彈簧-阻尼單元譜剛度矩陣

s2=k2+ic2

(14)

式中：k2，c2分別為無砟軌道單元彈簧-阻尼剛度矩陣和阻尼矩陣，公式見參考文獻(xiàn)[9]；s2為軌道結(jié)構(gòu)彈簧-阻尼單元譜剛度矩陣。

1.1.3 整體譜剛度矩陣

將鋼軌、預(yù)制軌道板、混凝土支撐層譜單元?jiǎng)偠染仃囈约皬椈?阻尼單元譜剛度矩陣采取對號入座的方式，組裝為軌道結(jié)構(gòu)整體譜剛度矩陣Sl(ω)。

1.2 車輛模型

車輛部分模擬為整車模型，車體和轉(zhuǎn)向架考慮沉浮振動(dòng)和點(diǎn)頭振動(dòng)，車輪考慮沉浮振動(dòng)，每節(jié)鋼軌上兩個(gè)節(jié)點(diǎn)考慮豎向位移和轉(zhuǎn)角，整車模型有26個(gè)自由度，如圖4所示。

圖4 整車車輛單元模型Fig.4 Vehicle model

圖4中：vci(i=1,2,3,4)為第i個(gè)輪軌接觸處鋼軌豎向位移；vi(i=r1,r2,r3,…,r8)分別表示鋼軌第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的垂向位移；θi(i=r1,r2,r3,…,r8)表示鋼軌第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。

車輛單元的節(jié)點(diǎn)位移向量au,e可以表示為

au,e={vr1θr1vr2θr2vr3θr3vr4θr4vr5θr5vr6θr6vr7θr7vr8θr8θr8vcθcvt1vt2vw1vw2vw3vw4}T

(15)

運(yùn)用Lagrange方程，可得車輛方程

Muau+Cuau+Kuau=Qu+Qη

(16)

式中：Mu，Cu，Ku分別為車輛單元的剛度、阻尼和質(zhì)量矩陣;Qu為車輛重力荷載列向量，Qη為軌道不平順激勵(lì)，公式如下

(17)

式中:kc為輪軌接觸剛度；Nc1,Nc2,Nc3,Nc4為插值矩陣；η1，η2，η3，η4為軌道不平順，將通過虛擬激勵(lì)法來模擬。

設(shè)不平順η(t)的功率譜密度函數(shù)為Sη(ω)，則相應(yīng)的軌道不平順虛擬激勵(lì)為

(18)

由于軌道不平順功率譜是以空間圓頻率表示的單邊功率譜，而Sη(ω)為時(shí)間功率譜，因此需先將軌道不平順功率譜轉(zhuǎn)換，時(shí)間圓頻率ω=βv，β為空間圓頻率，v為列車速度，則時(shí)間功率譜Sη(ω)為

Sη(ω)=Sη(β)/v

(19)

對于M個(gè)輪對情況，有

(20)

式中:η(t)為軌道高低不平順隨機(jī)激勵(lì)歷程函數(shù);tj(j=1,2,…M)為各激勵(lì)點(diǎn)處的激勵(lì)滯后時(shí)間，tj=(aj-a1)/v,aj為t=0時(shí)第j個(gè)車輪的位置坐標(biāo)。

與η(t-tj)相應(yīng)的軌道不平順虛擬激勵(lì)為

(21)

對于M個(gè)輪對作用情況，式(20)表示為

(22)

其中：

(23)

僅考慮由于軌道不平順引起的激勵(lì)，式(16)可變?yōu)?/p>

Muau+Cuau+Kuau=Qη

(24)

由于軌道高低不平順為虛擬激勵(lì)，與此相應(yīng)的位移響應(yīng)為

(25)

將式(17)、(22)和(25)代入式(24)可得

(26)

(27)

Su(ω)=(ω2Mu+iωCu+Ku)

(28)

1.3 求解車輛-軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)譜元法方程

(29)

根據(jù)虛擬激勵(lì)法原理，系統(tǒng)結(jié)點(diǎn)位移的實(shí)際功率譜密度S(ω)為

(30)

(31)

2 基于譜元法的車輛-軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻域分析

采用德國高低不平順低干擾譜作為軌道不平順激勵(lì)，列車速度為250 km/h，線路長度為200 m，軌道單元長度為0.65 m，列車參數(shù)和軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)分別見表1和表2。

2.1 模型驗(yàn)證

圖5為0.2～200 Hz內(nèi)的車體、轉(zhuǎn)向架、車輪垂向加速度功率譜，車體、轉(zhuǎn)向架沉浮加速度的自振頻率分別為1 Hz和7.6 Hz，按參考文獻(xiàn)[10]公式算出的車體、轉(zhuǎn)向架沉浮加速度的自振頻率分別為1.08 Hz和7.9 Hz，可見本文計(jì)算結(jié)果與參考文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果吻合良好。圖5中車體、轉(zhuǎn)向架加速度功率譜谷值處分別對應(yīng)車輛“定距濾波”和“軸距濾波”頻率，與參考文獻(xiàn)[11]公式得到的“定距濾波”和“軸距濾波”頻率吻合良好，證明了基于譜元法的車輛-軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻域分析方法的正確性。

