張利娟，張華彪，李欣業(yè)，王雅雪，于 濤

(1.河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300134;2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 汽車與交通學(xué)院，天津 300222;3.天津商業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300134)

微機(jī)械陀螺由于其體積小、重量輕、制造成本低、易于批量生產(chǎn)、響應(yīng)穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、電子等領(lǐng)域[1-2]。微機(jī)械陀螺中非線性因素，如支承梁的非線性剛度、驅(qū)動(dòng)/檢測(cè)靜電力等廣泛存在，因此微機(jī)械陀螺的非線性動(dòng)力學(xué)問題成為了近年來的研究熱點(diǎn)。

Asokanthan等[3]研究了單軸振動(dòng)微陀螺儀在輸入角速度周期性波動(dòng)下的非線性不穩(wěn)定性。在角速度輸入小幅周期波動(dòng)的情況下，采用了一種基于平均法的漸近方法，得到了由參數(shù)共振引起的幅頻特性曲線。Braghin等[4]考慮一個(gè)MEMS線振動(dòng)陀螺，發(fā)現(xiàn)支撐梁的非線性硬化特性使得結(jié)構(gòu)的共振峰向更高的頻率彎曲。Martynenko等[5]研究了一種具有彈性桿的MEMS音叉陀螺儀，推導(dǎo)了敏感結(jié)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上彎曲振動(dòng)的非線性微分方程，采用漸近雙尺度法研究了陀螺在運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上的非線性動(dòng)力學(xué)問題。Mojahedi等[6]研究了微納陀螺在直流電壓和基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)作用下的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的非線性響應(yīng)。李欣業(yè)等[7-8]分別對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)和參數(shù)激勵(lì)的三次非線性剛度的微機(jī)械陀螺的動(dòng)力學(xué)及時(shí)滯反饋控制進(jìn)行研究，分析了系統(tǒng)參數(shù)和反饋增益及時(shí)滯對(duì)振幅和分岔特性的影響。尚慧琳等[9]研究了參數(shù)激勵(lì)和立方非線性的切向梳齒驅(qū)動(dòng)微陀螺，給出了Hopf分岔?xiàng)l件，揭示了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)振幅和分岔行為的影響機(jī)制。文永蓬等[10]探討了驅(qū)動(dòng)微彈性梁和檢測(cè)微彈性梁的非線性剛度對(duì)微陀螺輸出的影響規(guī)律。郝淑英等[11-12]分析了驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)剛度非線性對(duì)雙檢測(cè)微陀螺的幅頻曲線、共振頻率偏移的影響規(guī)律。Hamed等[13]研究了具有線性和非線性參數(shù)激勵(lì)的微陀螺儀的動(dòng)力學(xué)、能量傳遞和振動(dòng)控制。Awrejcewicz等[14]研究了帶扭轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的微機(jī)械陀螺，考慮了剛度和關(guān)節(jié)非線性的影響，多尺度法分析了系統(tǒng)在主共振和內(nèi)共振的情況的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。Tsai等[15]考慮了彎曲剛度非線性和靜電力非線性，研究了的微陀螺儀在不同的驅(qū)動(dòng)頻率和固有頻率下的不穩(wěn)定區(qū)域，求解了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)。

在實(shí)際工作中，微機(jī)械陀螺的載體，如導(dǎo)彈、無人機(jī)等，在工作工程中往往需要進(jìn)行復(fù)雜的機(jī)動(dòng)動(dòng)作，過載可達(dá)30倍～50倍重力加速度。載體的運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致微機(jī)械陀螺系統(tǒng)的響應(yīng)發(fā)生變化，導(dǎo)致測(cè)量出現(xiàn)誤差，甚至發(fā)生系統(tǒng)故障。Thakur等[16]利用簡(jiǎn)化耦合諧振器分析了載體加速度對(duì)含剛度誤差的MEMS音叉陀螺輸出的影響，并提出了減小加速度影響的建議。Ali[17]研究了時(shí)變的載體加速度和溫度引起的微機(jī)械陀螺誤差的補(bǔ)償問題。Bancroft等[18]研究了人走路和跑步引起的微機(jī)械陀螺響應(yīng)誤差的補(bǔ)償。已有研究主要針對(duì)載體運(yùn)動(dòng)影響的補(bǔ)償和消除，并未涉及機(jī)理分析，非線性因素也未得到充分考慮。本文針對(duì)載體加速度對(duì)微機(jī)械陀螺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響進(jìn)行分析，考慮載體在微陀螺驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)兩方向的運(yùn)動(dòng)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，重點(diǎn)關(guān)注載體加速度對(duì)微機(jī)械陀螺系統(tǒng)響應(yīng)的影響。

