廣東省東莞實驗中學(xué)(523120)吳徐安娜

2021年高考已經(jīng)落下帷幕,全國I 卷第19 題考察的是解三角形平面圖形類問題,考完后學(xué)生哀嚎一片,可見此類問題是高考中的重點更是難點.筆者翻閱了許多文獻,鮮有對這類問題歸納總結(jié)給出通法的.故本文將對此類問題作出總結(jié),希望對各位有所幫助.

1 三角形中線模型

評注本題很多同學(xué)能夠順利的寫到(?)式,但是(?)式后面的就無從下手,很多同學(xué)體會不到消元的思想方法,找不到認(rèn)為兩個方程,三個未知數(shù)就是無解,導(dǎo)致算不到最后結(jié)果.所以說除了總結(jié)模型和通法,學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)也亟需加強.

2 平面四邊形模型

一般解三角形問題如果給出的平面圖形是四邊形,那么這其中所包含的三角形就有很多.筆者認(rèn)為思考過程大致可以概況如下流程:設(shè)角→在某個三角形中由正弦定理用角表示邊→在另一個三角形中用正弦定理或余弦定理找到等量關(guān)系→得出結(jié)論.

當(dāng)然,如果題目眾多三角形中有特殊三角形,比如直角三角形或等腰三角形,我們優(yōu)先選擇從這些三角形中設(shè)角.很多時候,學(xué)生沒辦法從一個三角形中找到等量關(guān)系,則盡可能多求圖中的角.從而可以在兩個三角形中找共同的邊或角,從而得到一些等量關(guān)系,來解決問題.

2.1 通法展示

評析本題通過設(shè)角,巧妙的將面積的最值轉(zhuǎn)化為了三角函數(shù)的最值,十分巧妙.筆者也嘗試設(shè)AC=x,試圖用x來表示∠ADC,但是過程相比此法要復(fù)雜的多.因此本道題雖然圖形簡單,但無疑是起到了一個通法的示范作用.

2.2 直角三角形模型

評析遇到這類復(fù)雜的三角形問題,要求哪個角,我們就可以設(shè)哪個角為θ.值得一提的是,ΔACD是一個直角三角形,所以我們可以先從這個特殊的三角形出發(fā),用表示這個三角形的剩下的兩條邊.在解法一和解法二中,我們尋找了一個新的三角形用正弦定理尋找等式.但在實際上很多同學(xué)很難確定到底在哪個三角形中有等式,于是我們有了解法三,也就是可以在兩個不同的三角形中,尋找到同一條邊的不同的表達,從而得到一個等式.相對來說,解法一、二的思維要求更高,解答更方便;易見,解法三解答稍有復(fù)雜,但都不失為處理復(fù)雜三角形的好方法.

2.3 外接圓模型

評析三角形外接圓模型中,學(xué)生極易忽視用正弦定理處理三角形外接圓的半徑.本題出現(xiàn)了兩個角之間的關(guān)系,那么我們往往設(shè)其中一個小角為θ.解法一是利用題目中兩

評析本題要特別注意的是直徑所對的圓周角是直角,圓內(nèi)接四邊形對角互補,剩下的思路和前面的通法完全一致,這里留給讀者完成.

2.4 相似三角形模型

評析本題是東莞高一期末考試試題,我校的平均分才1.76,得分率35.13.這個數(shù)據(jù)充分說明高一學(xué)生對解三角形的問題尚屬不得要領(lǐng)階段.本題若設(shè)∠ABC=θ,依次在ΔABC,ΔBCD,ΔACD中用正弦和余弦定理,也能做出來,但花費時間顯然要多的多.本題最顯著的特征是,兩直線平行,利用三角形相似求長度.倘若在解三角形習(xí)題課講評時,多給兩直線平行模型,也許學(xué)生會有更好的分?jǐn)?shù).

行文至此,相信大家對解三角形有了更深的認(rèn)識.每年的高考題中的解三角形中的復(fù)雜平面圖形問題都是難點,其實高一學(xué)生已經(jīng)有所涉獵.倘若平時能夠加以訓(xùn)練,相信對提升學(xué)生的邏輯思維大有裨益.