廣東省深圳市深圳高級(jí)中學(xué)(518040)周田虎

試題已知圓M:(x+1)2+y2=16,動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)N(1,0)且與圓M內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.

(I)求曲線C的方程;

(Ⅱ)曲線C上三個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)P、E、F,滿足直線PE與PF的傾斜角互補(bǔ),記P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′,線段EF中點(diǎn)為H.證明:P′,H,O三點(diǎn)共線.

這是筆者在參加2020年深圳市高考數(shù)學(xué)模擬試題命題比賽中命制的一道試題.該題具有全國(guó)I 卷命題風(fēng)格,考查相關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力,受到眾多名師和一線教師的好評(píng).下文將詳細(xì)敘說(shuō)該題的背景,打磨過(guò)程與教學(xué)啟示.

1 試題背景

命題要求以下面一題為“題根”,將其改編成一道新的解析幾何綜合試題,試題可設(shè)置兩問(wèn),難度為全國(guó)高考?jí)狠S題難度(難度系數(shù)在0.35 左右).

原題已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)兩個(gè)焦點(diǎn)為(?1,0)、(1,0).

(I)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.

隨著新高考方案的實(shí)施,高考數(shù)學(xué)命題理念和考查內(nèi)容都發(fā)生了顯著的變化,命題理念從“知識(shí)立意”“能力立意”向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”轉(zhuǎn)變,注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì),突出理性思維,科學(xué)考查數(shù)學(xué)必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng),體現(xiàn)核心價(jià)值,新增“考查考生的人文精神與素養(yǎng),引導(dǎo)其實(shí)現(xiàn)德智體美勞全面發(fā)展”、增加應(yīng)用背景、關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn),要求學(xué)生在做題中達(dá)到“腦中有‘形’——直觀想象;心中有‘?dāng)?shù)’——數(shù)學(xué)抽象;手中有‘術(shù)’——數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析;解題有‘路’——邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算”.

筆者統(tǒng)計(jì)分析近5年全國(guó)I 卷圓錐曲線試題,發(fā)現(xiàn)有如下特點(diǎn):

1.圓錐曲線的解答題側(cè)重考查橢圓、拋物線及圓與直線位置關(guān)系,并要求運(yùn)用解析法探索某幾何性質(zhì);

年份2016 2017 2018 2019 2020理科20.橢圓與圓(軌跡)20.直線與橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題19.直線與橢圓定值問(wèn)題19.直線與拋物線弦長(zhǎng)問(wèn)題20.直線與橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題

2.一般第一問(wèn)利用圓錐曲線的定義求曲線方程,第二問(wèn)是最值與范圍、定值定點(diǎn)、弦長(zhǎng)等幾何問(wèn)題,因此它承載的是代數(shù)中數(shù)形結(jié)合的思想,體現(xiàn)解析法的本質(zhì);

3.不刻意回避常見(jiàn)知識(shí)與方法,反復(fù)考查(如中點(diǎn)弦的斜率公式、弦長(zhǎng)公式).

2 命制過(guò)程

首先觀察、分析、解答原題,從解題中提煉出一般性結(jié)論與方法,通過(guò)幾何畫(huà)板等數(shù)學(xué)軟件驗(yàn)證結(jié)論的正確性,并歸納出其他相關(guān)幾何性質(zhì)(結(jié)論).嘗試設(shè)置與調(diào)整不同的設(shè)問(wèn)形式,使其更符合考查要求和難度,最后輸入電子版試題和答案,并反復(fù)優(yōu)化打磨.命題基本流程如圖1:

圖1

首先第一問(wèn),求圓錐曲線方程的方法一般有定義法、待定系數(shù)法、伸縮變化等.本題最初這樣設(shè)問(wèn):平面內(nèi)定點(diǎn)A(1,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足以線段MA為直徑的圓與圓O:x2+y2=4 相切,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.但這樣設(shè)置起點(diǎn)比較高,不利于學(xué)生作答.通過(guò)參考2013 高考新課標(biāo)全國(guó)卷I 第20 題:已知圓M:(x+ 1)2+y2=1,圓N:(x?1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C,求C的方程.并在探索中發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩圓相內(nèi)切時(shí)|OO1|=R?r,即|OO1|+r=R.固定R,讓內(nèi)切圓過(guò)定點(diǎn),則內(nèi)切圓圓心軌跡為橢圓(見(jiàn)圖2),因此本題第一問(wèn)最終這樣設(shè)問(wèn):已知圓M:(x+1)2+y2=16,動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)N(1,0)且與圓M內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C,求曲線C的方程;