1 考慮載體運(yùn)動(dòng)的微機(jī)械陀螺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

考慮圖1所示的微機(jī)械陀螺，圖2是其等效彈簧質(zhì)量模型，其中m為微陀螺的敏感質(zhì)量，xa-oa-ya為絕對(duì)坐標(biāo)系，微機(jī)械陀螺與載體固聯(lián)，載體在絕對(duì)坐標(biāo)系的水平和豎直方向分別有位移xb,yb，同時(shí)有繞鉛垂軸的角位移θ；x-o-y為載體坐標(biāo)系，x為微陀螺的驅(qū)動(dòng)方向，y為檢測(cè)方向，敏感質(zhì)量沿驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)方向的位移分別為x,y，則微機(jī)械陀螺敏感質(zhì)量在絕對(duì)坐標(biāo)系中的位移可表示為

1-敏感質(zhì)量;2-檢測(cè)電極;3-驅(qū)動(dòng)電極;4-錨點(diǎn)圖1 微機(jī)械陀螺結(jié)構(gòu)示意Fig.1 The schematic representation of MEMS gyroscope

圖2 微機(jī)械陀螺的等效彈簧質(zhì)量模型Fig.2 Model of MEMS gyroscope as spring-mass system

xa=xcosθ-ysinθ+xb

ya=xsinθ+ycosθ+yb

(1)

其中θ=ωzt。對(duì)式(1)求導(dǎo)，可得敏感質(zhì)量在絕對(duì)坐標(biāo)系中的速度為

(2)

則敏感質(zhì)量的動(dòng)能為

(3)

考慮微機(jī)械陀螺的支承結(jié)構(gòu)的三次非線性剛度，則其彈性勢(shì)能為

(4)

考慮系統(tǒng)為真空封裝，忽略氣體阻尼，只考慮結(jié)構(gòu)阻尼，則系統(tǒng)的瑞利耗散函數(shù)為

(5)

根據(jù)拉格朗日方程可求得微機(jī)械陀螺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下

(6)

其中,Fx,Fy分別為驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)方向的靜電力，其表達(dá)式如下[19]

Fx=Excosωt

(7)

其中

(8)

(9)

(10)

Y″+GX′+Y+βYY3+ξYY′+As-EYFY=0

其中G為無量綱陀螺力，βX,ξX和βY,ξY分別是驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)方向的無量綱的非線性剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，Ad,As分別是載體在驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)方向的無量綱加速度，EX,EY分別為驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)電壓相關(guān)的無量綱參數(shù)，上述無量綱參數(shù)表達(dá)式如下：

2 周期響應(yīng)分析

本節(jié)利用諧波平衡法求解系統(tǒng)的周期響應(yīng)。為初步了解系統(tǒng)周期響應(yīng)的特征，首先對(duì)式(10)進(jìn)行數(shù)值仿真，圖3給出了Runge-Kutta法的計(jì)算結(jié)果，在載體有加速度時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)偏離了平衡位置，因此設(shè)方程的解為

X=A0+A1cosΩτ+A2sinΩτ

Y=B0+B1cosΩτ+B2sinΩτ

(11)

注意到FY為分式項(xiàng)要將其展開為如下傅里葉級(jí)數(shù)形式方能進(jìn)行計(jì)算。

FY=C0+C1cosΩτ+C2sinΩτ

(12)

其中

(13a)

(13b)

(13c)

這里采用留數(shù)定理[20]求解各展開項(xiàng)的系數(shù)，從而避免將FY展開為泰勒級(jí)數(shù)，引起不必要的誤差。定義z=exp(iθ)，其中θ=Ωτ，則

(14)

將式(14)代入到式(13a)中，根據(jù)留數(shù)定理有

(15)

其中

zk為包含在單位圓內(nèi)f(z)的孤立奇點(diǎn)。被積函數(shù)只有2個(gè)二級(jí)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，分別是

(16)

于是有

k=1,2,m=2

(17)

將式(17)代入式(15)，可得

(18)

同理可求得

(19)

將式(11)和(12)代入式(10)，比較同次諧波系數(shù)有

(20)

(a) EX=EY=0.04,Ad=0.4,As=0

(b) EX=EY=0.04,Ad=0,As=0.4HB-諧波平衡法;RK-Runge-Kutta法圖3 諧波平衡解與Runge-Kutta法數(shù)值解的對(duì)比Fig.3 Comparison of harmonic balance solution with numerical solution by Runge-Kutta method