表1 無砟軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 高速列車參數(shù)

圖5 車輛沉浮加速度功率譜

2.2 基于譜元法的車輛-軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻域分析

為了得到軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自振頻率，不考慮車輛部分，在三層軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中間施加一個(gè)單位簡諧荷載，得到鋼軌、軌道板、底座板的垂向位移導(dǎo)納，如圖6所示。由圖6可知,鋼軌第一、第二階自振頻率為30 Hz、250 Hz，鋼軌一階pinned-pinned頻率為1 062 Hz；軌道板和底座板的第一、第二、第三、第四階自振頻率為30 Hz、508 Hz、1 000 Hz、2 839 Hz。

圖6 軌道結(jié)構(gòu)垂向位移導(dǎo)納Fig.6 Vertical displacement admittance of track structure

基于譜元法的車輛-軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)模型，考慮軌道結(jié)構(gòu)單元尺寸為0.650 0 m、0.375 0 m、0.187 5 m的三種工況，分析車輛-軌道結(jié)構(gòu)頻域振動(dòng)特性。計(jì)算結(jié)果表明,三種工況下得到的頻域振動(dòng)響應(yīng)相同，軌道結(jié)構(gòu)單元尺寸大小不會影響計(jì)算精度，可見譜元法分析軌道結(jié)構(gòu)中高頻振動(dòng)比有限元法更具優(yōu)勢。以下分析的單元尺寸均為0.650 0 m，圖7和8分別為分析頻率0.2～200 Hz、1～4 000 Hz內(nèi)軌道結(jié)構(gòu)垂向加速度功率譜曲線，圖9為分析頻率1～4 000 Hz內(nèi)的車輛垂向加速度功率譜曲線。

如圖7所示，鋼軌、軌道板、底座板的前2階振動(dòng)峰值頻率為1.1 Hz和8 Hz，分別對應(yīng)圖5中車體、轉(zhuǎn)向架的自振頻率；鋼軌、軌道板、底座板的第三階振動(dòng)峰值頻率為28 Hz，對應(yīng)圖6中鋼軌、軌道板、底座板的一階自振頻率；鋼軌、軌道板、底座板的第四階峰值頻率對應(yīng)圖5中車輪自振頻率。綜上可見,鋼軌、軌道板、底座板前2階振動(dòng)峰值由車體、轉(zhuǎn)向架自振產(chǎn)生，第三階峰值頻率由軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自振產(chǎn)生，第四階峰值頻率由車輪自振產(chǎn)生。

由圖8可知，鋼軌、軌道板和底座板的振動(dòng)在28 Hz、504 Hz和2 660 Hz處有峰值，分別對應(yīng)圖6中軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)一階自振頻率、軌道板和底座板的第二、第四階自振頻率，說明軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的這幾處峰值都是由軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自振引起的；而鋼軌另一處峰值在1 166 Hz處，軌道板和底座板在922 Hz處，這也是對應(yīng)圖6中軌道板第三階自振頻率，可見此處峰值是由軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自振產(chǎn)生的，而鋼軌、軌道板和底座板的峰值頻率之間的差異是由于圖6中鋼軌的pinned-pinned振動(dòng)導(dǎo)致的。

由圖8還可以看到，在全頻域內(nèi)鋼軌振動(dòng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于軌道板和底座板的振動(dòng)，說明鋼軌扣件在全頻域內(nèi)具有良好的減振效果；在頻率小于500 Hz時(shí)，軌道板和底座板加速度功率譜相同，說明小于500 Hz時(shí)，CA砂漿無減振作用；但大于500 Hz時(shí)，軌道板振動(dòng)遠(yuǎn)大于底座板的振動(dòng)，說明高頻振動(dòng)衰減快。

由圖9可知，車體和轉(zhuǎn)向架的加速度功率譜對應(yīng)的谷值處頻率符合“車輛幾何濾波效應(yīng)，由圖9可見,轉(zhuǎn)向架的自振頻率為7.6 Hz，當(dāng)頻率大于轉(zhuǎn)向架自振頻率時(shí)，車輪振動(dòng)大于車體和轉(zhuǎn)向架的振動(dòng)，說明一、二系懸掛減振具有良好的效果。在頻率為500 Hz時(shí)，車輪的加速度功率譜也有峰值，與下部軌道結(jié)構(gòu)對應(yīng)的峰值頻率相同，說明該峰值也是由軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自振引起的。

2.3 輪軌接觸處車輛-軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)

車輛-輪軌耦合系統(tǒng)包含了一節(jié)車廂四個(gè)輪軌接觸激勵(lì)，圖10和11分別為四個(gè)車輪作用處車輪、鋼軌加速度功率譜曲線。

圖10 四個(gè)車輪加速度功率譜Fig.10 Acceleration power spectrum of four wheels

圖11 四個(gè)輪對處鋼軌加速度功率譜Fig.11 Acceleration power spectrum of rail at four wheelsets