圖2

第二問(wèn)是圓錐曲線中一個(gè)經(jīng)典結(jié)論:圓錐曲線C上的定點(diǎn)P,E,F是圓錐曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若直線PE的斜率與PF的斜率互為相反數(shù),則直線EF的斜率為定值.特別地,對(duì)于橢圓,已知橢圓上的定點(diǎn)P(x0,y0),若直線PE的斜率與PF的斜率互為相反數(shù),則因此就有這樣幾個(gè)設(shè)問(wèn)的想法:

(Ⅱ)記P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′,證明直線EF與曲線C在P′處的切線平行.通過(guò)本結(jié)論可以用尺規(guī)作橢圓上一點(diǎn)的切線.學(xué)生在解答本題時(shí)就必須具有“幾何特征分析”的能力和“等價(jià)轉(zhuǎn)換”的能力,這樣才能實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn),化難為易,化未知為已知.但在解答中需要求過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程甚或隱函數(shù)求導(dǎo),涉嫌超綱.

(Ⅲ)幾何畫(huà)板演示時(shí)發(fā)現(xiàn),當(dāng)EF長(zhǎng)度愈來(lái)愈短時(shí),線段EF的中點(diǎn)H就愈來(lái)愈接近P′,此時(shí)筆者想到探索當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′、線段EF中點(diǎn)H及坐標(biāo)原點(diǎn)O是否共線.幾何畫(huà)板展示得出:P′,H,O三點(diǎn)共線.因此本題第二問(wèn)最終的設(shè)問(wèn)形式定為:若曲線C上的三個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)P,E,F,滿足直線PE與PF的傾斜角互補(bǔ),記P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′,線段EF中點(diǎn)為H.證明:P′,H,O三點(diǎn)共線.

3 試題解法及教學(xué)啟示

3.1 本題完整解答

3.2 試題的考查目標(biāo)與創(chuàng)新之處

本題既考查了對(duì)橢圓的基本概念和定義的理解,又考查了用解析幾何方法解決幾何問(wèn)題的能力,考查考生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力,突出考查考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.給人一種“素以為絢,大美無(wú)痕”的感覺(jué).

本題的創(chuàng)新之處有如下幾點(diǎn):

(1)巧妙考查了圓錐曲線的中點(diǎn)弦相關(guān)問(wèn)題;

(2)題目條件和設(shè)問(wèn)都是幾何問(wèn)題,用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的思想,幾何味十足;

(3)優(yōu)化計(jì)算,直線過(guò)橢圓上已知點(diǎn)求另一交點(diǎn)坐標(biāo),可利用根與系數(shù)的關(guān)系及本題中以?k替換k,直接由E點(diǎn)坐標(biāo)求得F點(diǎn)坐標(biāo);

(4)引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題方法,做一題,通一類(lèi),會(huì)一片.引領(lǐng)學(xué)生善于思考,提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;

(5)綜合滲透了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——直觀想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算等.

在新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,需要我們老師以課本例題、習(xí)題為素材,深入淺出、舉一反三地加以類(lèi)比、延伸和拓展,在“命題”上下功夫,力求對(duì)教材內(nèi)容融會(huì)貫通,需要從“以知識(shí)為本”轉(zhuǎn)變到“以人為本”,讓學(xué)生從題海中解脫出來(lái),在學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)方法融通,在探究中提升思維能力.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō),命題比解題難,命題要測(cè)得出水平,測(cè)得出能力.這就要求我們?cè)诿圃囶}之前,務(wù)必深入研究課程標(biāo)準(zhǔn)和高考真題,以確保命題不偏離方向.在命題過(guò)程中,可能會(huì)遇到各種意想不到的困難,這又需要我們命題者堅(jiān)定信心克難攻堅(jiān),精心打磨試題.

總之,命制一道讓師生滿意的好試題是一件極其嚴(yán)肅而又辛苦的工作,從試題考點(diǎn)的確立到素材的選取,從試題問(wèn)題的設(shè)置到試題雛形的確立,從確定試題到解法優(yōu)化,表面看三易其稿,實(shí)際上中間有許多不為人知的艱辛探索.命題又是“痛并快樂(lè)著”的工作,在命題過(guò)程中需要不斷經(jīng)歷嘗試、實(shí)驗(yàn)、探索、聯(lián)想、頓悟等思維過(guò)程,一旦找到新的創(chuàng)意想法,往往給人帶來(lái)精神上的陶醉和心靈上的愉悅.