3 載體加速度對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)特性的影響分析

幅頻特性對(duì)于微機(jī)械陀螺至關(guān)重要，因此我們針對(duì)驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)電壓對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響進(jìn)行了研究，圖4和圖5分別給出了驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)電壓對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響，可以看到檢測(cè)電壓的變化對(duì)幅頻特性曲線的分岔形式影響很?。浑S著驅(qū)動(dòng)電壓的變化，系統(tǒng)在檢測(cè)方向的幅頻曲線出現(xiàn)了三種不同的分岔形式：① 沒有靜態(tài)分岔點(diǎn)的情況，如EX=0.01,EY=0.04時(shí)；② 幅頻曲線峰值的右側(cè)出現(xiàn)靜態(tài)分岔點(diǎn)的情況，如EX=0.02,EY=0.04時(shí)；③ 幅頻曲線峰值兩側(cè)都出現(xiàn)靜態(tài)分岔點(diǎn)的情況，如EX=0.04,EY=0.04時(shí)。因此本文將考慮EX=0.01，EX=0.02，EX=0.04三種驅(qū)動(dòng)電壓情況(EY=0.04)，分別討論載體加速度對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)特性的影響。

圖6是驅(qū)動(dòng)方向加速度對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響，可以看到在驅(qū)動(dòng)方向的振幅隨加速度增大而增大，檢測(cè)方向的振幅隨加速度的增大反而在減小。同時(shí)注意到在EX=0.01和EX=0.02時(shí)，幅頻特性的分岔形式隨加速度的變化沒有發(fā)生改變，而在EX=0.04,Ad=0.4時(shí)，幅頻特性峰值左側(cè)的兩個(gè)靜態(tài)分岔點(diǎn)消失。為了說明驅(qū)動(dòng)方向加速度對(duì)微陀螺性能的影響，圖7給出了驅(qū)動(dòng)方向加速度為不同值時(shí)，無量綱陀螺力對(duì)微陀螺檢測(cè)振幅的影響，在載體沒有加速度時(shí)，EX越大，影響曲線的斜率越大，即系統(tǒng)的靈敏度越大。隨驅(qū)動(dòng)方向加速度的增大，系統(tǒng)的靈敏度變小，且曲線的線性程度也發(fā)生了變化。

(a) EY=0.02

(b) EY=0.04SP-靜態(tài)分岔點(diǎn)圖4 驅(qū)動(dòng)電壓對(duì)微陀螺幅頻特性的影響Fig.4 Effect of driving voltage on the amplitude-frequency characteristic of MEMS gyroscope

(a) EX=0.02

(b) EX=0.04圖5 檢測(cè)電壓對(duì)微陀螺幅頻特性的影響Fig.5 Effect of detecting voltage on the amplitude-frequency characteristic of MEMS gyroscope

為了精確分析載體加速度對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)零偏、靈敏度和非線性程度的影響。采用最小二乘法對(duì)上述曲線進(jìn)行線性擬合，定義擬合方程為

AYp=SG+AB

(21)

其中S為靈敏度，AB為零偏，有

AB=AY(G=0)

(22)

同時(shí)將擬合后的曲線與原始曲線進(jìn)行比較，定義非線性度為

(23)

顯然圖7中驅(qū)動(dòng)方向的加速度沒有引起零偏，圖8是載體驅(qū)動(dòng)方向加速度對(duì)系統(tǒng)靈敏度和非線性度的影響曲線，可以看到隨驅(qū)動(dòng)方向加速度的增大，系統(tǒng)的靈敏度逐漸降低。當(dāng)EX=0.01和0.04時(shí)非線性度隨加速度的增大整體趨勢(shì)為減小，EX=0.02時(shí)非線性度隨加速度的增大變化平緩。因此對(duì)于主要承受驅(qū)動(dòng)方向加速度的微機(jī)械陀螺的設(shè)計(jì)，應(yīng)主要考慮加速度對(duì)靈敏度的影響。

(a) EX=0.01(b) EX=0.02(c) EX=0.04圖6 驅(qū)動(dòng)方向加速度對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響EY=0.04Fig.6 Influence of driving acceleration on the amplitude-frequency characteristic

(a) EX=0.01(b) EX=0.02(c) EX=0.04圖7 無量綱陀螺力對(duì)微陀螺檢測(cè)振幅的影響Ω=0.975Fig.7 Effect of non-dimensional gyroscope force on detecting amplitude of MEMS gyroscope