由圖10可知：在小于25 Hz、大于1 000 Hz和80～1 000 Hz內(nèi)，四個(gè)車輪振動(dòng)相同；在20～80 Hz內(nèi)，四個(gè)車輪峰值不同；在120～500 Hz內(nèi)，車輪4振動(dòng)最大，在400～1 000 Hz內(nèi)，車輪1振動(dòng)最大；四個(gè)車輪均在500 Hz處有峰值，這是由軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自振引起。

由圖11可知，在小于25 Hz和80～500 Hz內(nèi)，鋼軌振動(dòng)在四個(gè)輪對作用處振動(dòng)相差不大；在25～80 Hz內(nèi)，鋼軌的振動(dòng)峰值有差異，與圖10對應(yīng)車輪振動(dòng)峰值相同，說明該頻域內(nèi)主要受車輪自振的影響較大；在500～1 000 Hz內(nèi)，鋼軌振動(dòng)大小關(guān)系為：車輪4處>車輪3處>車輪2處>車輪1處；大于1 000 Hz時(shí)，鋼軌振動(dòng)大小關(guān)系為：車輪4處<車輪3處<車輪2處<車輪1處。

2.4 遠(yuǎn)離車輛一側(cè)沿鋼軌方向軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)

圖12和13為遠(yuǎn)離車輛一側(cè)且距離端輪對0、2.5 m、18.0 m、20.5 m處鋼軌、軌道板振動(dòng)加速度功率譜曲線。由圖12可知，在距離端輪對2.5 m處，1～800 Hz內(nèi)鋼軌振動(dòng)迅速衰減,當(dāng)大于800 Hz時(shí)，鋼軌振動(dòng)衰減不大；在距離端輪對18.0 m與20.5 m處，25～1 171 Hz內(nèi)的鋼軌振動(dòng)基本相同，說明距離端輪對18.0 m處，鋼軌振動(dòng)衰減基本穩(wěn)定；在距離端輪對20.5 m處，小于25 Hz時(shí)，鋼軌振動(dòng)隨著離開端輪對距離的增加迅速衰減，衰減幅值超過了103倍，當(dāng)大于1 171 Hz時(shí)鋼軌振動(dòng)則衰減較小。由圖13可知:在1～25 Hz與500～2 000 Hz內(nèi)軌道板振動(dòng)距端輪對越遠(yuǎn)而衰減越大;在25～500 Hz和大于2 000 Hz內(nèi)，軌道板振動(dòng)衰減甚微，基本趨于穩(wěn)定。

圖12 鋼軌加速度功率譜Fig.12 Acceleration power spectrum of rail

圖13 軌道板加速度功率譜Fig.13 Acceleration power spectrum of track plate

3 結(jié) 論

本文基于譜元法建立了車輛-軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻域分析模型，運(yùn)用虛擬激勵(lì)法將軌道不平順模擬為虛擬荷載，運(yùn)用Lagrange方程實(shí)現(xiàn)車輛與軌道結(jié)構(gòu)的耦合，從而建立車輛-軌道結(jié)構(gòu)的整體譜元法方程。利用該方法，分析了車輛-軌道結(jié)構(gòu)在頻域內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)，得到以下結(jié)論：

(1) 鋼軌、軌道板和底座板的第一、第二、第四階振動(dòng)峰值分別由車體、轉(zhuǎn)向架、車輪自振引起；其他振動(dòng)峰值由軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自振引起。鋼軌、軌道板和底座板的振動(dòng)能量分布在較寬的頻率范圍。

(2) 鋼軌扣件在全頻域內(nèi)具有良好的減振效果；由于CA砂漿的剛度比較大，CA砂漿層對軌道結(jié)構(gòu)的減振作用不明顯。

(3) 遠(yuǎn)離車輛一側(cè)且距離端輪對2.5 m處，1～800 Hz內(nèi)鋼軌振動(dòng)迅速衰減,當(dāng)大于800 Hz時(shí)，鋼軌振動(dòng)衰減不大；在距離端輪對18.0 m處，25～1 171 Hz內(nèi)的鋼軌振動(dòng)衰減基本穩(wěn)定；在距離端輪對20.5 m處，小于25 Hz時(shí)，鋼軌振動(dòng)隨著離開端輪對距離的增加迅速衰減，衰減幅值超過了103倍，當(dāng)大于1 171 Hz時(shí),鋼軌振動(dòng)則衰減較小；在1～25 Hz與500～2 000 Hz內(nèi)，軌道板振動(dòng)距端輪對越遠(yuǎn)衰減越大。

(4) 基于譜元法的車輛-軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析方法具有計(jì)算速度快、計(jì)算精度高的特點(diǎn)，為車輛-軌道耦合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)全頻域分析提供了一種新方法。