圖8 驅(qū)動(dòng)方向加速度對(duì)靈敏度和非線性度的影響Fig.8 Effect of acceleration in detection direction on sensitivity and nonlinearity

圖9給出了檢測(cè)方向加速度對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響，可以看到在EX=0.01時(shí)，驅(qū)動(dòng)方向的峰值振幅隨加速度增大而增大，而在EX=0.02和0.04時(shí)，檢測(cè)方向加速度對(duì)驅(qū)動(dòng)方向幅頻特性的影響很小，其影響更多的體現(xiàn)在峰值左側(cè)靜態(tài)分岔點(diǎn)位置的變化。檢測(cè)方向非共振區(qū)域的振幅隨載體檢測(cè)方向加速度的增大而增大，峰值振幅的變化則較為復(fù)雜。為了說明檢測(cè)方向加速度對(duì)微陀螺性能的影響，圖10給出了載體檢測(cè)方向加速度為不同值時(shí)，無量綱陀螺力對(duì)微陀螺檢測(cè)振幅的影響，在載體具有檢測(cè)方向加速度的情況下，無量綱陀螺力為零時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)振幅也不為零，即系統(tǒng)出現(xiàn)了零偏；同時(shí)曲線的靈敏度和線性程度也隨檢測(cè)方向加速度的變化發(fā)生了改變。圖11是檢測(cè)方向加速度對(duì)系統(tǒng)零偏、靈敏度和非線性度的影響曲線，其中零偏隨檢測(cè)方向加速度線性增大，而且比例系數(shù)不受驅(qū)動(dòng)電壓變化的影響。EX=0.04時(shí)，系統(tǒng)靈敏度隨檢測(cè)加速度增大而減小，非線性度先增大后減小，而EX=0.01和0.02時(shí)，靈敏度在檢測(cè)方向加速度較小時(shí)，隨加速度變化平緩，非線性度的變化也較?。辉跈z測(cè)方向加速度較大時(shí)，靈敏度急速降低，非線性度也發(fā)生了劇烈的變化。因此在載體承受的檢測(cè)方向加速度較小時(shí)，可選取較小的驅(qū)動(dòng)電壓，并重點(diǎn)考慮零偏的補(bǔ)償；而在載體承受的檢測(cè)方向加速度較大時(shí)，需要同時(shí)考慮加速度對(duì)系統(tǒng)零偏、靈敏度和非線性度的影響。

(a) EX=0.01(b) EX=0.02(c) EX=0.04圖9 檢測(cè)方向加速度對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響Fig.9 Effect of detecting acceleration on the amplitude-frequency characteristic

(a) EX=0.01(b) EX=0.02(c) EX=0.04圖10 無量綱陀螺力對(duì)微陀螺檢測(cè)振幅的影響Fig.10 Effect of non-dimensional gyroscope force on detecting amplitude of MEMS gyroscope

圖11 檢測(cè)方向加速度對(duì)零偏、靈敏度和非線性度的影響Fig.11 Effect of acceleration in detection direction on zero bias,sensitivity and nonlinearity

4 結(jié) 論

本文考慮非線性支承剛度、非線性的檢測(cè)靜電力，利用拉格朗日方程建立了微機(jī)械陀螺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，針對(duì)載體加速度對(duì)微陀螺響應(yīng)特性的影響開展研究。通過對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值仿真，發(fā)現(xiàn)載體的加速度會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)偏離原始的平衡位置。利用諧波平衡法結(jié)合留數(shù)定理直接求解含分式項(xiàng)的動(dòng)力學(xué)方程，得到了系統(tǒng)的周期響應(yīng)，分析了驅(qū)動(dòng)/檢測(cè)載體加速度對(duì)系統(tǒng)幅頻特性和性能參數(shù)的影響。研究發(fā)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)方向的加速度不會(huì)導(dǎo)致零偏，但會(huì)引起系統(tǒng)的靈敏度降低；檢測(cè)方向的加速度會(huì)導(dǎo)致零偏的出現(xiàn)，零偏和檢測(cè)方向加速度的大小成正比，但比例系數(shù)與驅(qū)動(dòng)電壓大小無關(guān)。系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)電壓較小時(shí)，較小的檢測(cè)方向加速度對(duì)系統(tǒng)的靈敏度和非線性度影響很??；而在驅(qū)動(dòng)電壓或者載體檢測(cè)方向加速度較大時(shí)，系統(tǒng)的靈敏度急劇減小，且非線性度也發(fā)生了劇烈變化。